人教版九年级数学上册第21章教学ppt课件.pptx

,第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式. （重点）3.了解一元二次方程的根的概念. （重点）4.能根据实际问题列一元二次方程. （重点、难点）,学习目标,新课导入,判断下列式子是否是一元一次方程：,一元一次方程,（1）只有一个未知数,（2）未知数的指数是一次,（3）方程的两边都是整式,新课导入,在设计人体雕像时， 使雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下) 的高度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关系： ACBCBC2，即BC22AC.设雕像下部高 x m，可得方程x22(2x).整理，得x22x40.,新课导入,x22x40,这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2.,（1）如何解这类方程?（2）如何用这类方程解决一些实际问题?,新课讲解,知识点1 一元二次方程的定义,问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?,新课讲解,设切去的正方形的边长是 x cm，则盒底的长为(1002x)cm，宽为(502x)cm.根据方盒的底面积为3 600cm2，得 (1002x)(502x)3 600.整理，得 4x2300 x1 400=0.化简，得 x275x350=0.解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸.,x cm,(100-2x) cm,(50-2x) cm,化简后的方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,分析：,新课讲解,问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？,全部比赛场数为 47=28.设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 (x1) 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场.列方程 .整理，得 . 解上面方程即可得出参赛队数.,分析：,（2）方程中只含有 未知数，未知数的最高次数是 ,（1）这些方程的两边都是 ,整式,2,观察由上面的问题得到的方程有什么特点？,新课讲解,等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程,x2x=56,x275x+350=0,x2+2x4=0,一个,新课讲解,1 下列方程：x2y60；x2 2；x2x20； x225x36x0； 2x23x2(x22)，其中是一元二 次方程的有 个.,1,含有两个未知数.,不是整式方程.,未知数的最高次数不是2.,整理后未知数的最高次数不是2.,符合一元二次方程的“三要素”.,分析：,新课讲解,如果方程(m3)xm27x 30是关于x一元二次方程，那么m的值为()A3 B3 C3 D以上都不对,下列关于x的方程一定是一元二次方程的是()Aax2bxc0 Bx21x20Cx2 2 Dx2x20,D,C,1,2,新课讲解,知识点2 一元二次方程的一般形式,为什么要限制a 0， b， c可以为0吗？,一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax+bx+c=0 (a0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .,新课讲解,a x 2 + b x + c = 0,(a 0),二次项系数,一次项系数,二次项,一次项,常数项,指出方程各项的系数时要带上前面的符号哟.,二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：,新课讲解,2 将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项,解：,去括号，得3x23x5x10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x28x100.,所以二次项系数为3，一次项系数为8，常数项为10.,新课讲解,知识点3 一元二次方程的解,使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.,下面哪些数是方程 x2 4x +3 = 0 的解? -2，0 ，1，2，3，4.,解：1和3.,新课讲解,3 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根，求 3a2+6a+ 2 019的值.,解：,由题意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2., 3a2+6a+2 019=3(a2+2a)=32 +2 019=2 025.,已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值,课堂小结,一元二次方程,只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,是整式方程,ax2+bx+c=0(a0),一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式,一元二次方程的解（根）,二次项系数,一次项系数,常数项,1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0,C,当堂小练,2. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4.,解：4， 3.,当堂小练,3. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. 有一根1 m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06 m2的平 方的长方形?,解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06. 整理，得50 x2-25x+3=0.,D,拓展与延伸,1. 若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 2. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 3. 若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .,1,-1,2,21.2 解一元二次方程21.2.1配方法 课时2 配方法,第二十一章 一元二次方程,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程. （重点） 2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想.,学习目标,新课导入,解下列方程：(1)2x=8 (2)(x+3)-25=0(3)9x+6x+1=4,直接开平方法,新课导入,因式分解的完全平方式，你还记得吗?,新课导入,填一填,(1)x+10 x+ =(x+ )(2)x-12x+ =(x- )(3)x+5x+ =(x+ )(4)x- x+ =(x- )(5)4x+4x+ =(2x+ ),6,5,5,6,1,1,新课导入,移项,两边加上32,使左边配成完全平方式,左边写成完全平方的形式,开平方,变成了(x+h)2=k的形式,新课导入,以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数行吗?,像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,这个方程怎样解？