常用本构模型课件.pptx

非线性有限元第5章 本构模型,2022年12月12日,非线性有限元第5章 本构模型 2022年9月24日,如何学好这门课？带着科研问题！这门课得到什么？力学思维方法！增加互动机制，请同学讲问题！,如何学好这门课？带着科研问题！,通过“有限元离散这条主线把连续介质力学、固体本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多年来学习的力学知识进展有效的梳理。教材是科研中不可缺少的“百科全书。通过数值语言描述一些抽象、艰深的力学概念，比方从构造体内力更新的角度阐述连续介质力学中Cauchy应力与转动Jaumann率的关系，使貌似复杂的力学定义原来是如此形象和自然。课程涉及到很多固体力学中的前沿问题，如材料的稳定性、任意欧拉-拉格朗日网格描述等，拓宽了视野，对博士生选题有很大启发。课程提高了解决实际力学问题的能力，使得在科研中通过数值模拟迅速实现一些新想法，假设到国外留学，从事博士后研究，更能体会到该课程带来的好处。,通过“有限元离散这条主线把连续介质力学、固体本构、板壳理论,第5章 本构模型,引言应力-应变曲线 一维弹性 非线性弹性一维塑性 多轴塑性连续介质力学与本构模型,第5章 本构模型 引言,1 引言,金属,塑料,生物材料,工程材料,本构关系是有限元模拟关键一环！,1 引言 金属塑料生物材料工程材料本构关系是有限元模拟关键一,2 应力-应变曲线,材料应力应变行为的许多根本特征可以从一维应力状态(单轴应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。,载荷位移曲线,名义应力工程应力给出为,定义伸长,工程应变定义为,2 应力-应变曲线 材料应力应变行为的许多根本特征,2 应力-应变曲线,Cauchy或者真实应力表示为,以每单位当前长度应变的增量随长度的变化得到另一种应变度量,对数应变也称为真实应变,对材料时间求导，表达式为,当一维情况，上式为变形率。,当前面积的表达式给出为,真实应力应变曲线,工程应力应变曲线,2 应力-应变曲线 Cauchy或者真实应力表示为,2 应力-应变曲线,考虑一种不可压缩材料(J1)，名义应力和工程应变的关系为,真实应力(对于不可压缩材料),说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材料取决于采用何种应力和变形的度量。,应力应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。,2 应力-应变曲线 考虑一种不可压缩材料(J1)，,2 应力-应变曲线,应力应变反响与变形率无关的材料称为率无关；否那么，称为率相关。名义应变率定义为,率无关和率相关材料的一维反响,因为 和,即名义应变率等于伸长率，例如,可以看出，对于率无关材料的应力应变曲线是应变率独立的，而对于率相关材料的应力应变曲线，当应变率提高时是上升的；而当温度升高时是下降的。,2 应力-应变曲线 应力应变反响与变形率无关的材料,2 应力-应变曲线,对于弹性材料，应力应变的卸载曲线简单地沿加载曲线返回，直到完全卸载，材料返回到了它的初始未伸长状态。然而，对于弹塑性材料，卸载曲线区别于加载曲线，卸载曲线的斜率是典型的应力应变弹性初始段的斜率，卸载后产生永久应变。其它材料的行为介于这两种极端之间。由于在加载过程中微裂纹的形成材料已经损伤，脆性材料的卸载行为，当荷载移去后微裂纹闭合，弹性应变得到恢复。卸载曲线的初始斜率给出形成微裂纹损伤程度的信息。,(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤,2 应力-应变曲线 对于弹性材料，应力应变的卸载曲,11,Fleck, 1994, (a) torsion; (b) tensionQ- torsion, k-torsion angle per unit length,When diameter of copper wire reduced to d=12m, torsion strength increased 3 times than it d=170m. During thin beams bending test, Stolken and Evans found when the thickness from h=100m reduced to h=12.5m, the bending strength was also increased significantly.,Size effect：对经典本构理论的挑战，诞生了微米尺度的应变梯度塑性理论，如MSG,11Fleck, 1994, (a) torsion; (b,12,Since the strain is non-local, which could not be obtained at a single integration Gauss point. The ABAQUS User Element is developed to calculate the non-local strain gradient plasticity.,Strain gradient theories,12Since the strain is non-loca,(Uchic et al., Science, 2004),Compression for micro-pillars,By performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40m, the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found. The