专题三三角函数三角恒等变换与解三角形.doc

专题三 三角函数、三角恒等变换与解三角形 重难小题保分练 1(2019 广西南宁联考)已知sin 2cos sin 2cos 5，则cos212sin 2( ) A25 B3 C3 D.25 1D 解析：sin 2cos sin 2cos 5，tan 2tan 25，tan 3，cos212sin 2cos2sin cos cos2sin21tan 1tan2131925，故选 D. 2 (2019 广东潮州二模)函数 f(x)2sin(x)(0， 00，0)的部分图象，可得34T3421112634， 解得 2.由于点(6， 2)在函数图象上， 可得 2sin(26)2， 则 262k2， kZ， 解得 2k6， kZ.由于 0， 可得 6， 即 f(x)2sin(2x6)令 2k22x62k2，kZ，解得 k3xk6，kZ，则函数 f(x)的单调递增区间为k3，k6，kZ.故选 C. 3(2019 湖北武汉外国语学校模拟)要得到函数ysin(2x3)的图象，只需将函数y2sin xcos x的图象( ) A向左平移3个单位长度 B向右平移3个单位长度 C向左平移6个单位长度 D向右平移6个单位长度 3C 解析：函数 y2sin xcos xsin 2x，函数 ysin(2x3)sin2(x6)，要得到函数 ysin(2x3)的图象，只需将函数 y2sin xcos x 的图象向左平移6个单位长度故选 C. 4(2019 陕西榆林二模)已知x(0，)，则f(x)cos 2x2sin x的值域为( ) A(1，12 B(0，2 2) C(22，2) D1，32 4D 解析：f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x，设 sin xt，x(0，)，t(0，1，f(t)2(t12)232，f(t)1，32，即 f(x)cos 2x2sin x 的值域为1，32，故选 D. 5(2019 山东临沂第一中学质检)设函数f(x)cos(x3)，则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Bf(x)的图象关于直线x83对称 Cf(x)在(2，)上单调递减 Df(x)的一个零点为x6 5C 解析：函数 f(x)的周期为 2k，当 k1 时，周期 T2，故 A 正确；当 x83时，cos(x3)cos(833)cos 31，所以 f(x)的图象关于直线 x83对称，故 B 正确；当2x时，56x343，此时函数 f(x)不是单调函数，故 C 错误；当 x6时，f(6)cos(63)cos320，则 f(x)的一个零点为 x6，故 D 正确综上，故选 C. 6(2019 湖北黄石等八市模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，c3 2，tan B2tan A，则ABC的面积为( ) A2 B3 C3 2 D4 2 6B 解析：tan B2tan A，sin Bcos B2sin Acos A，化简得 2sin Acos Bcos Asin B，sin Csin Acos Bcos Asin B3sin Acos B由正弦定理可得 c3acos Ba2，c3 2，cos B22.由 B(0，)，得 B4，SABC12acsin B1223 2sin43.故选 B. 7(2019 黑龙江大庆二模)设角，是锐角，若(1tan )(1tan )2，则_ 7.4 解析：(1tan )(1tan )2，1tan tan tan tan 2，tan()(1tan tan )tan tan 1，tan()1.，都是锐角，0，4. 8(2019河北邢台第一中学月考)已知函数f(x)cos 2xacos(2x)在区间(6，2)上是增函数，则实数a的取值范围为_ 8(，4 解析：f(x)cos 2xacos(2x)2sin2xasin x1.令 tsin x，则f(t)2t2at1.因为 x(6，2)，所以 t(12，1)，因为 tsin x 在区间(6，2)上是增函数，所以若函数 f(x)在区间(6，2)上是增函数，只需 f(t)2t2at1 在 t(12，1)上单调递增，故a41，解得 a4. 9(2019 吉林东北师大附中二模)若ABC中，sin(AB)sin(AB)sin2C，则此三角形的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 9B 解析：在ABC 中，sin(AB)sin C，因为 sin(AB)sin(AB)sin2C，所以sin Csin(AB)sin2C，即 sin(AB)sin Csin(AB)，整理得 sin Acos Bcos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以 2cos Asin B0，所以 cos A0 或 sin B0(不合题意，舍去)，则 A90 ，所以ABC 为直角三角形故选 B. 10(2019 河南平顶山郏县第一高级中学月考)已知函数f(x)tan 2x，则下列说法不正确的是( ) Af(x)的最小正周期是 Bf(x)在(4，4)上单调递增 Cf(x)是奇函数 Df(x)图象的对称中心是(k4，0)(kZ Z) 10 A 解析： 因为 f(x)tan 2x， 所以其最小正周期为 T2， 故 A 不正确； 当4x4时，22x0)的部分图象如图所示，则关于f(x)的描述中正确的是( ) Af(x)在(512，12)上是减函数 B点(4，0)是f(x)图象的对称中心 