,变形为,的形式（为非负常数）,变形为,x28x10,(x4)2=15,x2-8x+16=-1+16,叫做配方法.,新课讲解,知识点1 一元二次方程配方的方法,例1 用利用完全平方式的特征配方，并完成填空 (1)x210 x_(x_)2； (2)x2(_)x 36x(_)2； (3)x24x5(x_)2_,25,5,12,6,2,9,导引：,配方就是要配成完全平方，根据完全平方式的结构特征，当二次项系数为1时， 常数项是一次项系数一半的平方,新课讲解,当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍注意有两个,新课讲解,1.填空：(1)x210 x_(x_)2；(2)x212x_(x_)2；(3)x25x_(x_)2；(4)x2 x_(x_)2.2.将代数式a24a5变形，结果正确的是()A(a2)21 B(a2)25C(a2)24 D(a2)29,25,5,36,6,D,新课讲解,3.将代数式 x210 x5 配方后，发现它的最小值为()A 30 B 20 C 5 D04.不论x，y为何实数，代数式 x2y22x4y7的值()A总不小于2 B总不小于7 C可为任何实数 D可能为负数,B,A,新课讲解,知识点2 用配方法解一元二次方程,x26x40,(x3)25,这种方程怎样解？,变形为,的形式(a为非负常数),变形为,新课讲解,解：,常数项移到“”右边,2 解方程：3x26x40.,移项，得 3x26x4二次项系数化为1，得配方，得因为实数的平方不会是负数，所以 x取任 何实数时， (x1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原方程无实数根,x22x .,x22x 12 12.,(x1)2 .,两边同时除以3,两边同时加上二次项系数一半的平方,新课讲解,3 解下列方程 (1)x28x10； (2)2x213x. (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法 (2) 先把方程化成2x23x10.它的二次项系数 为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1， 为此方程的两边都除以2.,分析：,解： (1) 移项，得x28x1. 配方，得x28x42142，(x4)215. 由此可得,新课讲解,新课讲解,(2) 移项，得 2x23x1. 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得,课堂小结,用配方法解一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.,当堂小练,1. 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加 上4的是()Ax24x5 B2x24x5Cx22x5 Dx22x52.用配方法解方程x28x90，变形后的结果正确的 是()A(x4)29 B (x4)27C(x4)225 D (x4)27,A,D,当堂小练,3.下列用配方法解方程2x2x60，开始出现错误的步骤是() 2x2x6， ， ， A B C D,C,当堂小练,4.解下列方程： (1)x2x 0; (2)x(x4)8x12.,(1)移项，得x2x 7 4 ，配方，得x2x 1 4 7 4 1 4 ，(x 1 2 )22，由此可得，x 1 2 ，x1 1 2 ，x2 1 2 .(2)去括号，移项，合并同类项，得x24x12，配方，得x24x4124，(x2)216，由此可得x24，x16，x22.,拓展与延伸,般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (xn)2p 的形式，那么就有：(1)当p0时，方程有两个不等的实数根 (2)当p0时，方程有两个相等的实数根x1x2n；(3)当p0时，因为对任意实数x，都有(xn)20， 所以方程无实数根,x1n ，x2n ；,21.2 解一元二次方程21.2.2公式法,第二十一章 一元二次方程,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.理解一元二次方程求根公式的推导. 2.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况. （重点）,学习目标,新课导入,配方法解一元二次方程的一般步骤: (1)移项;(2)二次项系数化为1;(3)配方;(4)开平方.,新课导入,你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0) 吗?,移项，得 ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得,配方，得即,新课导入,因为a0，所以4a20 式子b24ac 的值有以下三种情况：,新课导入,因为a0，所以4a20 式子b24ac的值有以下三种情况：,新课导入,因为a0，所以4a20 式子b24ac的值有以下三种情况：,新课导入,（1）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？（2）如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？,新课讲解,知识点1 一元二次方程的求根公式,一般地，式子 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0 根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即 b24ac,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的根有三种情况： 当 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 0 时，方程无实数根,新课讲解,1 若关于 x 的一元二次方程 kx24x+2=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ,解：因为关于 x 的一元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，所以 k0且0，即 (-4)2-4k20，解得 k2且 k0，所以k的取值范围为 k2且 k0,新课讲解,判断方程根的情况的方法：,1若一元二次方程 ax2bxc0(a0) 中的左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；2若方程中a，c异号，或b0且c0时，则该方程有两个不相等的实数根；3当方程中a，c同号时，通过的符号来判断根的情况,新课讲解,1,方程3x2x4化为一般形式后的a，b，c的值分别为()A3、1、4 B3、1、4C3、4、1 D1、3、4一元二次方程 中，b24ac的值应是()A64 B64 C32 D32,2,B,A,新课讲解,3.,则该方程根的情况是( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C两个根都是自然数 D无实数根,A,（重庆中考）已知一元二次方程2x2-5x+3=0,新课讲解,知识点2 求根公式解方程,解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方的过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法,确定a，b，c的值时，要注意它们的符号.,新课讲解,2 用公式法解方程：x24x70；,a1，b4，c7.b24ac(4)241(7)440.方程有两个不等的实数根,解：,即,1.确定系数；,2.计算 ；,3.代入 ；,4.定根 .,新课讲解,3 用公式法解下列方程： (1) 2x2 10； (2) 5x23xx1； (3) x2178x.,解：,(1) a2，b ，c1. b24ac 4210. 方程有两个相等的实数根,新课讲解,(2)方程化为5x24x10. a5，b4，c1. b24ac(4)245(1)360. 