《数学物理方法》第3章解析函数的级数表示课件.ppt

第3章 解析函数的级数表示,复变函数项级数(特别是幂级数)的基本概念 怎样将圆域和环域内的解析函数分别展开为泰勒级数和洛朗级数这将从另一个侧面揭示解析函数的本质，具有十分重要的理论价值与实用价值; 介绍零点和孤立奇点的定义和性质，为第4章“留数定理及其应用”做准备,2,3,为什么要研究级数？,级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；常微分方程的级数解。,4,以下问题值得关心：,(1)级数的敛散性；(2) 级数收敛的定义、条件、判据；(3) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。,3.1 复变函数项级数,收敛与发散的定义，以及级数收敛的充要条件;绝对收敛级数和一致收敛级数的定义、判别法和性质,6,3.1.1 复变函数项级数的敛散性,的无穷级数称为复变函数项级数，式中z为复变数，wk(z)是复变函数,(3.1.1),形如,7,(1) 收敛与发散的定义,当n时，若级数(3.1.1)的部分和 的极限存在，即 则称级数 wk(z) 在z点收敛, S(z)称为级数在z点的和；否则称级数在z点发散若级数在区域D(或曲线L)上所有的点收敛，则称级数在D(或L)上收敛，级数收敛的区域称为收敛域,8,(2) 级数收敛的必要条件 (3.1.4),证明 由级数收敛的定义(3.1.3)可得级数收敛的必要条件(3) 级数收敛的充要条件任给e0,存在正整数N(e, z)，使当nN(e,z)时，对任意自然数p,有则级数 在z点收敛,9,3.1.2 绝对收敛级数的定义、 判别法和性质,1. 绝对收敛级数的定义若级数 在z点收敛， 则称级数 在z点绝对收敛.,10,2. 绝对收敛级数的判别法,级数 的每一项是正实数，故 绝对收敛的判别法就是正项级数的判别法，包括达朗贝尔(dAlembert)判别法、柯西判别法、高斯(Gauss)判别法它们大都在高等数学中讨论过，除高斯判别法的证明放在习题中外，其余不再证明为醒目起见，列于表3-1.表3-1中的判别法可用来计算幂级数的收敛半径(见3.2节),11,12,3. 绝对收敛级数的性质,(1) 绝对收敛级数可随意交换各项的次序，所得级数仍绝对收敛且级数和不变(2) 两个绝对收敛级数 和 可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数，且收敛于SS ，即,13,14,【例3.1.1】试证明，在区域|z|l内,15,这个结论非常重要，在证明泰勒定理(3.3节)、洛朗定理(3.4节)，以及将函数展开为幂级数时(考试时也可能)都要用到,16,3.1.3 一致收敛级数的定义、判别法和性质,设级数 定义在区域D(或曲线l)上1.级数一致收敛的定义任给 e0，存在与z无关的正整数N(e)，使当nN(e)时，对于D(或l)上的z，均有|S(z)一Sn(z)|e (3.1.8)则称 在D(或l上)一致收敛于S(z),17,设级数 定义在区域D(或曲线l)上2.级数一致收敛的充要条件任给 e0，存在与z无关的正整数N(e)，使当nN(e)时，对任意自然数p,有 则称 在D(或l上)一致收敛,18,讨论,第一，级数在D(或 l )上收敛与一致收敛的差别仅在于：要使式 (3.1.5)它与式(3.1.9)形式上完全相同成立，前者的N(e,z)可依赖于e,z，而后者的N(e)仅能依赖于e，而不能依赖于z (参见习题3.1.3). 第二，“绝对收敛”与“一致收敛”对级数提出不同的要求：有的级数绝对收敛而不一致收敛；有的级数不绝对收敛而一致收敛；也有的级数既绝对且一致收敛(见习题3.1.4),19,【例3.1.2】试指出复变函数项级数,20,21,22,这个例子说明了收敛与一致收敛两者的差异,23,3. 级数一致收敛的判别法,除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还有两个很有用的判别法，如表3-2所示,24,4. 一致收敛级数的重要性质,一致收敛级数的三个性质的 条件与结论之间的联系列于表3-3.