thinner is harder, although there is no strain gradient.,(Uchic et al., Science, 2004)C,Dislocation source starvation,14,Movie 1,Movie 2,ZW. Shan et al, Nature Materials,2008,Microstructure and sample geometry:,Defects free pillar, Diminishing of the taper angle without apparent shearing and buckling,Mechanical data:,Test 1: Fluctuation force increase following by dominant elastic responseTest 2: dominant elastic response followed by fluctuation force increase,Dislocation nucleation/annihilate rate!,Dislocation source starvation1,Compression of micro-pillar,15,(a) The initial annealed dislocation network in the single crystal copper got by an energy minimization process. (b) FE mesh, the constant stress rate is applied on the top surface along 001 direction.,Volume averaged compression stress-strain curve of Cu single-crystal micro-pillar; A, B, C is a typical microstructure corresponding to three different stages.,Compression of micro-pillar15(,3 一维弹性,弹性材料的根本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的，当卸载完毕时材料恢复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。,小应变,可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中，储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。,对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。,对于任意应变，不管如何到达应变值，上式给出唯一应力值。,3 一维弹性 弹性材料的根本性能是应力仅依赖于应变的,3 一维弹性,应变能一般是应变的凸函数，例如，,(a)凸应变能函数 (b)应力应变曲线,当 公式的等号成立。,凸应变能函数的一个例子如下图。在这种情况下，函数是单调递增的，如果w 是非凸函数，那么 s 先增后减，材料应变软化，这是非稳定的材料反响， 如右以下图。,(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线,3 一维弹性 应变能一般是应变的凸函数，例如， (a)凸应变,大应变,从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力功共轭的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量耗散。如,3 一维弹性,在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为超弹性。如一维大应变问题，以Green应变的二次函数表示,对于小应变问题，即为胡克定律。,大应变 从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应,大应变,一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称为次弹性。这种关系一般是非线性的，给出为,3 一维弹性,一个特殊的线性次弹性关系给出为,对上式的关系积分，得到,这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。因为次弹性的简单性，公式 的多轴一般形式常常应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。,大应变 一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称,4 非线性弹性,Kirchhoff材料,式中 C 为弹性模量(切线模量)的四阶张量，对Kirchhoff材料是常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各向异性。,许多工程应用包括小应变和大转动。在这些问题中，大变形的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼杆的弯曲。 由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反响，但要以PK2应力代替其中的应力和以Green应变代替线性应变，这称为Saint-Venant- Kirchhoff材料，或者简称为Kirchhoff材料。