奈奎斯特稳定判据课件.ppt

时域分析法的缺点：（1）高阶系统的分析难以进行；（2）当系统某些元件的传递函数难以列写时， 整个系统的分析工作将无法进行。（3）物理意义欠缺。,5.1 频率特性,第五章 频域分析法,频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。 频率法用于分析和设计系统有如下优点：,（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。,第五章 频域分析法,（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。 （4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声的系统。,扫频试验，无需理论建模。,第五章 频域分析法,时域分析法稳定性分析 劳斯判据动态性能 上升时间 超调稳态性能 稳态误差频域分析法动态性能 频带宽度, 频率特性曲线的形状稳定性分析 奈奎斯特稳定判据,第五章 频域分析法,一、频率特性的基本概念,例: R-L串联回路,第五章 频域分析法,幅频特性A(): 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比 。,相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差。,幅相频率特性G(j) : G(j) 的幅值和相位均随输入正弦信号角频率的变化而变化。,第五章 频域分析法,频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。(稳态),输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化 。,频率特性,第五章 频域分析法,频率特性与传递函数具有十分相的形式,第五章 频域分析法,二、频率特性的求取方法和表示方法,根据已知系统的微分方程，把输入量以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数之比即得 根据传递函数来求取 通过实验测得,求取方法：,一般用这两种方法！,第五章 频域分析法,表示方法：,幅相频率特性（极坐标图或奈氏图）对数频率特性（Bode图）对数幅相特性（尼柯尔斯图，尼氏图）,第五章 频域分析法,幅相频率特性（奈氏图） 幅相频率特性可以表示成代数形式极坐标形式,第五章 频域分析法,代数形式 设系统或环节的传递函数为,令s=j，可得系统或环节的频率特性,这就是系统频率特性的代数形式，其中U()是频率特性的实部，称为实频特性，V()为频率特性的虚部，称为虚频特性。,第五章 频域分析法,式中,-极坐标形式将上式表示成指数形式 :,第五章 频域分析法,当在0变化时, G(j) 的幅值和相角随而变化,与此对应的G(j)的端点在复平面 上的运动轨迹就称为幅相频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。,第五章 频域分析法,对数频率特性（Bode图）对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。,对上式两边取对数，得,对数频率特性的表达式。习惯上，一般不考虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。,第五章 频域分析法,Bode图：,第五章 频域分析法,对数幅相特性（尼氏图）,将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。,0o,180o,-180o,w,0,-20dB,20dB,将Bode图的两张图合二为一。,第五章 频域分析法,1. 比例环节:G(s)=K,5.2 典型环节的频率特性,奈 氏 图,一、 幅相频率特性(奈奎斯特图),第五章 频域分析法,2. 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1),第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,3. 积分环节:G(s)=1/s,第五章 频域分析法,4. 微分环节:G(s)=s,第五章 频域分析法,5. 一阶微分环节:G(s)=Ts+1,第五章 频域分析法,6. 二阶微分环节,第五章 频域分析法,7. 振荡环节,当,时,当,时,第五章 频域分析法,因为 是关于 的函数,所以我们可以,当 时, 取最大值,即峰值 .该值称为谐振峰值 , 称为谐振频率.,第五章 频域分析法,可见，当 时， 。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。,此时,将在无阻尼自然频率 上引起振荡，其振荡幅值 将趋于无穷大。