一致收敛级数性质(1)、(2)的证明见习题3.1.5和习题3.1.6；这里仅证明性质(3)，即证明 性质(3) 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理,25,26,魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理,若级数 在D的边界L上一致收敛于S(z);每一项wk(z)在D解析，则,27,证明 性质(3) 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理,证明 设x为边界L上任一点，z为区域D中的任一内点 (1) 证明 在D内解析已知级数的每一项wk(z)在D上解析，由柯西公式得 已知级数 在L上一致收敛，而 在边界L上有界，根据一致收敛级数的判别法2，级数 在L上也一致收敛。,(3.1.13),28,利用式(3.1.13)及各项连续的一致收敛级数可以逐项积分(见式(3.1.11)，即得,这表明，S(z)可以表示为柯西型积分(见式(2.3.23)因此，S(z)在D内解析。,(3.1.14),29,(2)证明 可在D内逐项求导任意多次,在边界L上有界，根据一致收敛级数判别法2，级数 在L上也一致收敛。,由S(z)在D内解析，高阶导数公式为,(3.1.15),30,利用式(3.1.15)及各项连续的一致收敛级数可以逐项积分，便有,(3.1.16),31,讨论 的解析区域与所有wk(z)的共同解析区域相同；但是,的解析区域与所有wk(z)共同的解析区域不一定相同,这是无穷多项函数和与有限项函数和的差别,一致收敛，使得S(z)仅在此开圆的内部解析,32,总之，对于有限项函数的和 如部分和Sn(z)而言，只要每一项连续，则有限项函数的和就连续(即可逐项求极限)，并可逐项积分；只要每一项解析，有限项函数的和就可逐项求导但对无穷多项函数的和 如级数和S(z) 而言，就要求级数一致收敛才具有上述性质,33,作业- 3.1 第52-53页,3.2 幂级数,本节介绍阿贝尔(Abel)定理，收敛圆与收敛半径，幂级数在收敛圆内的性质，以及计算幂级数收敛半径的方法 .,35,幂级数是由幂函数组成的无穹级数其中所有的ak和b为复常数，b点称为幂级数的中心，ak 为幂级数的系数。,(3.2.1),36,3.2.1 阿贝尔定理,定理 若幂级数 ，在某点z0收敛，则级数在以b点为圆心, |z0-b|为半径的圆内绝对收敛，并在|z-b|q| z0-b| (0q1) (3.2.2)的闭圆上一致收敛,37,证明 证明的关键是要找到一个收敛的正项级数,因级数在z0点收敛，由级数收敛的必要条件 可知，必存在正数M,对所有k均有|ak(z0-b)k|M (3.2.3)这样，当|z-b|z0-b| 时，有,38,显然 是收敛的正项级数。由绝对收敛级数的比较判别法可知 , 在 |z-b|z0-b|内绝对收敛；由一致的收敛级数的判别法1可知, 在闭圆 |z-b|z0-b|上一致收敛,39,阿贝尔定理 推论,若 在z = z1发散， 则级数必在圆|z-b|= |z1-b|的外部发散证明 用反证法证明 设级数 在圆|z-b|= |z1-b|外的z2点收敛(|z2-b| |z1-b|)由阿贝尔定理可知，该级数必在圆|z-b|= |z2-b|内收敛(z1点在该收敛内)，这与级数在z1点发散的假设矛盾，推论得证,40,3.2.2 收敛圆与收敛半径,阿贝尔定理及其推论表明：(1)幂级数 在某点收敛，必在离中心b更近的点收敛；(2)幂级数 在某点发散，必在离中心b更远的点发散,41,因此，幂级数的收敛区域与发散区域是不会交替出现的，即必然存在一个以b为圆心的圆，在圆内绝对收敛(并在稍小的闭圆内一致收敛)，在圆外发散这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径R称为该幂级数的收敛半径收敛半径R可为零，可为有限值，也可为。