方程有两个不等的实数根,即,新课讲解,(3)方程化为x28x170. a1，b8，c17. b24ac(8)2411740. 方程无实数根,课堂小结,公式法求解一元二次方程的步骤：,一元二次方程,当堂小练,1.,一元二次方程 的根是()A B C D,C,当堂小练,2.,已知4个数据： ，2 ，a，b，其中a，b是方程x22x10的两个根，则这4个数据的中位数是()A1 B. C2 D.,A,当堂小练,3.,关于 x 的一元二次方程 (k+1)x2-2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( ),Ak0 Bk0 Ck0 且 k-1 Dk0 且 k-1,D,拓展与延伸,一元二次方程根的判别式与三角形的综合例：已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状.,解： 方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，所以=4a2-4(b+c)-(b-c)=0，即a2+b2=c2，所以此三角形为直角三角形,21.2 解一元二次方程21.2.3因式分解法,第二十一章 一元二次方程,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.会用因式分解法解一元二次方程. （重点） 2.能选用合适的方法解一元二次方程. （重点、难点）,学习目标,新课导入,解一元二次方程的基本思路是什么?我们已经学过哪些解一元二次方程的方法?,降次,直接开平方法，配方法，求根公式法.,新课导入,根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为 10 x4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?,新课导入,设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m， 即 10 x4.9x20. 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程?,新课讲解,知识点1 用因式分解法解方程,观察方程 10 x4.9x20，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？,两个因式的积等于零,至少有一个因式为零,10 x - 4.9x 2 = 0,x1 = 0，x2 =,x = 0,或10 - 4.9x = 0,x(10 - 4.9x) = 0,因式分解法的依据：如果 ab=0，那么 a=0 或 b=0,新课讲解,解方程10 x4.9x20时，二次方程是如何降为一次的？,可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法,新课讲解,1 解方程：x(x2)x20；,解：,转化为两个一元一次方程,因式分解，得 (x2)(x1)0.于是得 x20，或x10， x12，x21.,新课讲解,2 解方程：,移项、合并同类项，得 4x210.因式分解，得 (2x1)(2x1)0.于是得 2x10，或 2x10，,解：,新课讲解,采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 右化零，左分解，两因式，各求解.2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了,新课讲解,解：(1)因式分解，得x(x1)0， 于是得x0，或x10，x10，x21. (2) 移项，化简，得x22x10， 因式分解，得(x1)20， 于是得x10，x1x21.,新课讲解,3,ABC的三边长都是方程x26x80的解，则ABC的周长是()A10 B12C6或10或12 D6或 8或10或12,已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x24x30的根，则该三角形的周长可以是()A5 B7 C5或7 D10,2,B,C,新课讲解,知识点2 用适当的方法解一元二次方程,分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.9x2=0 .,解：,配方法：,新课讲解,分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.9x2=0 .,解：, a=4.9，b=-10，c=0., b2-4ac= (-10)2-44.90=100.,公式法：,10 x-4.9x2=0转化为一般式为4.9x2-10 x=0.,新课讲解,分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.9x2=0 .,解：,因式分解法：,或,10 x-4.9x2=0,x(10-4.9x) =0,x =0,10-4.9x=0,新课讲解,3 用适当的方法解下列一元二次方程： (1)4x2640； (2)2x27x60； (3)(3x2)28(3x2)150.,解： (1) 4x2640， x216. x14，x24.,新课讲解,(2) 2x27x60， a2，b7，c6， b24ac970，,(3) 因式分解，得(3x2)3 (3x2)50， 即 (3x1)(3x3)0， x1 ，x21.,课堂小结,因式分解法,概念,步骤,简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解,如果 a b =0，那么a=0或b=0.,原理,将方程左边因式分解，右边=0.,因式分解的方法有ma + mb + mc = m(a+ b+ c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2 -b2=(a + b)(a-b).,课堂小结,解一元二次方程的方法的选择技巧,若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m0，p0) 的形式，则宜选用直接开平方法； 若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法； 若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法； 若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法。,当堂小练,1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ ） A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，52.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ） A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和23.方程x2-3x+2=0的根是 .4. 方程 的根是 .,D,D,x1=1, x2=2,当堂小练,5. 用适当方法解下列方程：（1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11；,解：化简，得 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得 (x-1)(x+4)=0 x1=1, x2=-4,解：化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5,拓展与延伸,一元二次方程解法的比较,21.2 解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系,第二十一章 一元二次方程,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.探索一元二次方程的根与系数的关系. （难点） 2.