最一般的Kirchhoff模型为,4 非线性弹性 Kirchhoff材料式中 C 为弹性模量(,4 非线性弹性,式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利用对称性可以显著地减少常数。,一般的四阶张量有3481个独立常数，与全应力张量的9个分量和全应变张量的9个分量有关。 如次弹性本构方程,4 非线性弹性 式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利,4 非线性弹性,利用势能表示的应力应变关系和Green公式，,故有,应力张量和应变张量均为对称张量次对称性: ，即,这样C为对称矩阵（主对称性: )， 在81个常数中有45个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。,4 非线性弹性 利用势能表示的应力应变关系和Green公式,4 非线性弹性,应力张量和应变张量均为对称张量次对称性，即,再利用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，由36个常数减少为21个，为各向异性材料。,应力和应变张量的对称性要求应力的6个独立分量仅与应变的6个独立分量有关，由弹性模量的局部对称结果，独立常数的数目减少到36个。,4 非线性弹性 应力张量和应变张量均为对称张量次对称性，,4 非线性弹性,写成矩阵形式为可以是上或下三角矩阵,当材料有一个对称面时，假设为X1平面,这样由21个常数减少到13个。,4 非线性弹性 写成矩阵形式为可以是上或下三角矩阵 当材,对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交材料，仅有9个独立弹性常数，Kirchhoff应力应变关系为材料对称坐标平面，为正交各向异性体,4 非线性弹性,对于各向同性材料，仅有2个独立常数,对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交材料，仅有,4 非线性弹性,横观各向同性,正交各向异性,4 非线性弹性 横观各向同性正交各向异性,4 非线性弹性,对于各向同性的Kirchhoff材料，其应力应变关系可以写成为,式中Lam常数，体积模量K，杨氏模量 E和泊松比,的关系为,材料对称的一个重要的例子是各向同性。一个各向同性材料没有方位或者方向的选择，因此，以任何直角坐标系表示的应力应变关系是等同的。对于小应变的许多材料(如金属和陶瓷)可以作为各向同性进展模拟。张量C是各向同性的。在任何坐标系中，一个各向同性张量有一样的分量。,Kirchhoff材料,4 非线性弹性 对于各向同性的Kirchhoff材料，其应力,4 非线性弹性,Kirchhoff应力,由Jacobian行列式放大，称它为权重Cauchy应力。对于等体积运动，它等同于Cauchy应力。,次弹性材料,次弹性材料规律联系应力率和变形率。,上式是率无关、线性增加和可逆的。对于有限变形状态的微小增量，应力和应变的增量是线性关系，当卸载后可以恢复。然而，对于大变形能量不一定必须守恒，并且在闭合变形轨迹上的作功不一定必须为零。次弹性规律主要用来代表在弹-塑性规律中的弹性反响(弹性变形小)，且耗能效果也小。,Question: What is the difference between rate-form and rate dependence?,4 非线性弹性 Kirchhoff应力 由Jacobian行,4 非线性弹性,超弹性材料,平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，如应变。如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料(泊松比0.495)，仅依赖变形应变不一定能够得到应力。,储存在材料中的能量功仅取决于变形的初始和最终状态，并且是独立于变形或荷载路径，称这种弹性材料为超弹性hyper-elastic材料，或者为Green弹性，例如常用的工业橡胶。动物的肌肉、细胞也具有超弹性的力学性质。这里主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为。,4 非线性弹性 超弹性材料 平衡方程是以物体中应力的,4 非线性弹性,超弹性材料,对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性Green弹性材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在或应变能量函数，它是应力的势能：,通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式,由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量P的9个分量是不对称的。,在橡胶大变形中应用多项式模型和Ogden指数模型。,4 非线性弹性 超弹性材料 对于功独立于荷载路径的弹,4 非线性弹性,超弹性材料,世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶苯乙烯和丁二烯的共聚物或乙丙烯橡胶ERP；用于汽车配件的有氯丁橡胶及另一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。 在众多的合成橡胶中，硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无味无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏300度和零下90度时能够“泰然自假设、“面不改色，仍不失原有的强度和弹性。