R=0表示除z=b外，幂级数在全平面发散;R= 表示幂级数在全平面收敛,42,3.2.3 幂级数在收敛圆内的性质,性质1 幂级数在收敛圆内解析，且可逐项求导任意多次证明既然幂级数在收敛圆内满足魏尔斯特拉斯定理要求的两个条件：(1)、幂级数在比收敛圆略小的闭圆D的边界上一致收敛(根据阿贝尔定理)；(2)、幂级数的每一项在闭圆D上解析由魏尔斯特拉斯定理可得， 在D内解析，且可逐项求导任意多次这表明，幂级数 在收敛圆内代表一个解析函数,43,性质2 幂级数可沿收敛圆内任意曲线 l 逐项积分,证明 既然幂级数在收敛圆内满足一致收敛级数性质2要求的条件：(1)、幂级数在收敛圆内的任意曲线l上一致收敛于S(z)(根据阿贝尔定理）；(2)、幂级数的每一项在收敛圆内的任意曲线Z上连续由一致收敛级数的性质2可知， 可在曲线l上逐项积分可以证明，对幂级数逐项求导或逐项积分后，不改变幂级数的收敛半径（见习题3.2.1),44,3.2.4计算幂级数收敛半径的方法,可以采用许多不同方法计算幂级数的收敛半径，最常用的方法如下1. 根式法 2.比值法 3.奇点法 4.逐项微分或逐项积分法,45,1.根式法,由根式判别法可知，若,(3.2.4),(3.2.5),46,47,2.比值法,由比值判别法得,(3.2.7),48,3.奇点法,既然幂级数在收敛圆内解析(见幂级数在收敛圆内的性质1)，因此幂级数在收敛圆周上或在收敛圆周外(无限接近收敛圆周）必有奇点这表明，由幂级数中心b到幂级数S (z)最近的奇点的距离就是幂级数的收敛半径R.这种方法常常在将函数展开为泰勒级数时应用(见3.3节）,49,4.逐项微分或逐项积分法,若 的收敛半径Ro已知，且 (3.2.9)则幂级数 及 的收敛半径 R=R0,50,【例3.2.1】求幂级数 的收敛半径,解 用比值法计算，得,51,【例3.2.2】求幂级数 的收敛半径,解 用根式法计算，得上面两次应用了洛必达(LHospital)法则,52,【例3.2.3】求幂级数 的收敛半径,解 (方法一）根式法因为a2k+1=0,a2k=32k 序列 有两个聚点：下极限为0，上极限为3，故,53,(方法二）比值法,因为a2k+1=0不能由相邻两项系数之比的极限求R，但可将级数化为如下两个级数之和 由比值法易得两级数之R1 =R2=1/3，故题设级数的R=1/3,54,(方法三）变量代换法,令w=(3z)2，则 ，易见w平面与z平面中级数收敛半径的关系亦为,55,既然幂级数在收敛圆内收敛，在收敛圆外发散那么，在收敛圆周上情况怎样呢？,56,57,58,【例3.2.4】已知下述幂级数的收敛半径R=1，问它们在收敛圆周上的敛散性如何？,解 (1) 在收敛圆周上点点发散 因为收敛的必要条件是 ，在收敛圆周上点点 点点不收敛,59,(2) 在收敛圆周上的z=1发散，其余收敛,z=1时级数成为调和级数 ，在高等数学中已证明调和级数发散由高斯判别法还可证明，在|z|=1圆周上既然m=1，故 在|z|=1点点发散(即不绝对收敛， 但 是否收敛呢？,60,收敛圆上z=eiq，可以利用级数收敛的充要条件证明， 在|z|=1的周上，除z=1点外，点点收敛。原因在于 的各项辐角均为零，使其和为无穷大导致发散； 而 (除z=1点外）各项辐角不同，各矢量首尾相接形成一蜷线，其矢量和的长度是有限量,胡嗣柱，徐建军数学物理方法解题指导北京：高等教育出版社，199761,61,(3) 收敛圆周上点点绝对收敛。实际上后者为等比级数，公比q=1/2，故在圆周上点点绝对收敛。,62,【例3.2.5】求幂级数 的收敛半径R的值，以及收敛圆内的级数和S(z)的值，在收敛圆周上级数是否绝对收敛？,解 (1) 用比值法计算收敛半径R(2)求在收敛圆内的级数和S(z),63,注意，逐项求导以及 都仅在|z|l 成立将上式从0到z积分，得,这里只讨论对数函数的主值支；上式仅在收敛圆内成立；在收敛圆内级数和S(z)是一个解析函数。,64,(3) 在收敛圆周上，级数点点绝对收敛,上例已证明正项级数 收敛。当|z|=1时，级数 的|wk(z)|mk.