平面问题有限元ppt课件.ppt

材料加工过程数值模拟与仿真,Numerical Methods for Simulation and Modeling in Materials Processing,陈明安中南大学材料科学与工程学院,一、固体材料弹塑形变形力学基础二、有限元法基本原理 1、小变形有限元法基本原理 2、有限变形有限元方法三、材料纳观、微观、介观数值模拟方法,参考书,1 谢水生,王祖唐。 金属塑性成型工步的有限元数值模拟 ，冶金工业出版社, 1997 2 刘建生等。 金属塑性加工有限元模拟技术与应用 ，冶金工业出版社，20033 Kobayashi,et al. Metal Forming and Finite Element Method. Oxford University Press. 1989.4 D. Raabe. Computational Materials Science, Wiley-VCH Verlag GmbH,1998. 化学工业出版社20025 王勖成，邵敏。有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社，1997,学习交流FEM的常用网站,1. ANSYS英文： http:/ http:/2. ANSYS中文： http:/3. 中国仿真互动： http:/4. 中国机械CAD论坛：http:/5. 中国钢结构论坛： http:/okok.org6. 工程师之家： http:/www. ,绪论：材料科学与工程中的模型化与模拟方法,结构/功能材料、结构件制备：形状、尺寸精度，孔洞、裂纹等缺陷，强度、刚度、变形、破坏失效等微结构：热力学非平衡态的晶格缺陷在空间的分布。微结构演变方向热力学微结构演变路径动力学原理微结构与材料宏观性能的关系？调控：成分、工艺优化关系复杂？空间尺度 nmm、时间尺度 ps年实验研究、理论模型解析、理论模型数值模拟,材料科学与工程中的分子动力学模拟,材料科学与工程中的位错动力学模拟,材料科学与工程中的相场动力学模拟,材料科学与工程中的元胞自动机模拟,材料科学与工程中的蒙特卡罗和波茨模拟,材料科学与工程中的有限元与有限差分模拟,第一章 有限单元法的形成与发展ANSYS简介,有限单元法的形成与发展,在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。如左图所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。,有限单元法的形成与发展,第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。,尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如图示V6引擎在工作中的温度分布。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。,有限单元法的形成与发展,在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。,有限单元法的形成与发展,数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。,Clough,有限单元法的形成与发展,古时即有用正多边形来逼近园的思想，用来计算，可以精确到小数点后40位，用离散的单元来代替给定的域。 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。 有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。,算法与有限元软件,从二十世纪60年代中期以来，大量的理论研究不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。 理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有： 大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方法。 目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：,另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。,有限元法的应用,随着计算机的发展，一种现代计算方法迅速发展起来。它是50年代首先在连续体力学领域飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。目前被广泛地应用在航空、造船、机械、建筑、水利、铁道、桥梁、石油、化工、冶金、采矿、汽车等很多工程领域，在举世瞩目的三峡工程中有限元方法又大显伸手，得到了大家的信赖。,有限元应用实例,有限元法已经成功地应用在以下一些领域： 固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析； 传热学； 电磁场； 流体力学。,转向机构支架的强度分析（用MSC/Nastran完成）,有限元应用实例,金属成形过程的分析（用Deform软件完成）分析金属成形过程中的各种缺陷。,型材挤压成形的分析。型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲。,螺旋齿轮成形过程的分析,有限元应用实例,T形锻件的成形分析,有限元应用实例,结构与焊缝布置,焊接残余应力分析（用Sysweld完成）,焊接过程的温度分布与轴向残余应力,有限元应用实例,热处理过程的分析BMW曲轴的感应淬火（Induction quenching of crankshafts at BMW，用SysWeld软件完成）在曲轴表面获得压应力，可以提高曲轴的疲劳寿命。,曲轴的有限元模型,有限元应用实例,有限元模型的局部,有限元应用实例,沿网格线52的残余应力分布，红线为预测的轴向应力与径向应力之差，黑点为实测值,有限元应用实例,复杂形状工件的组织转变预测预测工件的组织分布和机械性能,二分之一工件的有限元模型,有限元应用实例,淬火3.06 min 时的马氏体分布,淬火3.06 min 时的温度分布,Example 1:Circular and circle Holes in a Plate Under Uniform Tension (中心有孔的矩形板受拉),FEM Mesh and load condition (网格划分和载荷条件),Distribution of x-stress (X 向应分布),Ansys application (Ansys 的应用),Example 2:Circular Disk Under Diametrical Compression (受压圆盘),Distribution of x-stress (X 向应分布),FEM Mesh and load condition (网格划分和载荷条件),Distribution of x-stress (X 向应分布),FEM Mesh and load condition (网格划分和载荷条件),Abaqus application (Abaqus 的应用),Example 1:Circular and ellipse Holes in a Plate Under Uniform Tension (中心有椭圆孔的矩形板左端固定，右端受拉),奥运鸟巢的有限元模型,大型货轮的结构分析,汽车相撞的动态分析,有限元分析的基本方法,1）建立实际工程问题的计算模型 利用几何、载荷的对称性简化模型 建立等效模型2）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面： 物理场耦合问题 大变形 网格重划分3）前处理（Preprocessing） 建立几何模型（Geometric Modeling，自下而上，或基本单元组合） 有限单元划分（Meshing）与网格控制,有限元分析的基本方法,4）求解（Solution） 给定约束（Constraint）和载荷（Load） 求解方法选择 计算参数设定5）后处理（Postprocessing）后处理的目的在于分析计算模型是否合理，提出结论。 