,第五章 频域分析法,无阻尼自然频率,第五章 频域分析法,二、对数频率特性,1放大环节,对数幅频特性：,对数相频特性：,第五章 频域分析法,2惯性环节,第五章 频域分析法,采用分段直线近似表示。方法如下：,低频高频渐近线的交点为：称为转折频率或交换频率。,高频段：当 时， ，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。,L()-20lgT,第五章 频域分析法,图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。,! 低通滤波特性,第五章 频域分析法,波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：,当 时，误差为：,当 时，误差为：,最大误差发生在 处，为,第五章 频域分析法,相频特性：,作图时先用计算器计算几个特殊点：,由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w0, -45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。,第五章 频域分析法,3积分环节,不难看出，积分环节的幅频特性是一条斜率为-20dB十倍频程的直线，且与0dB线相交于 =1这一点.,第五章 频域分析法,3纯微分环节,第五章 频域分析法,这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为,相频特性：几个特殊点如下,相角的变化范围从0到 。,4一阶微分环节,第五章 频域分析法,！高频放大！抑制噪声能力的下降,第五章 频域分析法,低频渐进线：,高频渐进线：,转折频率为： ，高频段的斜率+40dB/Dec。,5二阶微分环节,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,幅频特性为：,相频特性为：,对数幅频特性为：,低频段渐近线：,高频段渐近线：,两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。,6. 振荡环节,第五章 频域分析法,相频特性：,几个特征点：,由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w0, -90)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。,第五章 频域分析法,对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 。,该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时， 。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。,当 ， ， 。,因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。,第五章 频域分析法,左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。,第五章 频域分析法,5.3 控制系统开环频率特性,一、开环系统伯德图的绘制,第五章 频域分析法,将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：,幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。,相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。,第五章 频域分析法,基本步骤：,将开环传递函数表示为典型环节的串联； 确定各环节的转折频率，并由小到大标示在对数频率轴上。计算20lgK，在1 rad/s 处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该 点作斜率等于-20v dB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的 转折频率之左，得到最低频段的渐近线。向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐 近线斜率。对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。,第五章 频域分析法,例:,设开环系统传递函数为,试绘制伯德图.,第五章 频域分析法,放大环节：7.5；积分环节：,振荡环节：,，转折频率,惯性环节：,，转折频率,一阶微分环节：,转折频率,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,我们在选定的坐标图上，分别绘出这些环节的伯德图，然后在对应相同的频率下，按纵坐标相加，便得到了系统的对数频率特性。