由比较判别法可知，级数 绝对收敛,65,作业- 3.2 第59页,3.3 解析函数的泰勒展开,本节将解析函数在其收敛圆内展开为幂级数，称为泰勒级数，随后介绍常用的几种展开方法阿贝尔定理和本节介绍的泰勒定理从正反两个方面揭示了解析函数与收敛圆内幂级数之间的关系,67,3.3.1 泰勒定理,定理 设函数f(z)在圆域|z-b|R内解析，则f(z)可在圆内任意点z展开为泰勒级数 展开系数ak称为泰勒系数,证明 由于f(z)在CR上不一定解析，今以b为圆心作一圆周Cr，使z在Cr内部(图3.1)。定理的证明共有三个中心环节,68,(1)由柯西公式出发,式中为x为Cr上的点，因而|x-b|z-b|,(3.3.2),(3.3.3),69,代入柯西公式，得,(3)交换积分与叠加的次序(即逐项积分）由于 |f(x)| 在Cr上有界，级数 , 在Cr上一致收敛；由一致收敛级数的判别法2可知级数 在Cr上一致收敛。其次，级数各项在Cr上连续。,70,根据一致收敛级数的性质2，该级数可沿Cr逐项积分,应用高阶导数公式，便有定理得证,71,讨论,第一，解析函数的泰勒展开是唯一的设f(z)能展开为另一形式将式(3.3.6)对z求k阶导数后，令z=b，即可证明第二，泰勒级数的收敛半径，最简单的判断方法是：若f (z)最靠近展开中心b的奇点为g，则由g到b点的距离R=|g-b|即为收敛半径,72,第三，泰勒定理与阿贝尔定理指出了解析函数与泰勒级数的关系阿贝尔定理指出，在收敛圆内幂级数 的和函数S(z)是解析函数；泰勒定理指出，在圆内的解析函数可展为幂级数 这一对定理揭示了解析函数与收敛圆内的幂级数(泰勒级数)的关系这种关系在实变函数中是没有的特别是，如果f(z)在D内有一阶导数存在，则f(z)在D内就有无穷多阶导数存在，因而f(z)可在D内任一点的邻域展开为泰勒级数但在实变函数中, f(x)的一阶导数存在，它的二阶及高阶导数就不一定存在，就不能保证可以展开为泰勒级数.,73,3.3.2 将解析函数展开为泰勒级数的方法,1.直接计算泰勒系数2.换元法3.利用两个绝时对收敛的幂级数的乘积或商4.在收敛圆内逐项求导,74,1.直接计算泰勒系数,【例3.3.1】试以z=0为中心将f(z)=ln(1+z)/(1-z)展开为泰勒级数解 为求各阶泰勒系数ak先求f(z)的各阶导数, 即,75,76,2.换元法,在初等函数的泰勒级数中通过换元得到待求级数,77,【例3.3.2】试分别以z0及z=1为中心将 f(z)=(z-1)/(1+z)展开为泰勒级数, 并指出其收敛半径.,解 利用初等函数的泰勒级数 来展开f (z) .(1)以z=0为展开中心令t=-z，可得,f(z)唯一的奇点z=-1到展开中心的距离为1,故R=1.,78,(2)以z=1为展开中心令t=-(z-1)/2可得,f(z)唯一的奇点z=-1到展开中心的距离为2，故R=2.本题还表明，以不同的中心展开同一函数f(z)，不仅幂函数zk与(z-1)k不同，而且泰勒系数ak也不同,79,【例3.3.2】以z=0为中心在|z|1区域展开f(z)=,解 先将分子与分母分别展开为幂级数这两个级数均在|z|1内绝对收敛，它们的乘积也在|z|1内绝对收敛(证明方法与实变函数类似)，利用“多项式”的乘法将它们相乘(实际上有无穷多项）：,80,由此可得,81,利用幂级数的商展开，通过cosz的泰勒级数求得secz =1/cosz的泰勒级数(见习题3.3.3) 通过sinz和cosz的泰勒级数求得tanz的泰勒级数,82,4.在收效圆内逐项求导,【例3.3.4】试以z=0为中心展开f(z) =1/(1-z)2为泰勒级数解 先展开1/(1-z)为级数，再逐项求导可得,83,【例3.3.5】取arctanz=0，试以z=0为中心展开arctanz为泰勒级数,84,【例3.3.6】试用逐项积分法以z=0为中心将f(z)=ln(1+z)/(1-z)展开为泰勒级数(例3.3.1 ),展开为级数后，通过级数的逐项积分可得,85,可见直接计算泰勒系数不是好方法,86,6.待定系数法,【例3.3.7】试以z=0为中心将f(z)=exp1/(1-z)展开为泰勒级数解 设f(z)可展开为泰勒级数 现寻找泰勒系数遵守的方程为此，求f(z)的导数，得,87,88,由zk的同次幂项系数之和为零，即得,由此得,89,作业- 3.3 第65页,1 Laurent级数的概念,2 函数的Laurent级数展开,3 典型例题,3.4 解析函数的洛朗展开 Laurent级数,91,3.4.1 Laurent 级数的概念,如果函数f (z)在z0点解析, 则在z0的某邻域内, 可,展开为Taylor级数, 其各项由z-z0的非负幂组成. 