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第四章 恒定磁场的基本原理本章提示: 本章讨论由恒定电流产生的磁场。由安培定律，引出磁场的基本概念，定义磁感应强度。在此基础上，利用矢量磁位，导出磁通连续性定理和安培环路定理。借助于磁偶极子模型，引入磁化电流，考虑磁媒质对磁场的影响，定义磁场强度，导出恒定磁场的基本方程。根据基本方程的积分形式，导出恒定磁场磁感应强度和磁场强度的磁媒质分界面条件。由恒定磁场的基本方程，导出用矢量磁位和标量磁位表示的恒定磁场边值问题，并证明恒定磁场解的惟一性。 重点掌握磁感应强度的定义和恒定磁场的基本性质，学会将恒定磁场表述为边值问题。,4. 1安培定律与磁感应强度1.电流元 电荷运动形成电流。电荷元dq以速度v运动形成电流元dqv。体电荷情况下电荷元表示为dV,电流元表示为 vdV；面电荷情况下电荷元表示为dS,电流元表示为 vdS。线电荷情况下电荷元表示为dl，电流元表示为 vdl。体电流、面电流和线电流的电流元用电流密度或电流分别表示为JdV ,Kd S和Idl。,2.安培定律,0是真空中的磁导率，其数值为4 10-7亨/米，H/m,这就是安培定律，安培定律是恒定磁场的基础。,3.磁感应强度 一个线圈中的电流对于放置在附近的另一个线圈中的电流有作用力。由于两线圈相隔一定距离，这个作用力不是直接的作用力，而是通过一定的物质传递过去的。这种物质就是磁场。电流在其周围产生磁场，电流称为磁场的源。不随时间变化的电流产生的磁场，叫做恒定磁场。,设想在恒定磁场中某一点（x,y,z）上，放置一个试验电流元Itdlt，如果试验电流元受力为,则将B这一矢量定义为磁感应强度，它是恒定磁场中的一个基本场矢量。磁感应强度的单位是特，T,通常称为毕奥一沙伐定律,P,*,任意载流导线在点 P 处的磁感强度,磁感强度叠加原理,例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.,+,+,+,1、5 点 ：,3、7点 ：,2、4、6、8 点 ：,毕奥萨伐尔定律,4.分布电流的磁感应强度,点电荷,线电流,面电流,体电流,5.洛伦兹力根据磁感应强度的定义式，磁场对放置在其中的电流元有作用力。单个运动的点电荷相当于点电流qv，磁场对运动电荷的作用力为,+,例4-1-1如图所示，真空中长度为2l的直线段，通以电流I。求线段外任一点P的磁感应强度。,场点P的坐标,源点Idz的坐标,若线段为无穷长直线,例4-1-2求真空中半径为a,电流为I的圆形线圈在轴线上各点的磁感应强度。,场点P位置矢量,Z=0,例4-1-3求真空中半径为a，对应的圆心角为，电流为I的圆弧在圆心的磁感应强度。,=2,4. 2矢量磁位与磁通连续性定理1.矢量磁位以体电流产生的磁场为例，讨论磁感应强度的规律。,令,因为电流密度J是(x , y, z)坐标的函数，而取旋度是对(x, y, z)坐标的运算，所以又因为取旋度是对(x, y, z)坐标的运算，体积分是对(x , y, z)坐标的运算，两种运算的顺序可以交换，所以,磁感应强度是另一矢量的旋度。我们把这个矢量定义为矢量磁位，用A表示，则,式中，C和C是空间的任意常矢量。C的存在说明矢量磁位不是惟一的。但因所以由矢量磁位求得的磁感应强度是惟一的。 关于矢量磁位的惟一性问题，可以由选择参考点来加以限制。矢量磁位的参考点就是强迫矢量磁位为零的点。在电流分布于有限区域的情况下，选择无穷远处为参考点，计算比较方便，前面矢量磁位计算式中的空间常矢量C为零。,2.矢量磁位的散度 根据前面定义，矢量磁位的旋度是磁感应强度。下面讨论它的散度，以体电流情况为例，有,令,在恒定磁场中，电流是恒定电流,式中，S是电流区域V的外表面。在恒定磁场中，整个恒定电流区域外表面上恒定电流应无法向分量，即 因此得,3 库仑规范 前面我们定义矢量磁位时，要求矢量磁位的旋度等于磁感应强度。实际上满足这一要求的矢量磁位中还应包括任意一个旋度为零的矢量。如果一个矢量的旋度为零，则这个矢量可以表示成一个标量的梯度。