人教版九年级下册数学 27章相似 教学ppt课件.ppt

,27.1 图形的相似,第二十七章 相 似,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（RJ） 教学课件,学习目标,1. 了解相似图形和相似比的概念.2. 理解相似多边形的定义.3. 能根据多边形相似进行相关的计算，会根据条件 判断两个多边形是否相似. (重点、难点),导入新课,图片引入,大张伟钟爱的印有易烊千玺头像的 T 恤,观察T恤上的每一个易烊千玺，他们有什么关系？,下面的“神烦狗”有什么相同和不同的地方？,讲授新课,观察与思考,相同点：形状相同不同点：大小不相同,形状相同的图形叫做相似图形.,相似图形的大小不一定相同.,归纳：,1. 图形的放大：,相似图形的关系：,两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.,2. 图形的缩小：,归纳：,你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？,思考：,放大镜下的图形和原来的图形相似吗？,练一练,放大镜下的角与原图形中角是什么关系?,多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.,观察与思考,问题1 这两个多边形相似吗？问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？问题3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成 比例？,相似比：,相似多边形的特征：,相似多边形的定义：,归纳：,任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？,分析：已知等边三角形的每个角都为60, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.,议一议,同理，任意两个正方形都相似.,归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.,思考：,任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？,例1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角，的大小和EH的长度 x.,典例精析,在四边形ABCD中，360(7883118)81.,C83，AE118.,解： 四边形 ABCD 和 EFGH 相似， 它们的对 应角相等由此可得, 四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例，由此可得,解得 x 28 cm.,，即 .,如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度,练一练,解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得,解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.,， ， ， ，,当堂练习,1. 下列图形中能够确定相似的是 ( ),A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形,ABDF,2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ( ),A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 m,D,3. 如图所示的两个四边形是否相似？,答案：不相似.,4. 观察下面的图形 (a)(g)，其中哪些是与图形 (1)、 (2) 或 (3) 相似的？,5. 填空：(1) 如图是两个相似的四边 形，则x= ，y = ， = ；(2) 如图是两个相似的矩形， x= .,65,80,6,图,3,5,15,x,图,2.5,1.5,90,22.5,6. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1 (1) 求BC长；,解： E 是 AD 的中点，, .,又矩形 ABCD 与矩形 EABF相似，AB=1，, .,解得,(2) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比.,解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比为：,相似图形,形状相同的图形叫做相似图形,相似图形的大小不一定相同,相似多边形对应边的比叫做相似比,对应角相等，对应边成比例,课堂小结,图形的相似,相似多边形,27.2.1 相似三角形的判定,第二十七章 相 似,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 平行线分线段成比例,1. 理解相似三角形的概念.2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌 握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. (重 点、难点)3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应 用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和 计算. (重点、难点),学习目标,导入新课,复习引入,1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对 应边的比叫做 .,2. 如图，ABC 和 ABC 相似需要满足什么条件？,相等,成比例,相似比,相似用符号“”表示，读作“相似于”. ABC与ABC 相似记作“ABCABC”.,讲授新课,如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.,合作探究,图,(1) 计算 ，你有什么发现？,(2) 将 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结 论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？,图,(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？,一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.,符号语言：,若ab c ，则 ， ，,归纳：,a,1. 如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？,想一想：,如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D.,D,练一练,如图，直线ab c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，,观察与思考,把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.,A1,A2,A3,b,c,m,a,直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？,把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？,( ),A1,A2,A3,b,c,m,a,直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？,把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？,( ),平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.,归纳：,如图，DEBC， ，则 ；FGBC， ，则 .,练一练,例1 如图，在ABC中， EFBC.(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？,典例精析,解：,解得 AF = 4.,(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多 少？