,比例加积分,加入振荡环节,加入惯性环节,加入一阶微分环节,第五章 频域分析法,最小相位系统,在复平面 右半平面上没有开环零点和极点的传递函数，称为最小相位传递函数；反之，即为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。 具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角范围是最小的。,第五章 频域分析法,最小相位系统,非最小相位系统,该两个系统的波德图如下所示：,第五章 频域分析法,为了确定是不是最小相位系统，需要检查对数幅频特性曲线高频渐近线的斜率，也需要检查在 时的相角。如果 时，幅频特性曲线的斜率为-20（ ）dB十倍频程和相角 ，则系统就是最小相位系统。其中 、 分别为传递函数中分母、分子多项式的阶数。,第五章 频域分析法,也就是说，对最小相位系统而言，相角为而对于非最小相位系统而言，相角就不等于 。 非最小相位系统，多是由于系统含有延迟环节或小闭环不稳定环节引起的，故起动性能差、响应慢。因此，我们在要求响应比较快速的系统中，总是尽量避免采用非最小相位系统。,第五章 频域分析法,开环奈奎斯特曲线,开环奈奎斯特曲线绘制方式:1.根据实验方法绘制；2.根据开环传递函数用MATLAB绘制；3.根据开环传递函数绘制概略奈奎斯特曲线。,第五章 频域分析法,绘制概略奈奎斯特曲线,1.根据系统频率特性的特点确定奈奎斯特曲线低频和高频部分的位置和形状。2.对于奈奎斯特曲线的中频部分，根据实、虚频特性确定与实轴、虚轴焦点。3.按照 从小到大的顺序用光滑曲线将频率特性的低、中、高频部分连接起来。,第五章 频域分析法,步骤1：确定低、高频部分位置和形状,第五章 频域分析法,当 时，频率特性低频段表达为：,第五章 频域分析法,v=1，起点是实轴正半轴的（K，j0）点。v=2，起点是虚轴负半轴无穷远点。v=3，起点是实轴负半轴无穷远点。,第五章 频域分析法,当 时，系统频率特性的高频部分。,第五章 频域分析法,n-m=1，从虚轴负半轴趋近坐标原点。n-m=2，从实轴负半轴趋近坐标原点。n-m=3，从虚轴正半轴趋近坐标原点。,第五章 频域分析法,步骤2:确定奈奎斯特曲线与虚轴、实轴交点,奈奎斯特曲线与实轴交点奈奎斯特曲线与虚轴交点,频率特性虚部为零,频率特性实部为零,步骤3:光滑连接低、中、高频段曲线,第五章 频域分析法,例,某0型单位负反馈系统开环：,试绘制概略奈奎斯特曲线。,第五章 频域分析法,例,某0型单位负反馈系统开环：,试绘制概略奈奎斯特曲线。,第五章 频域分析法,闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系,5.4 闭环控制系统的频率特性,第五章 频域分析法,1等幅值轨迹(M圆图),闭环频率特性,开环频率特性,第五章 频域分析法,圆：,圆心：,半径：,对称于的直线，又对称于实轴。,第五章 频域分析法,等相角轨迹 (圆图),令：,第五章 频域分析法,圆：,圆心：,半径：,圆本身就是闭环频率特性 的相角 的正切 的等值线。,第五章 频域分析法,对圆是多对一的关系。,每个圆都通过原点和（-1,j0）点。,因此，当用圆图确定闭环相频特性时，为了避免产生任何误差，应从对应于的零频开始，一直进行到高频。相角曲线必须是连续的。,第五章 频域分析法,.利用圆图求闭环频率特性,第五章 频域分析法,在圆图上，与轨迹相切，且具有最小半径的圆所对应的值，就是谐振峰值。因此，在奈魁斯特图上，谐振峰值和谐振频率可由与轨迹相切的圆求得。本例：,第五章 频域分析法,截止频率,指闭环频率持性的幅值衰减到0.707(0)时的角频率。即相当于闭环对数幅频特性的幅值下降-3dB时，对应的频率，称为截止频率 。闭环系统将高于截止频率的信号分量滤掉，而只允许低于截止频率的信号分量通过。,截止频率：,带宽：,幅值-3dB时对应的频率范围 称为系统的频宽（也称带宽）。频宽表明了控制系统的响应速度。,第五章 频域分析法,5.5 用频率法分析系统的稳定性,它只能判别系统是否稳定，不能指出稳定的程度；另外，必须具备闭环系统的特征方程式，但有些系统的特征方程式是列写不出来的。 奈魁斯特判据不仅能指出系统是否稳定，还能指出稳定的程度.,劳斯-霍维兹稳定判据，它可根据闭环系统的特征方程式来判别系统的稳定性。这个方法能判别系统的稳定性。,有以下两方面的缺点:,第五章 频域分析法,奈奎斯特稳定判据:,奈奎斯特稳定判据（简称为奈氏判据）是根据系统的开环频率特性对闭环系统的稳定性进行判断的一种方法。它把开环频率特性与复变函数 位于右半S平面的极点联系起来，用图解的方法分析系统的稳定性。,奈奎斯特图,闭环稳定性,第五章 频域分析法,若方程式的个根中有个根在复平面的右半平面，其余个根均在左半平面，,幅角定理:,第五章 频域分析法,幅角定理表达：,当 从0变到 时，向量 的幅角增量,的幅角为各环节幅角的代数和：,第五章 频域分析法,负实数根,有实部为负的共轭复根,第五章 频域分析法,有正实数根,有实部为正的共轭复根,当 从0 时：,第五章 频域分析法,特征根的分布对相角影响：,幅角定理得证,回顾,第五章 频域分析法,奈魁斯特稳定判据：,由开环求闭环？