考虑到存在旋度为零的矢量， 以体电流分布情况为例，矢量磁位应改写为,A的散度等于,为任意标量函数。因此A的散度可以任意给定，这将导致A的多值性。,人为确定A的散度，就可以限制A的多值性。确定A的散度叫做选择规范。,这就是库仑规范,选择规范只是限制了A的多值性，但不能惟一确定A。要惟一确定矢量磁位A，还必须给定A的参考点。在电流分布于有限区域情况下，选择无穷远处为A的参考点，可以导出 为空间的一常矢量，记作C。进一步可得C+ C=0。在库仑规范和无穷远参考点这两个方面的限制下，对于体电流分布情况,4 磁通连续性定理的微分形式根据前面的推导，磁感应强度可写成,5.磁通连续性定理的积分形式,6.磁通穿过任一曲面S的B的通量，称为磁通量，简称磁通，用表示，且,磁通连续性说明，穿入一个闭合面的磁通等于穿出这个闭合面的磁通。,从磁通的角度来说，磁感应强度又叫做磁通密度。磁通密度的单位是特，T , l特=1韦/米2。,B 的通量,7.磁感应强度线磁感应强度线是对磁场的形象表示，磁感应强度线是一族有方向的线。磁感应强度线上每一点的切线方向就是该点的磁感应强度方向。设dl为P点磁感应强度线的有向线段元，在直角坐标系中,磁感应强度线的方程,例如位于Z轴上的无穷长直导线电流产生的磁场,在圆柱坐标系中,这就是B线的方程。给定C2，可画出一个截面上的磁感应强度线。C1取不同值，得到一族同心圆。,磁感应线的性质：,导线位于铁板上方,长直螺线管的磁场,磁感应线是闭合的曲线;,磁感应线不能相交；,磁感应强处 ，磁感应线稠密，反之，稀疏。,闭合的磁感应线与交链的电流成右手螺旋关系；,在平行平面磁场中，B只有Bx和By两个分量，A只有Az一个分量。因此有,若沿磁感应强度线的有向线段元,可见沿磁感应强度线A的微分为零。由此可得平行平面磁场磁感应强度线的方程,C取一系列的值，可以得到一族磁感应强度线。等A线即磁感应强度线。,例4-2-1如图4-2-2所示，真空中长度为2l的直线段，通以电流I。求线段外任一点P的矢量磁位。,4. 3 安培环路定理1.安培环路定理的微分形式,磁感应强度B的旋度,库仑规范,同理,这就是真空中安培环路定理的微分形式。,2.安培环路定理的积分形式将安培环路定理的微分形式两边进行面积分，有,式中，S是任意曲面，L是S的边缘曲线;L的方向与S的法线方向成右手螺旋关系;I是穿过曲面S的总电流。电流密度的参考方向与S的法线方向一致，即与S的法线方向一致的电流取正值，反之取负值。,例4-3-1求真空中无穷长直线电流1的磁感应度B。,解以线电流为轴，建立圆柱坐标系。因为是无穷长直线，所以在垂直于直线的每一个平面上磁感应强度分布相同，即磁感应强度与Z无关。在r-a平面上，磁感应强度只有a方向的分量，而其大小与a无关。以r为半径作一圆形闭合曲线，应用安培环路定理，得,例4-3-2真空中半径为a的无穷长圆柱体中均匀分布着轴向电流，电流密度为J。求空间的磁感应强度。,例4-3-3真空中，直角坐标系的x=0无穷大平面上均匀分布着二方向的面电流，电流密度为K。求空间的磁感应强度。,根据电流分布的对称情况，磁感应强度的大小应与y和z无关，其方向应而只有y方向的分量。据此，由安培环路定理，有在无穷大平面两侧作一个矩形闭合曲线。,4 .4 磁偶极子1.磁偶极子,磁偶极子是指所围成的面积很小的载流回路。设回路中的电流为L，回路所围成的面积为S，则可以用一个矢量来表示磁偶极子。这个矢量叫做磁偶极矩，记为m，且,2.磁偶极子的矢量磁位,在球坐标情况下,3.磁偶极子的磁感应强度在球坐标下,4.5 磁媒质的磁化1.磁化的概念,在外磁场的作用下，原子的磁偶极矩发生有规律的偏转，使得宏观上任一体积元内磁偶极矩的矢量和不再为零，对外产生磁场。这一现象称为媒质的磁化。,2.磁化强度 为了描述媒质宏观的磁化状态，将单位体积内磁偶极矩的矢量和定义为磁化强度，用M来表示，且,将体积元作为源点，则由体积元内磁偶极子在场点产生的矢量磁位为,整个媒质v中所有磁偶极子在场点产生的矢量磁位为,3.