,解：,解得 AC = ., FC = ACAF = .,如图，DEBC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ；FGBC，AF=4.5，则AG= .,练一练,7.5,6,如图，在ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1 ADE与ABC的三个角分别相等吗？问题2 分别度量ADE与ABC的边长，它们的边 长是否对应成比例？,合作探究,问题3 你认为ADE与ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？,通过度量，我们发现ADEABC，且只要DEBC，这个结论恒成立.,想一想：,我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？,由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？,，而除 DE 外，其他的线段都在ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？,由前面的结论可得,，需要证明的是,证明：在 ADE与 ABC中，A=A. DEBC， ADE=B，AED=C.,如图，过点 D 作 DFAC，交 BC 于点 F.,C,A,B,D,E,F,用相似的定义证明ADEABC, 四边形DFCE为平行四边形，, DE=FC，,ADEABC.,由此我们得到判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似.,三角形相似的两种常见类型：,“A ”型,“X ”型,1. 已知：如图，ABEFCD，图中共有_对相似 三角形.,3,练一练,2. 若 ABC 与 ABC 相似， 一组对应边的长为AB =3 cm， AB=4 cm，那么ABC与 ABC 的相似比是_.,43,3. 若 ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm， 与其相似的另一个 ABC 的最小边长为12 cm， 那么 ABC 的最大边长是_.,24 cm,当堂练习,1. 如图，ABCDEF，相似比为1:2，若 BC=1， 则 EF 的长为 ( ),A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,B,2. 如图，在 ABC 中，EFBC，AE=2cm，BE=6cm， BC = 4 cm，EF 长 ( ),A,A. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cm,3. 如图，在 ABC中，DEBC，则_， 对应边的比例式为 ,ADE,ABC,4. 已知 ABC A1B1C1，相似比是 1:4，A1B1C1 A2B2C2，相似比是1:5，则ABC与A2B2C2的 相似比为 .,1:20,5. 如图，在 ABCD 中，EFAB， DE : EA = 2 : 3， EF = 4，求 CD 的长,解： EFAB，DE : EA = 2 : 3，, 即, DEF DAB，,解得 AB = 10.又 四边形 ABCD 为平行四边形， CD = AB = 10.,6. 如图，已知菱形 ABCD 内接于AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长.,解： 四边形 ABCD 为菱形，,CDAB，,设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，DF = (4x) cm，, 解得 x = 菱形的边长为 cm.,课堂小结,两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例,推论,平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例,相似三角形判定的引理,平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似,基本事实,平行线分线段成比例,27.2.1 相似三角形的判定,第二十七章 相 似,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 三边成比例的两个三角形相似,1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理.2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进 行相关计算. (重点、难点),学习目标,2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获 得证明三角形相似的启发吗？,导入新课,1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？,复习引入,3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？,讲授新课,合作探究,画 ABC 和 ABC，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？,通过测量不难发现A=A，B=B，C=C，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 ABC ABC. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.,证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=AB，,过点 D 作 DEBC 交AC于点 E., DEBC ， ADE ABC., DE=BC，EA=CA.,ADEABC， ABC ABC.,D,E,又 ，AD=AB，, ， .,由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似,归纳：, ，, ABC ABC.,符号语言：,例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由,典例精析,解：在 ABC 中，AB BC CA，在 DEF中， DE EF FD., ABC DEF., ， ， ，, .,方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.,已知 ABC 和 DEF，根据下列条件判断它们是否相似.,(3) AB=12， BC=15， AC24， DE16，EF20， DF30.,(2) AB=4， BC =8， AC10， DE20，EF16， DF8；,(1) AB =3， BC =4， AC6， DE6， EF8， DF9；,是,否,否,练一练,例2 如图，在 RtABC 与 RtABC中，C =C = 90，且 求证： ABCABC.,证明：由已知条件得 AB = 2 AB，AC = 2 AC，, BC 2 = AB 2AC 2 = ( 2 AB )2( 2 AC )2 = 4 AB 2 4 AC 2 = 4 ( AB 2AC 2 ) = 4 BC 2 = ( 2 BC )2., ABCABC. (三边对应成比例的两个三角形相似), BC=2BC，,BAC=DAE，BAC DAC = DAE DAC，即 BAD=CAE.BAD=20，CAE=20., ABC ADE (三边成 比例的两个三角形相似).,例3 如图，在 ABC 和 ADE 中， BAD=20，求CAE的度数.,解：,解：在 ABC 和 ADE 中， AB : CD = BC : DE = AC : AE， ABCADE，BAC=DAE，B=D，C=E.BACCAD =DAECAD ，BAD=CAE.故图中相等的角有BAC=DAE，B=D，C=E，BAD=CAE.,如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.,练一练,1. 如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三 角形的是 ( ),A. 和 B. 和 C. 和 D. 和,C,当堂练习,2. 如图，APD=90，AP=PB=BC=CD，下列结论 正确的是 ( ) A. PABPCA B. PABPDA C. ABCDBA D. ABCDCA,C,3. 