不解方程的情况下利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. （重点）,学习目标,新课导入,写出一元二次方程的一般式：2. 一元二次方程求根公式.,ax2bxc0(a0),新课导入,方程ax2bxc0(a0)的求根公式 不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系， 一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?,新课讲解,知识点1 一元二次方程的根与系数的关系,【思考1】 从因式分解法可知，方程(xx1)(xx2)0 ( x1，x2为已知数 ) 的两根为 x1 和 x2，将方程化为x2pxq0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗?,方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1x2p，x1x2q.,新课讲解,【思考2】 一般的一元二次方程ax2bxc0中，二次项系数a未必是1， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?,新课讲解,知识点,由求根公式知,新课讲解,方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比,新课讲解,1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x26x150 (2) 3x27x90； (3) 5x14x2. 解： (1)x1x2(6)6，x1x215. (3)方程化为4x25x10，,新课讲解,1,若x1，x2是一元二次方程x2 4x50的两根，则x1x2的值为()A5 B5 C4 D4已知x1，x2是一元二次方程x22x0的两个实数根，则下列结论错误的是()Ax1 x2 B x122x10 Cx1x2 2 D x1 x2 2,2,A,D,新课讲解,3,不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1) x23x15； (2) 3x2214x；(3) 5x214x2x；(4) 2x2x23x1.,解： 150， x1x2(3)3，x1x215.,新课讲解,新课讲解,知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用,2 已知一元二次方程x26xq0有一个根为2， 求方程的另一个根和 q 的值导引：利用两根之和与积求解,新课讲解,解： 设这个方程的另一个根为m，则 m26，2mq. m4， q8. 当q 8时，=(-6)2-48=40， 另一个根为4，q的值为8.,课堂小结,若方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别为x1，x2，则,若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则,x1+x2= -p, x1x2=q.,当堂小练,1. 早期，甲肝流行，传染性很强，曾有 2 人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染 x 人，经过两天传染后 128 人患上甲肝，则 x 的值为( ),A.10 B.9 C.8 D.7,D,分析：依题意得 2+2x+x(2+2x)=128，解得 x1=7，x2=-9(不合题意，舍去)故 x 的值为7,当堂小练,2. 参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？,解：设共有x个队参加了比赛. 依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.,当堂小练,3.两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数的和,解：设较小的偶数为 x，则另一个偶数为 (x+2)，依题意，得 x(x+2)=168，解得 x1=12，x2=-14，x+2=14或 x+2=-12，x+(x+2)=26答：这两个偶数的和为26,拓展与延伸,21.3 实际问题与一元二次方程课时1传播问题、循环问题和数字问题,第二十一章 一元二次方程,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程. （重点）2.正确分析问题中的数量关系. （难点）3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.,学习目标,新课导入,1.解一元二次方程有哪些方法？,直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,2.列一元二次方程解应用题的步骤？,审题，设出未知数， 找等量关系，列方程， 解方程， 验根，答.,新课导入,同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型本节继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题,新课讲解,知识点1 传播问题,1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人 患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?,分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 我们把传染源记作A，则其传染示意图如下：,新课讲解,小明,第1轮,第1轮传染后人数x+1,第2轮传染后人数x(x+1)+x+1,小明,第2轮,新课讲解,知识点,x1= , x2=,根据示意图，列表如下：,解方程,得,答:平均一个人传染了_个人.,10,-12,(不合题意,舍去).,10,解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人.,(1+x)2=121,1+x=(1+x)1,1+x+x(1+x)=(1+x)2,注意:列一元二次方程解应用题要注意检验方程的根是否符合题意，要把不符合题意的根舍去.,新课讲解,如果按这样的传染速度，n 轮传染后有多少人患了流感？,(1+x)2,(1+x)n,(1+x)3,经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.,(1+x)2,(1+x)2x,(1+x)2+(1+x)2x=,(1+x)n-1,(1+x)n-1x,新课讲解,早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为()A10B9C8D7,D,1,新课讲解,某生物实验室需培育一群有益菌现有60个活体样本，经过两轮培植后，有益菌总和达24 000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌(1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多 少个有益菌?,2,新课讲解,解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得 60(1x)224 000. 解得x119，x221(不合题意，舍去) 答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌 (2) 60(119)360203480 000(个) 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌,新课讲解,知识点2 循环问题,2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛 ?,新课讲解,设应邀请x个球队参加比赛，可得到方程可化为x2x30=0解得 x1=6, x2=5 (舍去)所以应邀请6个球队参加比赛.,解：,新课讲解,知识点3 数字问题,3 有一个两位数等于其各位数字之积 的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.,新课讲解,解：,设这个两位数个位数字为x，则十位数字为 (x2)，这个两位数字是10 (x2) + x.