矢量分析与场论ppt课件.ppt
电磁场与电磁波,矢量分析与场论,2,内容,基本概念标量、矢量、矢性函数场、标量场、矢量场方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度基本定律散度定理、旋度定理、Helmholtz定律圆柱坐标球坐标,标量与矢量,4,概念,什么是标量？,常量（数）：大小不变的标量,变量：大小变化的标量,标量相等：标量的大小相同,只有数值大小的代数量称为标量,5,什么是矢量？,常矢：大小与方向均不变的矢量,变矢：大小与方向至少有一个变化的矢量,既有大小又有方向的量称为矢量,矢量的大小称为矢量的模,6,矢量相等：矢量的大小与方向均相同,矢量可以由有向线段表示： 线段方向与矢量方向一致 线段长度与矢量大小成正比,7,运算,标量与标量的运算,代数量之间的各种运算,满足代数量的各种运算法则,8,标量与矢量相乘,B的大小：A的大小与a的乘积B的方向：a 0，B与A方向相同 a 0，B与A方向相反,9,矢量相加,10,矢量相加满足加法交换律,矢量相加满足加法结合律,11,加法结合律,12,矢量相减,13,ABA(B),A、B相加满足矢量加法运算法则,14,矢量的标量积,A、B：A、B的模,(A、B)：A、B的夹角,矢量的标量积为标量,15,矢量的标量积满足乘法交换律与分配律,矢量的标量积不满足乘法结合律,16,矢量的矢量积,矢量积为矢量,大小：ABsin(A, B),方向：垂直于A、B,满足右手螺旋法则,17,右手螺旋法则,矢量A、B、C满足,18,矢量的矢量积满足乘法分配律,矢量的矢量积不满足乘法交换律与结合律,19,矢性函数,定义,设t为数性变量，A为变矢量，区间G a, b内的每一个变量t都对应矢量A的一个确定值A(t)，则称A为t的矢性函数,区间G称为矢性函数的定义域,20,矢端曲线,当t变化时，A(t)的终端描绘出的曲线称为矢性函数A(t)的矢端曲线,21,矢径,矢量oM称为点M对于点o的矢径,22,矢性函数的导数,矢性函数的积分,23,导数公式,C为常矢量， k为常数,24,u为标量函数,25,积分公式,a为常矢量， k为常数,场论,27,场,定义,空间区域内的每一点，都对应某物理量的一个确定值，则称在此区域中确定了该物理量的一个场,除了区域内有限个点和区域表面以外，场中的物理量处处连续,28,标量场：标量函数确定的场,矢量场：矢性函数确定的场,静态场：物理量与时间无关的场,动态场：物理量与时间有关的场,29,标量场的等值面,标量场中，由函数值相等的点构成的曲面（曲线）称为标量场的等值面（等值线）,过标量场中每一点只有一个等值面,标量场中一个点只能在一个等值面上,30,等高线,31,矢量场的矢量线,矢量场中，用于直观描述矢量函数空间分布的有向曲线称为矢量线,矢量线上任意一点的切线方向即为该点处矢量的方向,矢量线的密度与矢量的大小成正比,32,电力线,33,标量场的方向导数,定义,设点M0为标量场中任意已知点，由M0出发沿某一方向引一条射线l，在l上取一点M，令M0到M的距离为。则下式中的极限称为标量场在点M0沿方向l的方向导数,34,标量场在点M0处沿l方向的变化率,物理意义,沿l方向增大,沿l方向减小,35,存在性,若函数(x, y, z)在点M0(x0, y0,z0)处可微，则在点M0处沿l方向的方向导数必然存在,cos、cos、cos：l的方向余弦,36,补充：方向角与方向余弦,方向角,定义：空间两点M1(x1, y1, z1)与M2(x2, y2, z2)确定一矢量a，a与直角坐标三条坐标轴之间的夹角分别为、 ，则将、称为矢量a的方向角,37,方向余弦,定义：矢量a方向角的余弦称为a的方向余弦,矢量a的方向余弦,38,方向余弦的性质,矢量a的模不等于零,39,标量场的梯度,定义,标量场中点M处存在一矢量G，其方向为在点M处变化率最大的方向，其模等于变化率的最大值，则称矢量G为标量场在点M的梯度,点M处沿任意方向的方向导数等于该点梯度在此方向上的投影,任一点的梯度垂直于过该点的等值面,标量场的梯度为矢量,40,数学描述,称为Hamilton算子,41,运算,c为常数， u、v为标量函数,42,f(u)为标量函数 