根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似：,AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=21cm.,答案：不相似.,4. 如图，ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：ABCEFD, ABCEFD.,证明：ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，,5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由.,解：公路 AB 与 CD 平行., ABDBDC，ABD=BDC，ABDC.,三边成比例的两个三角形相似,利用三边判定两个三角形相似,课堂小结,相似三角形的判定定理的运用,27.2.1 相似三角形的判定,第二十七章 相 似,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判 定定理.2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点),学习目标,1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？,导入新课,复习引入,讲授新课,利用刻度尺和量角器画 ABC和 ABC，使A=A， 量出 BC 及 BC 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？ABC 与 ABC 有何关系？,合作探究,改变 k 和A 的值的大小，是否有同样的结论？,我们来证明一下前面得出的结论：,如图，在ABC与ABC中，已知A= A，,证明：在 ABC 的边 AB 上截取点D，使 AD = AB过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E., DEBC， ADEABC.,求证：ABCABC.,D,E, AE = AC . 又 A = A. ADE ABC， ABC ABC., AD=AB，,由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,符号语言：, A=A，, ABC ABC .,归纳：,对于ABC和 ABC，如果 AB : AB= AC : AC. B= B，这两个三角形一定会相似吗？,不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.,思考：,结论：,如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.,典例精析,例1 根据下列条件，判断 ABC 和 ABC 是否相似，并说明理由：A=120，AB=7 cm，AC=14 cm，A=120，AB=3 cm ，AC=6 cm,解：,又 A = A， ABC ABC.,1. 在 ABC 和 DEF 中，C =F=70，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：DEFABC.,A,C,B,证明： AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，,又 C =F = 70， DEF ABC.,练一练,2. 如图，ABC 与 ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，DAB=CAE. 求证：ABC ADE.,证明： ABC 与 ADE 是等腰三角形， AD =AE，AB = AC，,又 DAB = CAE， DAB +BAE = CAE +BAE，即 DAE =BAC，ABC ADE.,解： AE=1.5，AC=2，,例2 如图，D，E分别是 ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.,又EAD=CAB， ADE ABC，,提示：解题时要找准对应边.,证明： CD 是边 AB 上的高， ADC =CDB =90.,ADC CDB， ACD =B， ACB =ACD +BCD =B +BCD = 90.,例3 如图，在 ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ACB=90,方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.,当堂练习,1. 判断,(1) 两个等边三角形相似 ( )(2) 两个直角三角形相似 ( )(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )(4) 有一个角是50的两个等腰三角形相似 ( ),2. 如图，D 是 ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 ABC DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD BC D. AB2 = BD BC,D,3. 如图 AEB 和 FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .,1,2,相似,当堂练习,解析：当 ADP ACB 时，AP : AB =AD : AC ， AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9；当 ADP ABC 时，AD : AB =AP : AC ， 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. 当 AP 的长度为 4 或 9 时，ADP 和 ABC 相似,4. 如图，已知 ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长 度为 时，ADP 和 ABC 相似.,4 或 9,P,P,5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 B =ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长,解：AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，,又B=ACD， ABC DCA，, ，,6. 如图，DAB =CAE，且 AB AD = AEAC，求证 ABC AED.,证明： AB AD = AEAC，,又 DAB =CAE， DAB +BAE =CAE +BAE ，即DAE =BAC， ABC AED.,两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,利用两边及夹角判定三角形相似,课堂小结,相似三角形的判定定理的运用,第二十七章 相 似,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,27.2.1 相似三角形的判定,第4课时 两角分别相等的两个三角形相似,学习目标,1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并 能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算.,学校举办活动，需要三个内角分别为90，60，30的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？,导入新课,情境引入,讲授新课,问题一 度量 AB，BC，AC，AB，BC，AC 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？,合作探究,与同伴合作，一人画 ABC，另一人画 ABC，使A=A，B=B，探究下列问题：,证明：在 ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD=AB，过点 D 作 DE / BC，交 AC 于点 E，则有ADE ABC，ADE =B.B=B，ADE=B.