根据题意，得10 (x2) +x=3x (x2)整理，得3x217x+20=0解得， x1=4, x2= (不合题意，舍去)当x=4时，x2=2，这个两位数是24.,课堂小结,建立一元二次方程方程,分析数量关系 设未知数,检 验,运用一元二次方程方程解决实际问题的步骤：,当堂小练,1. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向 本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182 件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出 的方程是( ) A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(1-x)=1822,B,当堂小练,2. 参加足球联赛的每两队之间都进行了两次 比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共 有多少个队参加了比赛？,解：设共有x个队参加了比赛. 依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.,当堂小练,3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？,解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10 x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.答：这个两位数是82或28.,拓展与延伸,列方程解实际问题时要注意以下两点： (1)求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际意义. (2)设未知数可直接设元，也可间接设元.,21.3 实际问题与一元二次方程课时2变化率问题和利润问题,第二十一章 一元二次方程,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. （重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. （难点）,学习目标,新课导入,列一元二次方程解决实际问题的步骤？,审题，设出未知数， 找等量关系，列方程， 解方程， 验根，答.,新课导入,第三年种的水稻平均每公顷的产量为 .,第一年平均每公顷产8 000 kg,第二年种的水稻平均每公顷的产量为 ；,新课讲解,知识点1 有关增长/下降率的问题,1 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?,下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？,新课讲解,下降率是下降额与原成本的比值；,新课讲解,知识点,如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为 ，再次下降后的成本变为 .（用代数式表示）,设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系 可得方程 ，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？,5000(1-x),5000(1-x) 2,终成本=原成本(1下降率)2,5000(1-x)2=3000,新课讲解,应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.,新课讲解, 设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则由等量关系 可得方程 . 解方程，得 y10.225，y21.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%.,终成本=原成本(1下降率)2,6000(1-y)2=3600,新课讲解,思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品， 它的成本下降率一定也大吗? 应怎样全面地比较几个 对象的变化状况?答：甲乙两种药的平均下降率相同；成本下降额较大的药 品， 它的成本下降率不一定较大.不但要考虑它们的 平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率.,新课讲解,某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A560(1x)2315 B560(1x)2315C560(12x)2315 D560(1x2)315,B,1,新课讲解,某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为()A25(1x)282.75B2550 x82.75C2525(1x)282.75D251(1x)(1x)282.75,D,2,新课讲解,知识点2 销售利润问题,2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?,新课讲解,解： 设每千克核桃应降价x元，则每千克利润(60-40-x) 元，此时可销售(100+20 )千克 ， 根据题意,得 (60-40-x)(100+ 20 )=2240. 化简,得 x2-10 x+24=0, 解得x1=4， x2=6 每千克核桃应降价4元或6元 要尽可能让利于顾客， 每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 100%=90%.答: 该店应按原售价的九折出售.,课堂小结,平均变化率问题,增长率问题,a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.,降低率问题,a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.,当堂小练,1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨, 平均每月增长率是x,列方程为( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002. 受全球金融危机的影响，2015年某家电商城的销售额 由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则 该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为( ) A.10% B.20% C.19% D.25%,B,A,当堂小练,3.英国伦敦成功申办了第 30 届奥运会，伦敦市政府积极改善城市容貌，绿化环境，计划从 2010年到 2012年两年时间，绿地面积增加 44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( ),B,分析：设这两年平均每年绿地面积的增长率为 x，根据题意得 (1+x)2=1+44%，解得 x1=-2.2(舍去)，x2=0.2所以这两年平均每年绿地面积的增长率为20%，故选B,A.19% B.20%C.21% D.22%,当堂小练,4. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36，问平均每月降价百分之几？,解：设平均每月降价的百分率为x. 依题意，(1-x)2=1-36% 解得x1=0.2，x2=1.8(舍去)答：平均每月降价20%.,拓展与延伸,列一元二次方程解决利润问题的“一二三”1.一个相等关系:单件利润销售数量=总利润.2.两个量:单件利润