Cf(x)在(512，12)上是增函数 D直线x23是f(x)图象的对称轴 11C 解析：由图象知 A2，T23(6)2，则 T2，解得 2，即 f(x)2sin(2x)由五点对应法得620，解得 3，即 f(x)2sin(2x3)当 x(512，12)时， 2x3(2，2)， 所以 f(x)为增函数， 故 C 正确， A 错误； f(4)2sin(243)2sin560， 即点(4， 0)不是 f(x)图象的对称中心， 故 B 错误； f(23)2sin(2233)2sin531，即直线 x23不是 f(x)图象的对称轴，故 D 错误故选 C. 12 (2019湖南湘潭一模)设f(x)sin 3xcos 3x， 把yf(x)的图象向左平移(0)个单位长度后，恰好得到函数g(x)sin 3xcos 3x的图象，则的值可以为( ) A.6 B.4 C.2 D 12 D 解析： 将 yf(x)的图象向左平移 (0)个单位长度得 g(x)sin 3(x)cos 3(x)sin(3x3)cos(3x3)当 6时，g(x)sin 3xcos 3x，不合题意；当4时，g(x) 2cos 3x，不合题意；当 2时，g(x)sin 3xcos 3x，不合题意；当时，g(x)sin 3xcos 3x，满足题意综上可知选项 D 满足题意，故选 D. 13(2019 山东日照模拟)已知点P(1，2)是函数f(x)Asin(x)(A0，0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点设BPC，若 tan234，则f(x)图象的对称中心可以是( ) A(0，0) B(1，0) C(32，0) D(52，0) 13D 解析：如图所示，由题意可知 A2.BPC，且 tan234，12BC2234，解得 BC6，T6，则 2T3.2sin(31)2，62k(kZ)，f(x)2sin(3x6)令3x6k(kZ)，得 x3k12(kZ)当 k1 时，x52，即 f(x)图象的对称中心可以是(52，0)故选 D. 14 (2019 广东深中、 华附、 省实、 广雅四校联考)已知函数f(x)sin(x)(0)图象的一个对称中心为2，0 ，且f412，则的最小值为( ) A.23 B1 C.43 D2 14 A 解析： 因为函数 f(x)sin(x)(0)图象的一个对称中心为(2， 0)， 所以 f(2)0，整理得 sin(2)0，所以2k(kZ)又 f(4)12，即 sin(4)12，所 以4 2k1 6(k1 Z) 或4 2k2 56(k2 Z) 由2k，kZ，42k16，k1Z，0，得4(k2k1)23103；由2k，kZ，42k256，k2Z，0，得 4(k2k2)10323.综上，的最小值为23，故选 A. 15(2019 湖北武汉 5 月调研)如图，在四边形ABCD中，AB4，BC5，CD3，ABC90，BCD120，则AD的长为_ 15.6512 3 解析：连接 AC，设ACB，则ACD120 ，如图所示在RtABC 中， sin 441， cos 541.cos(120 )12cos 32sin 12541324414 352 41.在ACD 中，由余弦定理得 cos(120 )（ 41）232AD223 414 352 41，解得 AD26512 3，即 AD6512 3. 16(2019 湖南株洲一模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab5，sin Csin Asin B3 72，c4b，则ABC的面积为_ B 能力提升练 16.3 74 解析：由正弦定理及sin Csin Asin B3 72，得csin Ab3 72.又 c4b，sin A3 78.ABC 为锐角三角形，cos A 1sin2A18.ab5，c4b，cos Ab2c2a22bcb216b2（5b）28b218， 解得 b1， a4， c4， SABC12bcsin A12413 783 74. 中档大题强化练(1) 1(2019 河北邢台第一中学月考) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2c2a2 3bc，则A( ) A30 B60 C120 D150 1A 解析：在ABC 中，b2c2a2 3bc，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc3bc2bc32.又A(0，)，A30 ，故选 A. 2(2019 河北邢台月考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 tan Atan Bab，则ABC的形状一定是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 2 A 解析： 因为 tan Atan Bab， 所以 btan Aa tan B 根据正弦定理得sin Bsin Acos Asin Asin Bcos B，因为 0A，0B，所以 sin A0，sin B0，所以 cos Acos B，即 AB，故ABC 是等腰三角形故选 A. 3(2019 湖南怀化一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，且 2S(ab)2c2，则 tan C( ) A.34 B.43 C43 D34 3C 解析：在ABC 中，由余弦定理 c2a2b22abcos C，S12absin C，且 2S(ab)2c2， 可得 absin C(ab)2(a2b22abcos C)， 整理得 sin C2cos C2， (sin C2cos C)24，（sin C2cos C）2sin2Ccos2C4，化简可得 3tan2C4tan C0.C(0，)，tan C43，故选 C. 4(2019 山东栖霞模拟)设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，B2A，则b的取值范围为( ) A(0，4) B(2，2 3) C(2 2，2 3) D(2 2，4) 4C 解析：三角形 ABC 为锐角三角形，B2A，02A2，即 0A4.