如果,个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数.,本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数,及Z变换理论中起重要作用.,92,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,这种双边幂级数的形式为,同时收敛,Laurent级数,收敛,93,收敛半径R,收敛域,收敛半径R2,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,94,结论:,常见的特殊圆环域:,95,幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域 内解析.(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.,对于Laurent级数，已经知道： Laurent级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开成Laurent级数?,对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:,96,3.4.2 函数的Laurent 级数展开,定理 (Laurent展开定理) 设,在此环域内可展开为Laurent级数,其中,C是圆,周 的正向.,97,98,证明 由于f(z)在CR1和CR2上不一定解析，,取r1, r2满足R2r2|z-b|r1R1 (3.4.3)这样，f(z)在圆Cr1和Cr2所围的闭复通区域D内解析根据复通区域的柯西公式 现在分别将两项展开为级数：,(3.4.4),99,(1)沿Cr1的积分。,因为x为积分曲线Cr1 上的点，z点在Cr1的内部，故有R1| x-b| |z-b| .仿照泰勒定理的证明，式(3.4.4)沿Cr1的积分可写为,100,(2)沿Cr2的积分,因为Cr2为积分曲线Cr2上的点，z点在Cr2 的外部，故有R2|x-b|z-b|，因而,101,既然 |(x-b)/(z-b)| 1，级数绝对收敛，类似地，沿Cr2的积分可写为其中式(3.4.6)的负号已将沿顺时针方向的积分换向令k=-(n+1)，当n=0到时，k将由-1到- ，故,(3.4.8),102,(3)洛朗系数的计算,由柯西定理的推论3可知，式(3.4.5)中沿Cr1的积分与式 (3.4.8)中沿Cr2的积分相等，并且等于沿环内环绕内圆任一回路Cr2的积分，即将式(3.4.5)，式(3.4.8)和式(3.4.9）代入式(3.4.4)，即有,103,104,讨论,第一，洛朗展开系数 这是因为f(z)仅在环域R2|z-b| R1,内解析，而高阶导数公式仅当f(z)在闭曲线Cr内部解析才成立,105,第二，洛朗级数在环域R2|z-b|R1内绝对收敛，并在其内的任一闭环域内一致收敛,洛朗展开式的正幂项称为它的解析部分(也称正则部分），它在圆CR1内(|z-b| R2 ) 绝对收敛，在圆CR2外任一闭区域上一致收敛;两者之和在它们共同绝对收敛的区域绝对收敛，在共同一致收敛的区域一致收敛。,106,第三, 洛朗展开是唯一的 设f(z)的展开为另一形式,为证明Ak与ak相等，将式(3.4.12)的z改写为x，用2pi(x-b)m+1除式(3.4.12）后代入洛朗系数公式，可得,(3.4.13),107,将函数在圆环域内展开成Laurent级数, 理论,(1) 直接方法 直接计算展开式系数,然后写出Laurent展开式,这种方法只有理论意义, 而没有实用价值. 