例如生物材料。,橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，“橡胶一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提炼出来的。,4 非线性弹性 超弹性材料 世界半数以上的橡胶是合成,4 非线性弹性,超弹性材料,1839年，Charle Goodyear创造了橡胶的硫化方法，其姓氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。 从19世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可以描述材料特性。橡胶受力以后，变形是伴随着大位移和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积几乎保持不变。,现在，可以借助计算机对超弹性材料的工程应用进展深入研究以及优化设计。可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算结果等。,4 非线性弹性 超弹性材料 1839年，Charle,固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型,固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.5。可逆，大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。,超弹性材料,常用的橡胶性态可分为固体橡胶和泡沫橡胶。,固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型 固体橡胶是几,超弹性材料,一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。 泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大的应变要求，拉伸时的应变可以到达500或更大，压缩时的应变可以到达90或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性相比，泡沫材料的多孔性那么允许非常大的体积缩小变形，因此具有良好的能量吸收性。,泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a) 开放腔室，b) 封闭腔室,泡沫橡胶材料的应力-应变曲线 a)压缩 b)拉伸,超弹性材料 一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材,典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线,橡胶本构模型,4 非线性弹性,典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线 橡胶本构模型 4 非,常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于热力学统计的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的唯象学描述方法。 热力学统计方法的根底为观察到橡胶中的弹性恢复力主要来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子构造无序，熵的减少是由于橡胶伸长使得橡胶构造由高度无序变得有序。由对橡胶中分子链的长度、方向以及构造的统计得到本构关系。,橡胶本构模型,唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设是用单位体积弹性应变能函数U来描述橡胶特性的根底，其本构模型为多项式形式模型和Ogden形式模型。,常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于热力,定义伸长,工程应变定义为,二阶张量根本不变量,小变形，有,小变形,橡胶本构模型,4 非线性弹性,定义伸长 工程应变定义为 二阶张量根本不变量 小变形，有 小,小变形,以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为,忽略二阶及二阶以上微量，变为,弹性常数为,当,橡胶本构模型,4 非线性弹性,小变形 以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为忽略二,例题,在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，应变能密度表达式为,假设取,(单位为MPa)，求材料弹性常数。,利用公式,解：,解出橡胶的弹性常数为 ， E=2.768MPa，= 0.5,小变形,橡胶本构模型,4 非线性弹性,例题 在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构,典型的本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为,特殊形式可以由设定某些参数为0来得到。