,第五章 频域分析法,开环传递函数和闭环传递函数的关系：,闭环特征方程式,开环分母多项式,开环分子多项式,第五章 频域分析法,闭环系统的特征多项式就是开环传递函数的分母和分子之和。,实际系统中，开环传递函数的分母的阶次总是高于分子的阶次。因此，闭环系统传递函数特征方程式 的阶次和的阶次相同。,开环极点数与闭环极点数相同,第五章 频域分析法,构造辅助函数：,闭环特征方程,闭环特征多项式,开环特征多项式,幅角关系：,幅角关系增量形式：,第五章 频域分析法,根据劳斯霍维兹判据，系统稳定的充分必要条件是：闭环特征根全部位于s平面的左半平面，应用幅角定理有：,若开环特征方程式有个根在复平面的右半平面，其余个根均在左半平面，,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,若开环系统不稳定，且已知开环特征方程式有个右根，则闭环系统稳定的充要条件为；当从0变到时，向量的相角变化等于，亦即向量的终端轨迹，随着从0变到而反时针包围复平面的原点次。,我们的目的是以开环传递函数判断闭环稳定性,闭环特征方程式,第五章 频域分析法,若开环系统不稳定，且已知开环特征方程式有个右根，则闭环系统稳定的充要条件为；当从0变到时，向量的相角变化等于，亦即向量的终端轨迹，随着从0变到而反时针包围复平面的原点次。,第五章 频域分析法,将奈奎斯特曲线向左移动一个单位即将虚轴向右移动一个单位。,实际上，我们不会绘制 的奈奎斯特曲线，而是直接绘制开环 奈奎斯特曲线 ，直接考察此曲线绕点（-1，j0）旋转圈数就可以了。,第五章 频域分析法,开环传递函数开环频率特性,闭环稳定性,w从0增大到无穷大时，1+G(jw)H(jw)绕坐标原点旋转p/2圈。,关系,开环奈奎斯特曲线,已知,要求,结论,第五章 频域分析法,奈魁斯特稳定判据表述 ：,若开环系统不稳定，它的特征方程式有个根在平面的右半平面内，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性的轨迹在从0变到时，反时针包围(-1，j0）点 次。,第五章 频域分析法,特殊情况处理：,1.若开环系统稳定，即0，仍然运用以上奈氏判据。可知，这时闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性的轨迹不包围（-1，j0）点。,2.当为奇数时，闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性的轨迹在从变到，再从变到，反时针包围(-1,j0）点次。,第五章 频域分析法,左图中,开环的右根数为 ,当 时不好判断,这时绘制 时的奈奎斯特曲线,只要绕( )点圈即可判断系统闭环稳定。,第五章 频域分析法,特殊情况：如果系统的开环传递函数中有零根，即开环传递函数中有积分环节。,应用代替零点附近的虚轴，构成新的虚轴，这样零根就变成了左半平面的根了。,第五章 频域分析法,有积分环节的情况:,当w值接近于零时，应用 替换值代入,第五章 频域分析法,由于 ,值为有限值,无限小值,整个传递函数的幅值为无限大值；相角为。,第五章 频域分析法,我们的频率特性考察的是 从 时的幅值和相角变化，所以根据对称性，有,第五章 频域分析法,型系统辅助曲线,型系统辅助曲线,第五章 频域分析法,型系统辅助曲线,第五章 频域分析法,奈奎斯特稳定判据-穿越,1.奈魁斯特图里的穿越：,所谓“穿越”，指频率特性曲线 从（-1，j0）点左边的 段实轴上穿过。若频率特性曲线按 值增加完成穿越时，相角增大，则称为“正穿越”，计为+1；而穿越时，若相角减小，则称为“负穿越”，计为-1。若曲线始于或止于（-1，j0）点以左实轴上，则按半个穿越计数。 奈魁斯特稳定性判据可写成：当 从0变到 时，开环幅相频率特性 在（-1，j0）点以左实轴上正穿越次数减负穿越次数等于 ，则闭环系统是稳定的（其中, 是开环系统特征方程式的右根数）。,第五章 频域分析法,穿越举例,第五章 频域分析法,半个穿越，可以将 的曲线绘出来，计穿越数，除以2就可以了。,开环不稳定闭环稳定,开环稳定闭环不稳定,第五章 频域分析法,2.伯德图里的穿越,?,第五章 频域分析法,5.6 控制系统的相对稳定性,控制系统能正常工作的前提条件是系统必须稳定，除此之外，还要求稳定的系统具有适当的稳定裕度，即有一定的相对稳定性。 用奈氏判据分析系统的稳定性时，是通过系统的开环频率特性 曲线绕 点的情况来进行稳定性判断的。,系统内部或外部参数由于某种不可预知的原因而向不利于系统稳定的方向进行一定程度的变化,系统仍然能够保持稳定。,第五章 频域分析法,当系统的开环传递函数在右半 平面无极点时，若 曲线通过 点，则控制系统处于临界稳定。 