理论声学 第十二章 固体中的声波课件.ppt
2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,1,第十二章 固体中的声波,流体：体积形变、声压、纵波固体: 体积形变和切形变、应力、纵波和横波,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,2,叉积,固体介质的弹性性质,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,3,应力矢量,固体内部的力的状态假想切面两部分的相互作用力力的方向、大小应力矢量 正应力矢量，剪应力或剪切应力矢量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,4,直角坐标系,应力分量是对称的 法向应力，拉力为正,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,5,应力分量,法向为 的切面应力矢量，分量记作 正应力,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,6,九个应力分量决定一点内部的受力状态 矩阵的形式 ，对称的实矩阵,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,7,坐标系绕原点转动,坐标系 新的坐标系 与 夹角余弦一点在原坐标系中的坐标新坐标系中,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,8,矢量,一矢量在新旧坐标系中的分量 由三个分量组成的物理量，在坐标旋转时分量的变换满足这个关系，这个物理量是矢量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,9,坐标旋转前后九个应力分量 的切面上正应力正交变换，对称，相同的特征值 二阶张量转换公式,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,10,二阶张量,一个物理量有九个分量，坐标旋转时分量的变换满足二阶张量转换公式 ，这个物理量是二阶张量 应力是对称的二阶张量分量随坐标变换而改变应力张量决定固体内部作用力的状况,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,11,例,1,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,12,2如果,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,13,主应力方向,方向和 是同向的，剪应力为零 矩阵的特征值问题 ，特征方程是,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,14,正交实矩阵有三个实的特征值，对应三个特征矢量，互相正交 介质内任意一点存在三个法向方向切面应力矢量方向与切面垂直剪应力矢量为零，主应力方向应力不变量 ，在主应力方向,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,15,流体,剪应力为零 所有的方向都是主应力方向,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,16,应变,位移相对位移,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,17,矢量微分算子,转动坐标系 ，根据复合函数求导的规则 新旧坐标系中空间求导的规则与矢量的变化一致，三个方向的空间坐标求导组成矢量算子,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,18,位移的梯度,二阶张量 有些刚性运动的位移梯度也不为零位移梯度不适于作为形变的度量。,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,19,有限应变,刚性移动不改变任意线段的长度 ，形变时总有一些线段的长度会改变 位移前后线段长度的平方差作为形变的度量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,20,应变张量,声波位移及导数比较小，忽略高次量应变分量，位移的线性函数 是张量，称为应变张量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,21,伸长应变,与 轴平行的一线元 变形后长度的改变 变形比较小时线元的相对伸长,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,22,剪切应变,在 方向 的分量 的分量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,23,夹角的余弦位移和导数都很小时为 直角在变形后减小的角度 剪应变或剪切应变,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,24,应变张量,写成矩阵的形式 对角线单元等于拉伸应变其他单元等于剪切应变的一半,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,25,应变张量不变量,任意一点都有一个特定的取向，这个方向应变张量对角化 应变张量也有三个不变量 介质的体积膨胀系数,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,26,位移梯度,前两项是拉伸应变和剪切应变最后一项是与形变无关的刚体转动,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,27,广义虎克定律,应力和应变是互相依赖的在应力为零的平衡状态介质的应变为零 应力和应变都很小，线形的关系 81个分量，称为弹性系数分量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,28,坐标转动,新坐标系中两边同乘 四阶张量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,29,张量,由 个分量组成的物理量坐标系转动时 阶张量 矢量是一阶张量，标量是零阶张量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,30,弹性系数,81个弹性系数并不是独立的 应力和应变都是对称独立的弹性系数下降为36个 弹性系数是对称的 21个独立的弹性系数，各向异性 对称性使独立的弹性系数减少各向同性的介质,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,31,缩写下标的方式,应力和应变是对称二阶张量，有6个独立分量，缩写下标应力和应变有一个下标，取值范围从1到6 ，排成六个单元的列矢量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,32,广义虎克定律,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,33,21个独立的弹性系数,弹性系数,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,34,各向同性的介质,弹性性质与方向无关坐标系绕旋转180,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,35,各向同性的介质,转动,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,36,用拉密系数表示,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,37,理想的流体介质,不能承受剪切应力 三个正应力等于压强的相反数 绝热体积弹性系数,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,38,固体中的运动方程,体元的运动方程 高斯散度定理 运动方程,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,39,对原点力矩的平衡第一项为第一项与两项体积分抵消,应力张量的对称性,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,40,各向同性介质的弹性波方程,固体中的运动方程声波方程,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,41,能量密度,动能密度势能 准静态 受力,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,42,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,43,玻印亭矢量,通过单位面积的功率 玻印亭矢量反映介质中能量传递的物理量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,44,能量守恒,外力做功面积分为第一项与 合并,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,45,第二项 等于体积内动能和势能的增量能量守恒,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,46,平面波解,传播方向偏振方向 特征值问题,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,47,三个正的特征值 每个频率确定一个传播速度 对应的偏振方向,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,48,各向同性介质,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,49,纵波,偏振方向与传播方向一致，纵波,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,50,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,51,位移偏振方向与波矢方向一致 纵波 声场的动能密度等于势能密度 能流速度,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,52,横波,偏振方向与传播方向垂直，横波,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,53,能流速度,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,54,位移势,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,55,位移位，位移势,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,56,各向同性固体中,纵波膨胀波，压缩波，膨胀波 ，P波 横波切变波或等体积波，S波纵波和横波的方程互相独立无限大的介质中独立传播，互不转化在介质的边界或不均匀的地方耦合,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,57,横向各向同性介质,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,58,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,59,水平偏振的横波，SH波,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,60,能流速度的方向不一定与波矢方向一致不同波矢方向的波速不一样,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,61,准纵波，垂直偏振准横波，qL，qSV,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,62,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,63,一般的各向异性弹性体,有三个特征值,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,64,一般的各向异性弹性体,任意传播方向都有三个平面波传播速度不同，偏正方向互相正交一个波速度比较大，偏正方向接近传播方向，准纵波两个的速度比较低，偏正方向与传播方向接近垂直，准横波。 