等效磁化电流密度归根结底，产生磁场的源是电流。,磁化体电流密度为,磁化面电流密度为,因此，磁媒质中磁偶极子产生的磁场，可以看作是由磁化电流产生的磁场，且,4. 6磁场强度1.考虑磁化电流的安培环路定理 磁化电流与自由电流一样产生磁感应强度。因此，在有磁媒质存在的情况下，安培环路定理应表示为,式中，I是闭合曲线L环绕的自由电流的总量;IM是闭合曲线L环绕的磁化电流的总量。,把真空当作一种特殊的磁媒质，在其中,因此，L环绕的总的磁化电流为,真空中,安培环路定理可写成,2.磁场强度定义有磁媒质存在的情况下，安培环路定理又可以写成,定义一个新的场矢量，叫做磁场强度，用H来表示，且,这说明磁场强度的闭合线积分与闭合线环绕的自由电流总量相等。,3.恒定磁场的辅助方程,相对磁导率小于1的材料称为抗磁材料;相对磁导率大于1的材料称为顺磁材料;铁及铁的合金相对磁导率远大于1，这类材料称为铁磁材料。,4.无限大均匀磁媒质中的磁感应强度和矢量磁位,4 .7 恒定磁场的基本方程与分界面条件1.恒定磁场基本方程的微分形式,恒定磁场的基本方程,辅助方程,2.恒定磁场基本方程的积分形式根据散度定理和斯托克斯定理，可得基本方程的积分形式,3.媒质分界面条件,若K=0,讨论磁感应强度的分界面条件。,例4-7-1如图所示，无限长圆柱体磁导率为，内部沿轴线方向有均匀电流，电流密度J=Jez。求圆柱体内外的B，H和圆柱体内的M，JM以及圆柱体表面的KM。,利用安培环路定理,将磁媒质的作用等效成磁化电流的作用，应用真空中的安培环路定理，得,例4-7-2两种磁媒质的分布如图所示，已知无限长线电流和两种媒质的磁导率，求两种媒质中的磁感应强度。,解 （a）根据图所示电流和媒质分布情况，分界面上磁场强度只有切线分量即圆周方向的分量。而分界面上磁场强度的切线分量连续，因此整个空间H连续且只有圆周方向的分量。由安培环路定理，有,（b）所示电流和媒质分布情况，分界面上磁感应强度应只有法向分量即圆周方向的分量。而分界面上磁感应强度的法向分量连续，因此整个空间B连续且只有圆周方向的分量。由安培环路定理，有,4. 8 恒定磁场的边值问题矢量磁位的泊松方程和分界面条件,称为恒定磁场的泊松方程。,称为恒定磁场的拉普拉斯方程。,矢量磁位满足的分界面条件。,2.恒定磁场的边值问题 与静电场的情况类似，恒定磁场的边值问题也是由基本方程和边界条件组成。恒定磁场的基本方程为,第一类边界条件是在整个边界上给定矢量磁位或其切线分量。即,第二类边界条件是在整个边界上给定磁场强度的切线分量，即,还有一类边界条件称为混合边界条件。混合边界条件是在一部分边界上给定矢量磁位或其切线分量，在另一部分边界上给定磁场强度的切线分量，即,3.恒定磁场问题解的惟一性 满足给定边界条件的恒定磁场基本方程的解答是惟一的。这就是恒定磁场边值问题解答的惟一性定理。,例 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez ，试求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B 。,补充例2 两根无限长直细导线，相距2a ,导线通有相反的电流I。求空间任一点的磁矢位A。,解两根导线产生的磁矢位，可认为是单根导线产生磁矢位的叠加。设导线长度为2L，在导线的中点处作XOY平面，选择如图所示的坐标系，当L远大于a时单根导线在P点产生的磁矢位为,方向沿ez正方向,补充例3 由两种金属材料组成的长直圆柱导线，其截面如图所示。在0 1, 1 2两种不同材料中，电流密度分别为J1和J2，磁导率均为0请写出磁矢位A所满足的边值间题，并求出磁矢位的表达式。,解可将整个区域分为3个部分，由对称性分析，磁场分布沿轴线方向是一样的，故是个平行平面磁场问题。磁矢位满足的微分方程为,由于,J1, J2均沿轴线方向，选择圆柱坐标系，A1, A2, A3均仅有ez方向的分量，上式可写为标量形式的微分方程,边界条件,由于对称性A1，A2，A3仅与坐标有关，并且以=0处为参考点，A1=0，故可得微分方程的通解为,