就是,上应该有两种方法: 直接方法与间接方法.,说, 只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法.,108,根据解析函数 Laurent 级数展开式的惟一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成Laurent 级数.,(2) 间接方法,这是将函数展开成Laurent 级数的常用方法.,数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式,(包括Taylor展开式作为特例). 这与Laurent展开式,的惟一性并不矛盾, 在同一圆环域内的展开式惟一.,109,内展开成Laurent级数.,处都解析, 并且可分解为,3.4.3 典型例题,函数f (z)在z=1和z=2处不解析, 在其它点,110,(1) 在 内, 有 则,于是在 内，,111,(2) 在 内, 有,112,于是在 内,(3) 在 内, 有,113,于是在 内,114,(4) 由 知,展开的级数形式应为,所以在 内,115,内展开成Laurent级数.,展开的级数形式应为,因为,116,所以在 内,117,为Laurent级数.,解除z=0点之外, f (z)在复平面内处处解析,对任何复数z ,于是在 内,118,内展开成Laurent级数.,解,(1) 当 时,119,(2) 在 内,120,121,【例3.4.2】试以z=0为中心将 展开为洛朗级数，其中t为参变量,解 函数的奇点为z=0,可在0|z|中将它展开为洛朗级数，利用,122,在0|z |，两级数均绝对收敛，其乘积也在该区域绝对收敛，由此得,令n=k-l，即k=n+l，可以把对k求和改为对n求和，由于当k取0到时， n由-l到；又因 l可取 0 到，故n由-到,123,在第5章将要证明，对于正整数N,有,这些项不存在，这与k=n+l0一致 。式(3.4.16)中z2的系数简记为Jn(t)， Jn(t)称为贝塞尔函数，在数理方程中要用到,124,将式(3.4.17), 式(3.4. 18)代入式(3.4.16), 可得,这表明，贝塞尔函数Jn(t)是函数 的洛朗系数因此， 又称为Jn(t)的母函数或生成函数可以证明正、负阶贝塞尔函数的关系为,125,作业- 3.4 第69页,3.5 解析函数的 零点和孤立奇点,127,本节讨论,解析函数的零点与零点的孤立性，孤立奇点与非孤立奇点在此基础上，通过实例介绍作为孤立奇点的可去奇点、极点和本性奇点的性质，以及无穷远点的性质这些性质大都建立在“解析函数的洛朗展开”的基础上，同时它又成为第4章“留数定理及其应用”的重要基础，起着承上启下的作用。,128,3.5.1 解析函数的零点与零点的孤立性,1.解析函数零点的定义若 f(z) 在b点解析，且 f(b)=0，则称b点是解析函数 f(z) 的零点设 f(z)在b点邻域的泰勒级数为 若 a0=a1 = =am-1=0, am0 (3.5.2) 则称b点为f(z)的m阶零点，由于由此可以得到与式(3.5.2)等价的公式 (3.5.3),(3.5.4),129,2.解析函数零点的孤立性,定理 若f(z)在z=b的邻域解析且不恒为零，则f(z)必在某一圆|z-b|r内，除z=b外不存在其他零点证明 设b为f(z)的m阶零点，则,由式(3. 5.4)及式(3.5.2)可见，j(z)在|z-b|r内解析且j (b)am 0 (3. 5. 5),130,现在考查在|z-b|r内部，是否存在|j(z)| =0的点由j(z)在z=b点连续，故任给e0，存在r0，使当|z-b|r时，有|j(z)-j(b)|e (3. 5.6),这表明，在|z-b|r内部， f(z) = (z-b)mj(z) 除z=b之外没有其他零点。,131,3.5.2 孤立奇点与非孤立奇点,若函数f(z)在z=b不解析(或没有定义)，而在z=b的无心邻域 0|z-b|R 内解析，则称z=b为f(z)的孤立奇点.例如，z=1是 f(z) = 的孤立奇点.