如果所有,那么得到减缩多项式模型,对于完全多项式，如果, 那么只有线性局部的应变能量，,即Mooney-Rivlin形式,橡胶本构模型,典型的本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为特殊形式可以,，那么得到Neo-Hookean形式,对于减缩多项式，如果,Mooney-Rivlin形式和Neo-Hooken形式本构模型后者是将Hooke定律扩展至大变形,橡胶本构模型,，那么得到Neo-Hookean形式 对于减缩多项式，如果,Yeoh形式本构模型是,时减缩多项式的特殊形式,典型的S形橡胶应力-应变曲线 ，C10正值，在小变形时为切线模量；C20为负值，中等变形时软化；C30正值，大变形时硬化。,橡胶本构模型,Yeoh形式本构模型是 时减缩多项式的特殊形式 典型的S形橡,Ogden形式本构模型,Arruda-Boyce形式本构模型,Van der Waals模型,橡胶本构模型,其他形式的本构模型有：,Ogden形式本构模型 Arruda-Boyce形式本构模型,试验拟合本构模型系数,橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于准确和充分的橡胶试验。,试验拟合本构模型系数 橡胶类材料的本构关系除具有超弹性,通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力-应变曲线，这样可以选择出最适宜的本构模型以及描述这种模型的参数。,同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力-应变曲线图，比照试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。,试验拟合本构模型系数,通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力-应变,试验拟合本构模型系数,给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合确定，这样可以使得误差最小。即对于n 组应力-应变的试验数据，取相对误差E 的最小值，拟合应力表达式中的系数，得到理论本构模型。,试验拟合本构模型系数 给出实验数据，应力表达式的系数通,确定材料常数的经历公式,试验拟合本构模型系数,对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定其材料常数。经历公式是通过橡胶的IRHD硬度指标来确定材料的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确定材料常数。根本公式为小应变条件,将得到的材料常数代入Mooney-Rivlin模型进展计算。,例子,采用氢化丁腈橡胶H-NBR75，硬度为75MPa，解得,确定材料常数的经历公式 试验拟合本构模型系数 对于已经,Part1Part3局部解析解与FEA解径向应力的比较,Part3局部解析解与FEA解环向应力的比较,平面应变问题发生体积自锁,过盈量1.9mm ，应力非常大，原因是平面应变模型,工程实例：橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解平面应变模型,Part1Part3局部解析解与FEA解径向应力的比较 P,橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解广义平面应变和平面应力模型,过盈量1.9mm ，应力非常大，原因是平面应变模型,橡胶和钢环的解析解与FE解的径向应力比较,广义平面应变平面应力问题不发生体积自锁,平面应变模型发生体积自锁,邹雨、庄茁、黄克智，工程力学，2004，21(6): 72-75,Part3钢过盈面橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解过盈量,由于大型有限元软件的迅速开展，使得复杂的超弹性模型计算过程由计算机程序完成，在ABAQUS等商用软件中给出了具体的计算。用户要熟悉如何输入数据文件，根据试验数据拟合和选用适宜的本构模型，如何处理输出结果并检验其是否正确。对于初学者来说，商用软件是一个“黑匣子，因此，掌握超弹性材料模型理论和计算方法是取得仿真成功的关键。,结论与讨论-1,需要注意的是，对于不可压缩材料的平面问题，无论是解析解还是数值解，均不能采用平面应变解答。因为对于不可压缩材料，如果采用平面应变模型，其体积不变，内力为不确定量，在有限元中的节点位移不能反映单元内力的变化。对于不可压缩材料或者接近于不可压缩材料的平面问题，务必应用平面应力或者广义平面应变解答。,由于大型有限元软件的迅速开展，使得复杂的超弹性模型计,Hypo: Cauchy (Eulerian) Stress (objective) rate is linear homogeneous function of deformation rate.Elastic (Cauchy Elastic)Possesses a homogeneous stress free state, and has a finite neighborhood of this state wherein there is a one-to-one correspondence between Cauchy (Eulerian stress) and Almansi strain. No strain energy potential required.Hyperelastic (Green Elastic):Commonly presupposes adiabatic motion. Internal energy is an analytic function of the Green-Lagrange strain (formed with respect to a homogeneous natural state).Usually one-to-one correspondence of stress and strain required.,结论与讨论-2,Hypo Elastic Hyper. They differ in measure of elasticity,Hypo: Cauchy (Eulerian) Stre,材料的塑性行为可以用它的屈服点和屈服后的硬化来描述。