用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分析计算结果，包括位移、应力、应变、温度等； 最大最小值分析； 特殊部位分析。,ANSYS简介,大型通用有限元分析软件ANSYS，自1971年推出至今，已经发展功能强大、前后处理和图形功能完备的有限元软件，并广泛地应用于工程领域。可以分析结构、动力学、传热、热力耦合、电磁耦合、流固耦合等领域的问题。 ANSYS采用开放式结构：提供了与CAD软件的接口，用户编程接口UPFs，参数化设计语言APDL。 ANSYS分为系统层，功能模块层两层结构。可以使用图形方式，也可以使用批处理方式。,ANSYS简介,ANSYS图形方式启动界面如图。ANSYS图形界面由输出窗口和工具菜单窗口构成，工具菜单窗口由下拉菜单、工具条、主菜单区、视区和辅助工具框构成。,第二章 弹性力学简介,1-1 材料力学与弹性力学1-2 应力的概念1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移1-4 应力应变关系，物理方程1-5 虚功原理及虚功方程1-6 两种平面问题,2-1 材料力学与弹性力学,有限单元法 本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。,弹性力学 区别与联系 材料力学 1、研究的内容：基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。,弹性力学 区别与联系 材料力学 3、研究的方法：有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。,材料力学 区别与联系 弹性力学,材料力学 区别与联系 弹性力学,材料力学 区别与联系 弹性力学,弹性力学 区别与联系 材料力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：,弹性力学中关于材料性质的假定 (1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。,弹性力学中关于材料性质的假定(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 (5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。,2-2 应力的概念,作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。,2-2 应力的概念,弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素,PA=dx,PB=dy,PC=dz,正应力,剪应力,图 1-4,每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行,2-2 应力的概念,为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力 是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着X轴方向作用的。,正应力,加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于X轴的面上而沿着y轴方向作用的。,剪应力,2-2 应力的概念,应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。,2-2 应力的概念,剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。,由力矩平衡得出,简化得,剪应力互等,应力分量 可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,2-3 位移及应变、几何方程、刚体位移,弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。,应 变 体素的变形可以分为两类： 一类是长度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的 引起正的 ，等等)。,应变分量与位移分量的关系,A点在X方向的位移分量为u；B点在X方向的位移：,ABCD-ABCD求线素AB、AD的正应变 ，用位移分量来表示：,线素AB的正应变为：,同理，AD的正应变为：,应变分量与位移分量的关系,X向线素AB的转角 Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,线素AB的转角为：,A点在Y方向的位移分量为v；B点在Y方向的位移分量：,应变分量与位移分量的关系,X向线素AB的转角 Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,同理，Y向线素AD的转角,由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得,因此，剪应变为：,应变分量与位移分量的关系,以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，,同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：,联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。,应变分量矩阵,可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。 六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,刚体位移,由几何方程(1-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在(1-3)中命：有：积分后，得式中的 是积分常数,积分常数的几何意义,代表弹性体沿x方向的刚体移动。 及 分别代表弹性体沿y方向及Z方向的刚体移动。,代表弹性体绕Z轴的刚体转动。同样， 及 分别代表弹性体绕x轴及y轴的刚体位移。,为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定 这六个刚体位移。,2-4 应力应变关系，物理方程,当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在X方向的单位伸长则可表以方程 式中E为弹性模量。弹性体在X方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和Z方向的单位缩短可表示为：式中 为波桑系数。方程(1-5)和(1-6)既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和波桑系数相同。