又AB3A，23A，6A3，6A4，22cos A32.a2，B2A，由正弦定理得basin Bsin A， b22sin Acos Asin A， 即b4cos A 又2 24cos Ab，则 CB，即 B 为锐角，则 cos B0，所以 cos B22. 又因为 0 B90 ，所以 B45 . 9.(2019 河南郑州一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为S，且满足 sin Bb24S. (1)求 sin Asin C； (2)若 4cos Acos C3，b 15，求ABC的周长 9解：(1)ABC 的面积 S12acsin B，且 sin Bb24S， 4(12acsin B)sin Bb2，acb22sin2B， 由正弦定理可得 sin Asin Csin2B2sin2B12. (2)4cos Acos C3，sin Asin C12， cos Bcos(AC)sin Asin Ccos AcosC123414. 由 b 15可得 acb22sin2Bb22（1cos2B）（ 15）22（1116）8. 由余弦定理可得 15a2c212ac(ac)232ac(ac)212，解得 ac3 3， ABC 的周长 abc3 3 15. 10.(2019 黑龙江哈尔滨三中一模)在ABC，B3，BC2. (1)若AC3，求AB的长； (2)若点D在边AB上，ADDC，DEAC，E为垂足，ED62，求角A的值 10解：(1)设 ABx， 由余弦定理得 AC2AB2BC22AB BCcos B， 即 3222x22x 2cos 60 ，解得 x 61， 所以 AB 61. (2)因为 ED62，DEAC，所以 ADDCEDsin A62sin A. 在BCD 中，由正弦定理可得BCsinBDCCDsin B， 因为BDC2A，所以2sin 2A62sin Asin 3. 所以 cos A22.又因为 0A2，所以 A4. 11.(2019 湖南岳阳一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos Cccos A2bcos B. (1)求B的值； (2)若ac2，求b的最小值 11解：(1)由 acos Cccos A2bcos B 以及正弦定理可知， sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos B， 即 sin(AC)2sin Bcos B ABC，sin(AC)sin B0，cos B12. B(0，)，B3. (2)由余弦定理得 b2a2c22accos B， 则 b2(ac)23ac. 又 ac2，可得 b243ac43(ac2)2431， 当且仅当 ac 时，取等号，即 b 的最小值为 1. 12.(2019 陕西师大附中等八校模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2 3，且(2 3b)(sin Asin B)(cb)sin C. (1)求角A的大小； (2)求ABC面积的最大值 12 解： (1)在ABC 中， a2 3， (2 3b)(sin Asin B)(cb)sin C， 整理得(ab)(sin Asin B)(cb)sin C， 利用正弦定理得 a2b2c2bc，即 cos Ab2c2a22bc12， 因为 0A ，所以 A3. (2)因为 a2 3，A3，所以 a2b2c22bccos A， 整理得 12b2c2bc2bcbcbc，当且仅当 bc 时，取等号，所以 bc12， 所以 SABC12bcsin A1212323 3. 中档大题强化练(2) 1(2019 黑龙江哈尔滨四校期中)在钝角三角形ABC中，若a1，b2，则最大边c的取值范围是( ) A( 5，3) B(2，3) C( 5，4) D( 5， 7) 1A 解析：在钝角三角形 ABC 中，大边 c 所对的角 C 为钝角根据余弦定理得 cos Ca2b2c22ac0，即 14c2 5.又cab3， 5c3，最大边 c 的取值范围是( 5，3)，故选 A. 2(2019 湖北黄冈联考)如图，在ABC中，BDsin BCDsin C，BD2DC2 2，AD2，则ABC的面积为( ) A. 3 32 B.3 72 C3 3 D3 7 2B 解析： 如图，过点 D 分别作 AB 和 AC 的垂线，垂足分别为 E，F，由 BD sin BCDsin C，得 DEDF，则 AD 为BAC 的平分线，ABACBDDC2.又 cosADBcosADC 0 ，即84AB2222 2 24AC222 2， 解得 AC 2. 在ABC 中， cos BAC 4222（3 2）224218，sinBAC3 78，SABC12ABACsinBAC3 72.