因为函数f(z)在z=1没有定义，但在0|z-b|的区域内解析,132,若函数f(z)在z=b的任意小的邻域内总有除z=b以外的奇点，则z=b是f(z) 的非孤立奇点例如 z=0是 的非孤立奇点因为f(z)在z=0没有定义，z=0是f(z)的奇点；另一方面，z=1/(np) (n=0，士1，)也是f(z)的奇点 但当，n时，z=(np)-1无限接近z=0点，即在z=0的任意小的邻域内总有除z=0以外的奇点,133,3.5.3 孤立奇点的分类和性质,孤立奇点分为可去奇点、极点和本性奇点三类.它们的分类可以从极限性质、洛朗展开性质来判定(极点的阶数常由其倒函数的性质来判定)，见表3-4。 上面的极限性质和洛朗展开性质均可分别作为三类奇点的定义为了确定某点是函数的何种奇点，采用两种性质之一进行判断即可(本节例题用了两种性质),134,表 3-4,1,2,135,1. 可去奇点,136,第三，在z=0的无心邻域中,f(z)的洛朗级数为,137,既然可以通过重新定义f(z)在z=0点的取值而将f (z)在z=0的奇异性去掉，所以z=0称为f(z)的可去奇点。对于其余两类孤立奇点，因为 为无限大或无定值，那就不可能重新定义,138,2.极点(m阶),例3.5.2 试证明，z=0是f(z)= 的二阶极点证明 首先，计算z0时f(z)的极限值，由洛必达法则，可得,139,其次，f (z)在0|z|的洛朗展开式为,f(z)的洛朗级数最低负幂项为 z-2 (a-20)，故z=0为f(z)的二阶极点。,g(0)0,140,【例3.5.3】试证明，若b点是f(z)的m阶极点，则b点必为j(z)= f(z)-1的m阶零点，反之亦然,证明 f(z)在b的无心邻域的洛朗展开式为,式中g(z)在b点邻域解析；由于b点是f(z)的m阶极点，故g(b)=a-m0. 因此， 在b点的邻域解析。,141,由解析函数零点的定义可知，b点就是f(z)的倒函数j(z)的m阶零点,在例3.5.2的式(3.5.14)中，z=0是 的二阶零点反之，若b点为j(z)的m的阶零点，可以证明, b点是f(z)= j(z)-1的m的阶极点,142,3.本性奇点,【例3.5.4】试证明，z=0是f(z)=exp(1/z)的本性奇点证明 首先，exp(1/z)在z0时无确定的极限 当z沿x轴从正值方向趋于零时(x=|x|)，有,当z沿x轴从负值方向趋于零时(x=-|x|)，有,这表明，当z-0时f (z)没有确定的极限,143,实际上，任给一个复数A，总可找到一个点列zk，使,对本例，可取,144,其次， 再z=0的无心邻域的洛朗级数有无限多个负幂项,也可证明z=0 是 的本性奇点通常这个方法比前一方法更简单,145,3.5.4 作为孤立奇点的无穷远点,若f(z)在点的无心邻域R|z| 内解析，则z点是f(z)的孤立奇点为了研究函数在点的性质，作变换z=1/t (3.5.24)它将z平面的环域R|z| 映射为t平面的环域0|t|1/R则f(z)在无穷远点的性质可由j(t)在坐标原点的性质来确定，反之亦然,146,这样，当t=0是j(t)的可去奇点，(m阶)极点或本性奇点时，则z=分别是f(z)的可去奇点，(m阶)极点或本性奇点例如，对于函数,当t=0时，由于 j(t) 没有定义，故t=0是j(t)的奇点，z =是f(z)的奇点。应注意，对于t=0不能通过分子分母同乘t(t=0)，而变成 j(t)=t/(1-t) ，故含z的任何函数均以无穷远点为奇点。,147,但当t0时，上述操作可执行，即,故t=0是j(t)的可去奇点，z=是f(z)的可去奇点,148,无穷远点的性质如表3-5所示,因为 当z时，正幂项的模是无界的，故奇点的分类按有没有(或有多少)正幂项来区分,149,【例3.5.5】试证明，z是,的可去奇点 证明 首先，从极限性质来看， 其次，从洛朗展开性质来看因为f(z)的洛朗展开不含正幂项，故z=是f(z)的可去奇点,150,【例3.5.6】试证明, z=是 f(z)=3z5 +2z+1的5阶极点,证明因为这个式子就是f (z)在的无心邻域的展开式，有有限个正幂项，最高幂次为5.从极限性质来看，,151,【例3.5.7】试证明,z=, f(z)=ez的本性奇点,证明 f(z)在z的无心邻域的展开式为含有无限多个正幂项从极限性质来看，令z沿x轴正向及负向分别趋于 ，易见其极限无确定值。,152,作业- 3.5 第76页,谢谢！,