这时，如果系统的参数发生变化，则 曲线可能包围 点，系统变为不稳定的。 因此， 在 平面上，可以用奈氏曲线与 的靠近程度来表征系统的相对稳定性，即有奈氏曲线离点 越远，系统的稳定程度越高，其相对稳定性越好，反之，奈氏曲线离 点越近，稳定程度越低。反映系统稳定程度高低的概念就是系统相对稳定性的概念。下面，对系统的相对稳定性进行定量分析。,第五章 频域分析法,相对稳定性,（a）所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点A距离离(1,j0)点较远，（b）所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点B距离(1,j0)点较近。 假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来增加了50%，（a）中的A点移到A点，仍在(1,j0)点右侧，开环频率特性曲线如虚线所示。而（b）中的B点则移到(1,j0)点的左侧（B点），如图(b)虚线所示，系统便不稳定了。可见，前者较能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。,通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。,由于曲线没有包围 点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统。,第五章 频域分析法,1. 幅值裕度Kg 或h,系统的开环频率特性曲线与 平面负实轴的交点频率 称为相位穿越频率，显然它应满足,所谓幅值裕度Kg是指相位穿越频率 所对应的开环幅频特性的倒数值，即,第五章 频域分析法,如果幅值裕度Kg1(即 1),系统是稳定的，且Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好。 如果幅值裕度Kg1(即 1)，系统则不稳定。 当Kg=1时,系统的开环频率特性曲线穿过(-1,j0)点。是临界稳定状态。可见,求出系统的幅值裕度Kg后,便可根据Kg值的大小来分析最小相位系统的稳定性和稳定程度。 幅值裕度的含义是，使系统到达临界稳定状态时开环频率特性的幅 增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数，即,对于最小相位系统：,第五章 频域分析法,幅值裕度也可以用分贝数来表示，即,因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳定。,2. 相角裕量,= 180 + (c),把 平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率 为幅值穿越频率或剪切频率，它满足,所谓相角裕量：是指幅值穿越频率所对应的相移 与1800角的差值，即,相角裕度的含义是，使系统达到临界稳定状态时开环频率特性的相角,第五章 频域分析法,对于最小相位系统，如果相角裕度 00，系统是稳定的（图542），且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度 00 ，系统则不稳定。 =00时，系统的开环频率特性曲线穿过(-1,j0),是临界稳定状态.,第五章 频域分析法,这里要指出的是，系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅角裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅角裕度。,图5-44（a）所示系统的幅值裕度大，但相角裕度小；相反，图5-44 （b）所示系统的相角裕度大，但幅值裕度小。这两个系统的相对稳定性都不好。对于一般系统，通常要求相角裕度 ，幅值裕 。,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,对于 的开环系统来说，只有当相角裕度及幅值裕度都为正时，相应的闭环系统才是稳定的。相反，若相角裕度及幅值裕度均为负时，则相应的闭环系统将是不稳定的。因此，相角裕度及幅值裕度对于控制系统设计来说，可以作为一种设计的准则。在一般情况下，要求控制系统具有 的相角裕度和 的幅值裕度。 在一般情况下仅应用相角裕度或仅应用幅值裕度都不足以充分说明闭环系统的稳定性。为了确定闭环系统的相对稳定性，必须同时考虑相角裕度及幅值裕度，否则，易发生错误判断。,第五章 频域分析法,5.7 频域性能指标与时域性能指标间的联系,谐振峰值,闭环幅频特性的零频值,相对谐振峰值,截止频率,剪切频率,谐振频率,无阻尼自然频率,超调量,系统串联积分环节个数,阻尼比,峰值时间,上升时间,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,第五章 频域分析法,第五章结束,谢谢!,