,应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律,2-4 应力应变关系，物理方程,设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用(1-5)和(1-6)式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及 所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。,2-4 应力应变关系，物理方程,如果弹性体的各面有剪应力作用，如图1-4所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，波桑系数 存在如下的关系：方程(1-7)中的正应变与方程(1-8)中的剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将(1-7)和(1-8)的六个关系式写在一起，得式(1-10)，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。,图 1-4,2-4 应力应变关系，物理方程,将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将式(1-10)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将式(1-9)代入，可得物理方程的第二种形式：,式(1-11)可用矩阵的形式表示如下：,式(1-12)可简写为：,D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和,2-5 虚功原理及虚功方程,图1-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。,虚功原理,进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足(1-15)式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。,虚功原理,必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力 ，由于支点C没有位移，故 所作的虚功对于零)。反之，如图1-8中的 和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。,虚功原理与虚功方程,虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,虚功原理-用于弹性体的情况,虚功方程(1-16)是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程(1-15)或(1-16)中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即： W = T - U ；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0 外力虚功 T = 内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。,虚功原理-用于弹性体的情况,i点外力分量j点外力分量外力分量用 表示；引起的应力分量用 表示,虚功原理-用于弹性体的情况,假设发生了虚位移虚位移分量为用 表示；引起的虚应变分量用 表示,虚功原理-用于弹性体的情况,在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中 是 的转置矩阵。 同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到： 这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。,虚功原理-用于弹性体的情况,应该指出，在虚位移发生时，约束力(支座反力)是不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵 及 中的元素进入虚功方程(1-17)。,2-6 两种平面问题,弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应变问题,平面应力问题,厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即 ，所以称为平面应力问题。,平面应力问题,应力矩阵(1-2)可以简化为：,平面应力问题,物理方程(1-10)中后两式可见，这时的剪应变：由物理方程(1-10)中的第三式可见：一般 ， 并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 三个应变分量即可，于是应变矩阵(1-3-2)简化为：,平面应力问题,物理方程(1-10)简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：,平面应力问题,将(1-21)式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则简化为：,平面应力问题,只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程(1-3)简化为：,平面应力问题,弹性体的虚功方程(1-17)简化为,平面应变问题,一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。 由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即 w = 0 因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。,平面应变问题,既然w = 0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程(1-3-1)可见 。于是只剩下三个应变分量 ，几何方程仍然简化为方程(1-24)。,平面应变问题,因为由物理方程(1-11)中后两式可见又由物理方程(1-11)中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然 ，但 一般并不等于零，不过它可以由 及 求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。,平面应变问题,物理方程(1-11)简化为：,平面应变问题,将(1-25)式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则为：,平面应变问题,平面应变问题，由于在Z方向没有外力，应力和应变也不沿Z方向变化，所以虚功方程(1-25)仍然适用，其中的t可以取为任意数值，但 必须是这个t范围内的外力。 需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。,平面应力问题与平面应变问题,对于两种平面问题，几何方程都是(1-24)，虚功方程都是(1-25)，物理方程都是：,平面应力问题与平面应变问题,对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用(1-23)式，而对于平面应变则采用(1-28)式，还可注意，在(1-23)式中，若将E改换为 ，将 改换为 ，就得出公式(1-28)。