从弹性到塑性行为的转变发生在材料应力应变曲线上的某个确定点，即所谓的弹性极限或屈服点见图。在屈服点上的应力称为屈服应力。大多数金属的初始屈服应力为材料弹性模量的0.05%到0.1%。,5 一维塑性,金属在到达屈服点之前的变形只产生弹性应变，在卸载后可以完全恢复。然而，一旦应力超过了屈服应力，开场产生永久塑性变形。与这种永久变形相关的应变称为塑性应变。,材料的塑性行为可以用它的屈服点和屈服后的硬化来描述。,问题： 在有限元力学模型中，加载是任意的如三维，材料实验数据是单轴拉伸如一维，如何在有限元计算中建立联系，实现对应的应力状态，直到发生屈服和破坏？,5 一维塑性,1 从屈服准那么的建立来答复；2 从时间增量的计算来答复。,应力保持40MPa的蠕变试验数据与计算结果比照,问题：5 一维塑性 1 从屈服准那么的建立来答复；应力保持,最大切应力屈服准那么 (Trescas Criterion) 无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元内的最大切应力到达了某一共同的极限值。,拉伸屈服试验确定,任意状态应力,5 一维塑性,最大切应力屈服准那么 (Trescas Criterion,设计准那么,允许应力,5 一维塑性,在有限元计算中，材料的应力和应变状态等价于单轴拉伸实验数据的对应值，与加载历史相关，只要发生屈服，都是由于单元内的最大切应力到达了某一共同的极限值。,123= s失效判据设计准那么允许应力 5 一维塑,形状改变比能准那么(Misess Criterion) 无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元的形状改变比能到达了一个共同的极限值。,5 一维塑性,形状改变比能与体积改变比能,形状改变比能准那么(Misess Criterion)5,体积改变能密度与形状改变能密度,+,5 一维塑性,体积改变能密度与形状改变能密度+5 一维塑性,形状改变比能准那么,单向应力,三向应力,5 一维塑性,形状改变比能准那么123= s单向应力三向应力5,形状改变比能准那么,失效判据,设计准那么,5 一维塑性,形状改变比能准那么失效判据设计准那么5 一维塑性,5 一维塑性,对于卸载后产生永久应变的材料称为塑性材料。,应变的每一增量分解成为弹性可逆局部和塑性不可逆局部,塑性理论的主要内容有：,屈服函数控制塑性变形的突变和连续，是内变量和应力的函数,流动法那么控制塑性流动，即确定塑性应变增量。,内部变量的演化方程控制屈服函数的演化，包括应变-硬化关系。,弹-塑性定律是路径相关和耗能的，大局部的功消耗在材料塑性变形中，不可逆换成其它形式的能量，特别是热。应力取决于整个变形的历史，不能表示成为应变的单值函数；而它仅能指定作为应力和应变的率之间的关系。,5 一维塑性 对于卸载后产生永久应变的材料称为塑性材料。 应,5 一维塑性,一维率无关塑性,典型弹-塑性材料的应力-应变曲线,应变的增量假设分解成为弹性和塑性局部的和，率形式,应力增量(率)总是与弹性模量和弹性应变的增量(率)有关,非线性弹-塑性区段，应力-应变,切线模量,应力-应变关系的是率均匀的。如果被任意的时间因子缩放，本构关系保持不变。因此，材料反响是率无关的。,5 一维塑性 一维率无关塑性 典型弹-塑性材料的应力-应变曲,5 一维塑性,一维率无关塑性,通过流动法那么给出了塑性应变率，常常表示为塑性流动势能的形式,流动势能的一个例子是,等效应力,屈服条件为,单轴拉伸的屈服强度,等效塑性应变,材料在初始屈服之后屈服强度的增加称为功硬化或者应变硬化(对应于应变软化)。硬化行为一般是塑性变形先期历史的函数。,屈服行为是各向同性硬化；拉伸和压缩的屈服强度总是相等。,5 一维塑性 一维率无关塑性 通过流动法那么给出了塑性应变率,5 一维塑性,一维率无关塑性,一个特殊的模型，,塑性应变率写成为,塑性模型称为关联的，否那么，塑性流动是非关联的。对于关联塑性，塑性流动是沿着屈服面的法线方向。,由此看出,仅当满足屈服条件,时发生塑性变形。,当塑性加载时，应力必须保持在屈服面上，,实现了一致性条件,这给出,塑性模量,5 一维塑性 一维率无关塑性 一个特殊的模型， 塑性应变率,5 一维塑性,一维率无关塑性,对应塑性加载和纯弹性加载或卸载，切线模量为,塑性转换参数,加载卸载条件还可以写为,一致性条件的率形式,应力状态位于塑性屈服面,塑性率参数非负,对于塑性加载,必须保持在屈服面上,其应力状态,对于弹性加载或者卸载,没有塑性流动,因此,因此要求,5 一维塑性 一维率无关塑性 典型的硬化曲线，塑性模量对应,材料硬化描述 (a) Bauschinger效果 (b) 屈服面的平移和扩展,在循环加载中，各向同性硬化模型提供了金属应力应变反响的粗糙模型。Bauschinger效果：在拉伸初始屈服之后的压缩屈服强度降低。认识这种行为的方法之一是观察屈服外表的中心沿着塑性流动方向移动。多轴应力状态：圆环屈服外表扩张对应于各向同性硬化幂硬化，它的中心平移对应于运动硬化。,5 一维塑性,运动硬化,屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化。