角谱表示,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,65,各向同性,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,66,平面波的能量关系,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,67,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,68,能流速度曲面,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,69,群速度,波包,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,70,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,71,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,72,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,73,平面波在平界面上的反射和折射,界面为x=0入射波在xy平面内不带撇和带撇的符号分别表示两种介质的量,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,74,平界面边界条件,刚性连接 滑移一边固体，一边液体自由界面,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,75,入射声波,从介质1入射到界面方向在 平面内，入射角入射波可以是纵波或横波横波可以有不同的偏振方向偏振方向与界面平行的横波称为水平偏振横波偏振方向与水平偏振方向垂直的横波称为垂直偏振横波,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,76,水平偏振横波入射,其余出现在边界条件中的位移和应力分量都为零,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,77,反射波和折射波,反射波和折射波各有纵波、水平偏振和垂直偏振横波稳态入射波，反射波和折射波是同样频率的稳态波水平偏振入射横波只牵涉到一部分边界条件水平偏振的反射波和折射波有同样的性质水平偏振横波与其他两种波在界面上脱耦只产生同样偏振的反射横波和折射横波,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,78,Snell定律,反射角等于入射角折射角和入射角的正弦与两种介质的横波速度成比例与流体介质的情况类似,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,79,钢和有机玻璃,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,80,垂直偏振横波入射,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,81,反射波折射波,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,82,Snell定律,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,83,反射系数和折射系数,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,84,具体求解用数值方法 临界角 如果反射纵波和两个折射波都是凋落的，发生全反射，反射横波的反射系数的绝对值为1,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,85,纵波入射,入射波 Snell定律,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,86,反射波和折射波幅度,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,87,自由界面的反射,水平偏振横波入射 自由表面上的反射系数是1,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,88,垂直偏振横波在自由表面上反射,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,89,纵波入射到自由界面,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,90,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,91,声波导,板、棒、钢轨等结构，地层可以从弹性波方程，边界条件求解对于平行界面的板状结构，可以采用分波叠加的方法,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,92,自由平板,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,93,自由平板模式的对称性,自由平板有一个对称面 模式是对称或反对称的,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,94,非简并的模式或者是对称的，或者是反对称的简并的模式必然是对称模式、反对称模式或两者的线性叠加只需要研究对称和反对称的模式。,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,95,SH模式,分波的叠加反射系数为1,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,96,SH模式与层状流体波导的模式相象截止频率、传播模式、凋落模式,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,97,Lamb波,SV波和纵波在自由界面上的耦合,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,98,模式的对称性和反对称性 在上表面,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,99,存在非零解得条件对称模式，反对称模式,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,100,模式,对称模式反对称模式,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,101,Lamb波的频散曲线,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,102,A1模式的位移,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,103,S1模式的位移,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,104,复波数Lamb波的频散曲线,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,105,A2模式的位移,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,106,S2模式的位移,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,107,表面波,声波沿固体的平面自由表面传播地震波在地面转化为表面波大地震在大范围里引起破坏的元凶压电晶体的表面波实现模拟信号处理通讯、雷达、手机、电视机、传感器,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,108,稳态表面波,厚度无限增大,模式 的极限情况,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,109,决定表面波速度的方程有一个比 1 略小的根速度比横波速度稍低,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,110,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,111,瞬态表面波,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,112,取一个收敛的解析函数纵波位 横波位,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,113,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,114,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,115,细梁和薄板的低频近似理论棒的纵振动,忽略了横向位移，不完全满足波动方程，近似理论,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,116,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,117,泊松比杨氏模量 一般不为零,近似,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,118,薄板内的低频波,对称模式,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,119,反对称模式,截面回转半径,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,120,位移,主要分量是板厚方向，与位置无关横振动 中性面,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,121,薄板的横振动,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,122,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,123,平面应变问题和平面应力问题,平面应变问题,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,124,平面应力问题,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,125,平面应变问题和平面应力问题有对应的关系,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,126,梁的横向振动的基本方程,位移的四阶微分方程,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,127,两个解是稳态传播的波 相速度 群速度适用条件 波长远大于梁尺度 两个代表衰减和发散的位移,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,128,无限长的梁中传播的瞬态波,初始的扰动向两边传播频率高的部分传播得快频率低的部分传播得慢脉冲拖长,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,129,梁位移,中性面剪应力弯矩,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,130,有限长的梁,四阶方程，四个边界条件,每个端点两个钳定边界条件 简支边界条件 自由边界条件,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,131,一端钳定一端自由的梁,超越方程，用数值方法 高阶频率不是基频的整数倍 振型满足正交性,2022/12/9,理论声学(2) 第十二章,132,强劲弦,弦的横振动的回复力是张力引起的梁的横振动的回复力是劲度引起的张力和劲度起回复力的作用，强劲弦低频时相当于弦，高频时相当于梁,