故选 B. 3(2019 湖南郴州一模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2 3bca2，bc 3a2，则角C的大小是( ) A.6或23 B.3 C.23 D.6 3A 解析：由 b2c2 3bca2，得 b2c2a2 3bc，则 cos Ab2c2a22bc3bc2bc32.又因为 0ABE，ABAE3，2xx1，x3，x(1，3)设BAE，在ABE 中，由余弦定理可知 9(2x)2x22 2x xcos ，即 cos 5x294x2，菱形 ABCD 面积S菱形ABCD2x 2x sin 4x21（5x294x2）2 9（x410 x29）， 令tx2， 则t(1，9)，则 S菱形ABCD 9（t5）216，当 t5 时，即 x 5时，S菱形ABCD有最大值 12. 7(2019 广东江门一模)在平面四边形ABCD中，ABBC5，CD8，对角线BD7. (1)求内角C的大小； (2)若A，B，C，D四点共圆，求边AD的长 7解：(1)在BCD 中，cos CBC2CD2BD22BCCD12. 因为 0C，所以 C3. (2)因为 A，B，C，D 四点共圆，所以 AC23. 在ABD 中， BD2AB2AD22AB AD cos A， 则 4925AD25AD，解得 AD3 或 AD8(舍去) 所以 AD3. 8(2019 江西九江一模)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2c2b22ac2 3bcsin A. (1)求角B； (2)当b1 且ABC的面积最大时，求ac的值 8解：(1)在ABC 中，由 a2c2b22ac2 3bcsin A， 得 2accos B2ac2 3bcsin A，acos Ba 3bsin A. 由正弦定理得 sin Acos Bsin A 3sin Bsin A. 又 sin A0，cos B1 3sin B， 3sin Bcos B1，2sin(B6)1， sin(B6)12. 又 B(0，)，B66，解得 B3. (2)由(1)知ABC 的面积 SABC12acsin334ac， 由余弦定理得 a2c2b22accos3， 即 a2c21ac2ac1(当且仅当 ac 时取“”)， ac1，即 ac1 时ABC 的面积取得最大值，此时 ac2. 9(2019 山东济宁一模)如图，在四边形ABCD中，B23，AB 3，SABC3 34. (1)求ACB的大小； (2)若BCCD，ADC4，求AD的长 9解：(1)在ABC 中，SABC12ABBCsinABC ， 由题意可得12 3BCsin233 34， BC 3，ABBC. 又B23，ACB6. (2)BCCD，ACD3. 由余弦定理可得 AC2AB2BC22AB BC cos23( 3)2( 3)22 3 3(12) 9，AC3. 在ACD 中，由正弦定理可得 ADACsinACDsinADC3sin3sin43 62. 10 (2019 安徽合肥质检)在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， sin2Asin2Bsin Asin B2csin C，ABC的面积Sabc. (1)求角C； (2)求ABC周长的取值范围 10解：(1)由 Sabc12ab sin C 可知 2csin C， sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C. 由正弦定理得 a2b2abc2. 由余弦定理得 cos C12.又 0C，C23. (2)由(1)知 2csin C，2asin A，2bsin B. ABC 的周长为 abc12(sin Asin Bsin C) 12sin Asin(3A)34 12(sin A32cos A12sin A)34 12(12sin A32cos A)34 12sin(A3)34. A(0，3)，A3(3，23)， sin(A3)(32，1， ABC 周长的取值范围为(32，2 34. 11(2019 江西九校联考试)已知锐角三角形ABC的面积为S，A，B，C所对边分别是a，b，c，角A，C的平分线相交于点O，b2 3，且S34(a2c2b2)，求： (1)角B的大小； (2)AOC周长的最大值 11解：(1)S34(a2c2b2)， 12acsin B34(a2c2b2)， 故12acsin B342accos B，tan B 3. 0B2，B3. (2)设AOC 的周长为 l，OAC，根据ABC 为锐角三角形，可得(12，4) OA，OC 分别是角 A，角 C 的平分线，B3，AOC23. 由正弦定理得OAsin（3）OCsin 2 3sin23， OA4sin(3)，OC4sin ， 则AOC 的周长 l4sin 4sin(3)2 34sin(3)2 3. (12，4)，3(512，712)， 当 6时，AOC 周长的最大值为 42 3. (2019 陕西二模)某市规划一个如图所示的平面示意图，五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，BCDCDEBAE23，DE4 km，BCCD 3 km. (1)求服务通道BE的长度； (2)当AEB4时，求赛道BA的长度 12解：(1)如图，连接 BD.在BCD 中， 由余弦定理得 BD2BC2CD22BC CD cosBCD9， BD3.BCCD，CDBCBD6. 又CDE23，BDE2. 在 RtBDE 中，BE BD2DE25. (2)在BAE 中，BAE23，BE5，AEB4， 由正弦定理可得BEsin23BAsin4，则 532BA22， 解得 BA5 63. 当AEB4时，赛道 BA 的长度为5 63.