,平面应力问题与平面应变问题,在两种平面问题中，如果命 ，则和1-3中(1-4)式相似，由几何方程的积分得出：其中 及 分别代表弹性体沿x及y方向的刚体移动，而代表弹性体绕Z轴的刚体转动。,第三章 平面问题的有限单元法,3-1、有限单元法的概念3-2、有限单元法的计算步骤3-3、单元位移函数3-4、单元载荷移置3-5、单元应力矩阵3-6、单元刚度矩阵3-7、单元刚度矩阵的物理意义及其性质3-8、整体分析3-9、整体刚度矩阵的形成3-10、支承条件的处理3-11、整体刚度矩阵的特点3-12、线性方程组解法,3-1 有限单元法的概念,有限单元法的发展历史： 弹性力学扩大了材料力学分析问题的范围，提高了解题的精度。但仅仅在少数一些较简单的经典问题上，能获得较为精确而实用的解答。由于复杂的数学运算；或难以确定简单合理的数学模型，对于大量的工程实际问题往往难以解决。 计算机的出现引起了力学学科的变革。采用力学分析的解析法不能解决的问题，应用数值法(以计算机为工具)可以求出近似解。有限单元法是广泛应用的一种数值法。 有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用，计算速度快，精确程度高，具有灵活性和通用性，可以解决一些复杂的特殊问题，例如复杂的几何形状，任意的边界条件，不均匀的材料特性，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构件等。近二、三十年来，广泛应用于航空、造船、土木、水利、机械工业中。,3-1 有限单元法的概念,通过材料力学求解和有限元求解进行比较例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a)单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E,3-1 有限单元法的概念,材料力学方法求解直杆拉伸： 图(b)-位移法 考虑微段dx，内力 N=q (L-x) dx的伸长为 x截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变 应力,3-1 有限单元法的概念,有限单元法求解直杆拉伸：,1、离散化,2、外载荷集中到结点上，即把投影部分的重量作用在结点i上,3-1 有限单元法的概念,有限单元法求解直杆拉伸：,3、假设线单元上的位移为线性函数,3-1 有限单元法的概念,有限单元法求解直杆拉伸：,4、以i结点为对象，列力的平衡方程令 将位移和内力的关系代入得,用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2， n有n个方程未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力,3-1 有限单元法的概念,有限单元法求解直杆拉伸：,假设线单元数为3个的情况，平衡方程有3个：i=1时，i=2时,i=3时，联立解得,与材料力学的精确解答在结点处完全相同,3-1 有限单元法的概念,有限单元法的基本思路：(1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。(2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。(3) 将结点的位移与结点的力联系起来。(4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。(5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来求解。,Element and Node (单元和节点),FEM discretizes the domain under study by dividing the region into subdomains called elements.(有限元方法将研究区域离散成许多子域，这些子域叫单元),node (节点),element(单元),有限元法（Finite Element Method, FEM），也称为有限单元法或有限元素法，基本思想是将求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体。由于单元可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。它是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的一种数值计算方法。,左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的三角形就是单元,其顶点就是节点。,从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.,从数学角度理解, 把这个求解区域剖分成许多三角形子域,子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示.,例如:,有限元模型,真实系统,有限元模型,有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。,定义,假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（节点）相互连结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。,有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。,经典解与有限元解的区别：,3-2 有限单元法的计算步骤,弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1、离散化 2、单元分析 3、单元综合,3-2 有限单元法的计算步骤,1、离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。,3-2 有限单元法的计算步骤,2、单元分析 对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。,结点位移,结点力,3-2 有限单元法的计算步骤,2、单元分析-单元刚度矩阵 取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力： 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下：,3-2 有限单元法的计算步骤,3、单元综合 将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。 在位移法中，主要的任务是求出基本未知量-结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。,3-2 有限单元法的计算步骤,3、单元综合 i点总的结点力应为： 根据结点的平衡条件，得 单元e的结点力，可按式(2-2)用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方程。 每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。 单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。,3-3 单元位移函数,如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。 对于平面问题，单元位移函数可以用