又 AD=AB，A=A，ADE ABC，ABC ABC.,C,A,A,C,D,E,问题二 试证明ABCABC.,由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似., A=A，B=B，, ABC ABC.,符号语言：,归纳：,如图，ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC.,证明: DEBC，EFAB，,AEDC，,AFEC., ADEEFC.,练一练,证明： 在 ABC中，A=40 ， B=80 ， C=180 AB=60 . 在DEF中，E=80 ， F=60 . B=E，C=F. ABC DEF.,例1 如图，ABC 和 DEF 中，A=40，B=80，E=80 ，F=60 求证：ABC DEF.,典例精析,例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 O 内一点 P，求证：PA PB=PC PD.证明:连接AC，DB.A 和 D 都是弧 CB 所对的圆周角， A= _，同理 C= _， PAC PDB，_ 即PA PB = PC PD.,D,B,1. 如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=60，B =40，A = 60，当C= 时，ABC ABC.,练一练,80,2. 如图，O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = .,6,解： EDAB，EDA=90 . 又C=90 ，A=A， AED ABC.,例2 如图，在 RtABC 中，C = 90，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，EDAB，垂足为D. 求AD的长.,由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.,归纳：,对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？,思考：,如图，在 RtABC 和 RtABC 中，C=90，C=90， .求证：RtABC RtABC.,目标：,证明：设_= k ，则AB=kAB，AC=kAB.由 ，得 . Rt ABC Rt ABC.,勾股定理,由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.,归纳：,例3 如图，已知：ACB =ADC = 90，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，ACB 与ADC相似,解析：ADC = 90，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 RtABC RtACD 时，有 AC : AD AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；,2,(2) 当 RtACB RtCDA 时，有 AC : CD AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似,2,在 RtABC 和 RtABC 中，C=C=90，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) A=35，B=55： ；(2) AC=3，BC=4，AC=6，BC=8： ；(3) AB=10，AC=8，AB=25，BC=15： .,练一练,相似,相似,相似,当堂练习,1. 如图，已知 ABDE，AFC E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对,C,2. 如图，ABC中，AE 交 BC 于点 D，C=E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( ),A.,B.,C.,D.,A,3. 如图，点 D 在 AB上，当 (或 = )时， ACDABC；,ACD,ACB,B,ADC,4. 如图，在 RtABC 中， ABC = 90，BDAC 于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ， BC= .,18,证明： ABC 的高AD、BE交于点F， FEA=FDB=90，AFE =BFD (对顶角相等). FEA FDB，,5. 如图，ABC 的高 AD、BE 交于点 F 求证：,证明：BAC= 1+ DAC，DAE= 3+ DAC，1=3， BAC=DAE. C=1802DOC ，E=1803AOE，DOC =AOE（对顶角相等）， C= E. ABCADE.,6. 如图，1=2=3，求证：ABC ADE,7. 如图，BE是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC 的高， 求证：AC BC = BE CD.,证明： 连接CE，则A=E.又BE是ABC的外接圆O的直径，BCE=90=ADC，A=E，BCE=ADC，ACDEBC., AC BC = BE CD.,两角分别相等的两个三角形相似,利用两角判定三角形相似,课堂小结,直角三角形相似的判定,27.2 相似三角形,第二十七章 相 似,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,27.2.2 相似三角形的性质,1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似 比，并运用其解决问题. (重点、难点)2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并 运用其解决问题. (重点),学习目标,导入新课,复习引入,1. 相似三角形的判定方法有哪几种？,定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似,平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的 三角形与原三角形相似,三边成比例的两个三角形相似,两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,两角分别相等的两个三角形相似,一组直角边和斜边成比例的两个直角三角 形相似,2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?,高,中线,角平分线,周长,面积,如图，ABC ABC，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？,讲授新课,合作探究,ABC ABC，BB ，,解：如图，分别作出 ABC 和 A B C 的高 AD 和 A D ,则ADB =A D B=90.,ABD A B D .,A,B,C,A,B,C,D,D,类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.,由此我们可以得到：,相似三角形对应高的比等于相似比.,一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.,归纳：,解： ABC DEF，,例1 已知 ABCDEF，BG、EH 分别是 ABC和 DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长., (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，, ，解得 EH = 3.2.,典例精析, 故 EH 的长为 3.2 cm.,1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 _ . 2. ABC 与 ABC 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的 高 AD12 cm，则 BC 边上的高 AD _ .,2 : 3,2 : 3,16 cm,练一练,相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？,想一想：,如果 ABC ABC，相似比为 k，那么,因此,ABk AB，BCkBC，CAkCA，,从而,如图，ABC ABC，相似比为 k，它们的面积比是多少？