,背应力的内部变量,材料硬化描述 (a) Bauschinger效果 (b) 屈,5 一维塑性,运动硬化,塑性流动关系,背应力的内部变量,屈服条件,最简单的形式称为线性运动硬化，表示为,对屈服条件微分，给出一致性条件,获得了一个等效塑性应变率的表达式,在塑性加载时， 这里有,5 一维塑性 运动硬化 塑性流动关系 背应力的内部变量 屈,Stress-strain curve under cyclic loads,Combined hardening model,混合硬化,5 一维塑性,屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化。,Stress-strain curve under cycl,5 一维塑性,一维率相关塑性,在率相关塑性中，材料的塑性反响取决于加载率。弹性反响为,一种方法是过应力模型，等效塑性应变率取决于超过多少屈服应力,与不能超过屈服条件的率无关塑性相比，为了发生塑性变形，率相关塑性必须满足或者超过屈服条件。,粘度,过应力,当超越屈服条件,时，发生塑性应变。,结合使用Macaulay括号，如果 f 0, ； ，,给出应变率的表达式为,率敏感指数,5 一维塑性 一维率相关塑性 在率相关塑性中，材料的塑性反响,5 一维塑性,应变软化,单调凸本构曲线不再成立。应变软化如何加载？,位移加载,5 一维塑性 应变软化 单调凸本构曲线不再成立。应变软化如何,6 多轴塑性,从前面的一维塑性本构关系生成到多轴情况。 给出一般处理大应变的次弹性塑性本构关系，这些公式典型的基于分解变形率张量成为弹性和塑性局部的和并取弹性反响作为次弹性。 给出特殊形式如金属塑性的J2流动理论、土壤塑性的Drucker-Prager模型、含孔隙固体塑性的Gurson本构模型，作为一种特殊情况，给出了从一般的大应变公式退化到小应变的情况。 自学：描述了修正率无关的结果而获得率相关塑性(粘塑性)的情况。讨论了根据变形梯度的多项式分解使大变形塑性公式成为弹性和塑性局部。弹-塑性行为是基于弹性反响的超弹性表示。也考虑了单晶塑性的特殊情况，以及粘弹性本构。,6 多轴塑性 从前面的一维塑性本构关系生成到多轴情况,6 多轴塑性,当弹性应变小于塑性应变时，一般应用次弹性-塑性模型。对于次弹性材料在变形闭合回路中能量是非保守的。然而，对于弹性小应变，能量误差是不显著的，并且弹性反响的次弹性表述常常是适宜的。在这些本构模型中，假设分解变形率张量D为,次弹性塑性材料,根据Cauchy应力与弹性反响特别是应用Jaumann率的形式，一个模型的弹性反响是对于变形率的弹性局部应用次弹性定律,塑性流动率给出为,标量塑性流动率,塑性流动方向,6 多轴塑性 当弹性应变小于塑性应变时，一般应用次弹,6 多轴塑性,塑性流动方向取决于Cauchy应力和内部变量 q ，,次弹性塑性材料,标量内部变量的例子是累积等效塑性应变和孔洞体积分数。运动硬化模型的背应力是一个二阶张量内部变量的例子。对于大多数塑性模型需要内部变量的演化方程，可以特设为,作为一维情况，加载卸载条件可以写为一致性条件的率形式,通过下面的一致性条件获得塑性参数的演化方程。屈服条件为,对于塑性加载,其应力状态必须保持在屈服面上,对于弹性加载或者卸载,没有塑性流动。,6 多轴塑性 塑性流动方向取决于Cauchy应力和内部变量,6 多轴塑性,通过链规那么扩展给出一致性条件,次弹性塑性材料,认为塑性流动是关联的，否那么，认为是非关联的。,如果塑性流动方向是与屈服面的法线成比例，,对于膨胀材料和含孔隙塑性固体，如Gurson模型，大的膨胀伴随着塑性变形，J1不再有效，在这种情况下，最好将屈服函数表示成Cauchy应力的形式，并且导致切线刚度不是对称的。Kirchhoff应力公式类似于Cauchy应力公式，并且可以从框5.5中以Kirchhoff应力处处代替Cauchy应力获得。,Kirchhoff应力与Cauchy应力的关系：,6 多轴塑性 通过链规那么扩展给出一致性条件 次弹性塑性材,6 多轴塑性,次弹性塑性材料,UMAT?,6 多轴塑性 次弹性塑性材料 UMAT?,6 多轴塑性,Tresca屈服准那么,Mises屈服准那么,在有限元程序中一般应用哪种屈服准那么？为什么？,Tresca屈服准那么,6 多轴塑性 Tresca屈服准那么Mises屈服准那么在有,6 多轴塑性,基于von Mises屈服面的J2流动模型，特别适用于金属塑性，而且也是为此开展的。该模型的关键假设是压力对在金属中的塑性流动没有影响，这已被试验证明。屈服条件和塑性流动方向是基于应力张量的偏量局部。利用Mises等效应力将观察到单轴应力行为生成到多轴应力状态(另可处理生成剪切行为)，见框5.6。,J2塑性流动理论,上面展示的各向同性硬化公式可以扩展到运动硬化结合各向同性硬化，即混合硬化。在多轴大应变运动硬化模型中，需要背应力张量的客观性。,对于材料如土壤和岩石，摩擦和膨胀效果是明显的。流动模型J2不适合这些材料，为此而开展了代表材料摩擦行为的屈服函数。在这些材料中，塑性行为取决于压力，相比之下的von Mises塑性独立于压力。因此，对于摩擦材料，关联塑性律常常是不适当的。,6 多轴塑性 基于von Mises屈服面的J2流动,摩擦滑移屈服外表,6 多轴塑性,Mohr-Coulomb本构模型,滑移方向塑性流动是水平的沿Q的方向而不是垂直屈服面。这是非关联塑性流动的例子。对于连续体和多轴应力应变状态的行为，M-C准那么具有普适性。它应用于模拟颗粒状的土壤和岩石。,M-C准那么是基于这样的概念，即当任意面上的切应力和平均法向应力到达临界组合时在材料中发生屈服,c是内聚力，通过 定义材料内摩擦角。,摩擦滑移屈服外表 6 多轴塑性 Mohr-Coulomb本构,6 多轴塑性,Mohr-Coulomb屈服行为,Mohr-Coulomb屈服外表Drucker-Pr