u的函数,43,有向曲面,概念,确定了方向的曲面称为有向曲面,闭合曲面,非闭合曲面,44,dS表示曲面上任意面元 大小：dS 方向：面元法线方向,n：dS法线方向单位矢量,45,有向曲面的正侧与负侧：,法线指向的一侧称为正侧，另一侧为负侧,闭合曲面外部为正侧，内部为负侧,46,矢量场的通量,定义,矢量场的通量为标量,47,含义,非闭合曲面：向曲面正侧穿过的通量与向曲面 负侧穿过的通量的代数和,闭合曲面：由曲面内部穿出的通量与向曲面内 部穿入的通量的代数和,为净通量,48,0：流向曲面正侧的通量大于流向负侧的通量,0：流向曲面正侧的通量小于流向负侧的通量,0：流向正、负侧的通量相等,非闭合曲面：,49,0：流出曲面的通量大于流入的通量,0：流出曲面的通量小于流入的通量,0：流出与流入的通量相等,闭合曲面：,50,矢量场的散度,定义,矢量场的散度为标量,矢量场A中任取体积元V包围点M，当V趋于零时，下式中的极限称为矢量场A在点M处的散度,51,含义,矢量场中任意一点的通量密度,散度0：存在正通量源,散度0：存在负通量源,散度0：无通量源 无源区域，散度处处为0,52,散度 0,散度 0,散度 = 0,53,运算,为任意标量函数,54,Gauss定理（散度定理）,V：任意曲面S包围的区域,55,矢量场的环量,定义,l：矢量场A中任意闭合曲线,56,环量面密度,定义：设点P为矢量场A中任意一点，过P任意作微小曲面S，其法向单位矢量为n，边界为闭合曲线l。当S以任意方式趋于P时，下式中的极限称为矢量场A在点P处沿方向n的环量面密度,S：以l为边界的任意曲面,57,矢量场的旋度,定义,S：以l为边界的任意曲面,定义：若矢量场A中任意一点P处存在一矢量R，矢量场A在点P处沿R方向的环量面密度最大，且最大值等于R的模，则矢量R称为矢量场A在点P处的旋度,58,含义,旋度的大小：点P处环量面密度的最大值,旋度的方向：点P处环量面密度取最大值的方向,59,运算,60,称为Laplace算子,61,性质,任意标量函数梯度的旋度恒为0,任意矢量函数旋度的散度恒为0,62,Stockes定理（旋度定理）,l：任意曲面S的边界,正交曲线坐标,64,圆柱坐标,空间点的坐标,：点P到oz轴的距离,：过P以oz轴为界的 半平面与xoz面的 夹角,z：与直角坐标相同,65,坐标变量的取值,66,坐标变量间的关系,67,与直角坐标的关系,68,69,标量与矢量公式,矢量：,体积元：,面元：,线元：,70,Hamilton算子：,Laplace算子：,71,梯度：,散度：,72,旋度：,73,球坐标,空间点的坐标,r：点P到原点o的距离,：过点P以oz轴为界的 半平面与xoz面的夹角,：有向线段oP与oZ 轴的夹角,74,坐标变量的取值,75,坐标变量间的关系,76,与直角坐标的关系,77,78,标量与矢量公式,矢量：,体积元：,面元：,线元：,79,Hamilton算子：,Laplace算子：,80,梯度：,散度：,81,旋度：,Halmholtz定理,83,矢量场的分类,有势场,定义：设有矢量场A1，若存在单值函数1满足,则称A1为有势场，1称为A1的势函数,有势场的势函数有无穷多，彼此间相差一常数,84,有势场也称为无旋场,有势场也称为保守场,与路径无关,85,无源场,定义：设有矢量场A2，若其散度等于零，则称A2为无源场,无源场也称为无散场,86,调和场,定义：若矢量场A的旋度与散度均为零，则称A为调和场,87,Helmholtz定理,Helmholtz定理,无限大空间中，矢量场A处处单值，A的导数连续，场源分布在有限区域中，则矢量场A由其散度和旋度唯一确定,任意矢量场可以分解为一无旋场与一无散场之和,常用矢量公式,89,90,91,92,高斯定理,斯托克斯定理,