,合作探究,由前面的结论，我们有,A,B,C,A,B,C,D,D,相似三角形面积的比等于相似比的平方,由此得出：,归纳：,1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：,试一试：,2,4,100,100,k,k2,2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的_倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的_倍.,25,10,3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别 是_； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是_.,100 cm、40 cm,50 cm2、8 cm2,解：在 ABC 和 DEF 中， AB=2DE，AC=2DF，,又 D=A，, DEF ABC ，相似比为 1 : 2.,例2 如图，在 ABC 和 DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，A = D. 若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 DEF 的边 EF 上的高和面积.,ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，,DEF 的边 EF 上的高为 6 = 3，,面积为,如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为_.,练一练,例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积., ADE ABC., 它们的相似比为 3 : 5， 面积比为 9 : 25.,解： BAC = DAE，且,又 ABC 的面积为 100 cm2，, ADE 的面积为 36 cm2 ., 四边形 BCDE 的面积为10036 = 64 (cm2).,如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DEBC，EFAB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : SABC 的值.,练一练,解： DEBC，D 为 AB 中点， ADE ABC ， 相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4.,又 EFAB， EFC ABC ，相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4.设 SABC = 4，则 SADE = 1，SEFC = 1，S四边形BFED = SABCSADESEFC = 411 = 2， S四边形BFED : SABC = 2 : 4 =,1. 判断： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( ),当堂练习,3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于_，面积 比等于_.,1 : 2,1 : 4,2. 在 ABC 和 DEF 中，AB2 DE，AC2 DF， AD，AP，DQ 是中线，若 AP2，则 DQ 的值为 ( ) A2 B4 C1 D.,C,4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则 较小三角形的周长_cm，面积为_cm2.,14,5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米， 则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位 小数)？,解： FH = 1 米，AH = 3 米， 桌面的直径为 1.2 米， AF = AHFH = 2 (米)， DF = 1.22 = 0.6 (米). DFCH， ADF ACH，, 即,解得 CH = 0.9米. 阴影部分的面积为：,(平方米).,答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.,6. ABC 中，DEBC，EFAB，已知 ADE 和 EFC 的面积分别为 4 和 9，求 ABC 的面积.,解： DEBC，EFAB， ADE ABC，ADE =EFC，A =CEF，ADE EFC.又SADE : SEFC = 4 : 9，, AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5，, SADE : SABC = 4 : 25， SABC = 25.,7. 如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB、AC 于 点 D、E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC.,解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则,又 DEBC， ADE ABC.,F,即 SADE : SABC 4 : 9.,F,相似三角形的性质,相似三角形对应线段的比等于相似比,课堂小结,相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形性质的运用,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,27.2 相似三角形,第二十七章 相 似,27.2.3 相似三角形应用举例,学习目标,1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量 的物体的高度和宽度. (重点)2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化 为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点),乐山大佛,导入新课,图片引入,世界上最高的树 红杉,台湾最高的楼 台北101大楼,世界上最宽的河 亚马逊河,怎样测量河宽？,讲授新课,据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.,例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.,怎样测出OA 的长？,解：太阳光是平行的光线，因此 BAO =EDF.,又 AOB =DFE = 90，ABO DEF., ，,=134 (m).,因此金字塔的高度为134 m.,表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长,测高方法一：,测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.,归纳：,1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE， 测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求AB长的等 式是 ( ) A B C D,C,练一练,2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_米,8,A,F,E,B,O,还可以有其他测量方法吗？,=,ABOAEF,OB =,平面镜,想一想：,测高方法二：,测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.,如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( )A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米,B,试一试：,例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.,PQ90 = (PQ+45)60.解得 PQ = 90.因此，河宽大约为 90 m.,解：PQR =PST =90，P=P，,PQRPST., ，,即 ，,45m,90m,60m,例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以