《数学物理方法》第十二章 积分变换法课件.ppt

耐心+坚持+努力 成功,第十二章 积分变换法,积分变换法是物理学与其他应用科学中求解数学物理方程的一种重要方法， 它适用于求解无界区域及半无界区域的定解问题。,3,积分变换法是,通过对数理方程的积分变换，减少自变量的个数，直至化为常微分方程，使求解问题大为简化。此外，积分变换法还可以用来计算定积分，求解常微分方程和积分方程本章介绍应用最广的傅里叶变换法及拉普拉斯变换法。,12. 1 傅里叶变换,本节介绍傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换和傅里叶变换的性质。,5,12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数,1.傅里叶级数一个以 2l 为周期的函数f (x)，若在区间-l, l上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点，并只有有限个极大值和极小值），则在-l, l 上可展开为傅里叶级数,6,2.复数形式的傅里叶级数,它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=np/l,则,7,用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分, 利用进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部改用n表示，即得展开系数,8,12.1.2 傅里叶积分,1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函数值就有一次重复; 非周期函数没有这个性质，但可认为它是周期2l 的“周期函数”，从而可以由式 (12.1.4)和式(12.1.6)出发，利用l , 把符合一定条件的非周期函数展开为傅里叶积分,9,可以证明，如果定义在(-,)的函数f(x) ,在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且绝 对可积 = 有界 ，则在 f(x) 的连续点处，傅里叶积分存在,在f(x)的第一类间断点处，积分等于 这称为傅里叶积分定理,10,现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分,由于l , 相邻两kn，值之差为将式(12.1.6)与式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶积分式(12.1.7).,11,2. 三维形式的傅里叶积分,现在，将傅里叶积分由一维推广到三维则式(12.1.9)可写成,采用矢量记号,12,3. 傅里叶积分的三角形式,由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利用欧拉公式可得 被积函数的正弦项是k的奇函数，对k的积分为零；余弦项是k的偶函数，为(0,)积分值的2倍。故,13,14,12.1.3 傅里叶变换,1.傅里叶变换的定义在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令这表明 f(x)与 是互相对应的： f(x) 描述的物理问题，也可以等效地用 来描述,15,从数学上讲，函数f(x)与 的关系就是一个积分变换的关系我们称 为f(x)的傅里叶变换，记作 = Ff(x)，即,称f(x)是 的傅里叶逆变换，这个运算称为反演，记作 ，即,通常还把 称为f(x)的像函数，把 f(x) 称为 的像原函数,16,由式(12.1.16)和式(12.1.17)可得， f(x)的傅里叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即,在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的以粒子动量为自变量的波函数c(p, t)就是以粒子坐标为自变量的波函数c(x, t)的傅里叶变换。,17,2.傅里叶的正弦变换和余弦变换,若f(x)为奇函数，记作fs(x) ，代入式(12.1.12)和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见A(k)=0，将B(k)记作 。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换,18,2.傅里叶的正弦变换和余弦变换,若f(x)为偶函数，记作fC(x) ，代入式(12.1.12)和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见B(k)=0，将A(k)记作 。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换,19,3. 三维傅里叶变换,正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)，式(12.1.15)一样，由式(12.1.10)可得,20,【例12.1.1】求 的傅里叶变换,解,21,【例12.1.2】求f(x)=exp2ax2 的傅里叶变换，其中a为正数,解 由傅里叶变换的定义出发，并利用4.2节例4.2.7 的结果，便有,22,【例12.1.3】求单位阶跃函数H(x-a) = 的傅里叶变换(a0),解 由定义由于积分不收敛, 故单位阶跃函数的傅里叶变换不存在. 为改善其收敛性质, 考虑函数(b0),23,【例12.1.4 】试证明,解 题设的积分不易直接计算。考虑到 是奇函数， 由傅里叶正弦变换的定义可见，只要证明 , 也即证明e-k满足傅里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)则本题得证,24,实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练习,25,4. d函数的傅里叶展开,d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分证明 令f(x)=d (x-x)代入式(12.1.14), 得将上式代入式(12.1.15) 即有,(12.1.25b),26,利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得,式(12.1.25a)的三维形式为 这几个d公式(12.1.25)和 (12.1.26)在量子力学中有着广泛的应用,27,12.1.4 傅里叶变换的性质,假定下面需要取傅里叶变换的函数，均满足傅里叶变换的条件,28,1.线性定理,若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及f2(x) ，有,29,证明 由定义出发,30,2.延迟定理,设x0为任意常数，则 证明由定义出发，令u=x-x0可得 由式(12.1.16)可见,Ff(x)仅为k的函数，与x无关(x是定积分的积分变量)故 Ff(u)=Ff(x) (12.1.30),31,3.位移定理,设ko为任意常数，则(见习题12.1.9),32,4.相似定理,设a为不等于零的常数，则证明 令u=ax，分别讨论a0与a0两种情形注意当a0时，由于u与x反号，故积分限要变号综合上述两式，即有式(12.1.32),33,5.微分定理,证明 由定义及分部积分法可得,(12.1.34),34,为了计算Ff (x)，设 g(x) = f (x)，由,两次利用式(12.1.34)，即有Ff (x) = Fg(x) = ikFg(x) = ikFf (x) = (ik)2Ff (x)继续往下作，即可得式(12.1.33)微分定理将对f (x)的n 阶导数运算化为对 的乘积运算，从而把求解常微分方程的问题化为求解代数方程的问题(见12.2节的例题)，使计算得到简化,35,6.积分定理,若f(x)满足微分定理的条件，则证明 利用 及微分定理，则两边除以ik，定理得证,36,7.卷积定理,函数f1(x)与f2(x)的卷积定义为f1(x)与f2(x)卷积的傅里叶变换为,(12.1.37),卷积定理将函数f1(x)和f2(x)的卷积运算，化为的 乘积运算， 使计算得到简化,37,证明 由傅里叶变换的定义出发，随后交换积分次序，并应用延迟定理(12.1.19)，便有,因Ff2(x)仅为k的函数，可提出积分号外，式(12.1.37)得证,38,8.像函数的卷积定理,证明 由傅里叶变换定义出发，随后交换积分次序，再利用卷积定义，便有,39,前面证明应用了卷积的交换律(见习题12.1.10),40,9.乘积定理,若f1(x)和f2(x)是x的实函数，则证明 利用傅里叶逆变换的定义，交换积分次序及,(12.1.39),41,第二式同理可证傅里叶正弦变换与余弦变换的乘积定理见习题12.1.7,42,10.帕塞瓦尔(Parseval)等式,证明 将代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的傅里叶展开式，便有,特别是,43,帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到,44,【例12.1.5】 求解积分方程,解 设 解题的步骤分三步：(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成,45,由例12.1.1的Fe-|x|=1/(1+k2)以及例12.1.2的,(2)求解像函数 ，由上式易见,，可得,(3)作傅里叶逆变换(反演)为了计算方便，利用微分定理(12.1.33)及例12.1.2的结论，可将式(12.1.44)写成,46,作傅里叶逆变换，并利用式(12.1.18)，即有,47,【例12.1.6】试利用傅里叶变换证明,证明 令,f1(x)与f2(x)的傅里叶变换分别为,48,由帕塞瓦尔等式,可得,49,作业- 12.1 第255-6页,12.2 傅里叶变换法,傅里叶变换法广泛地应用于求解无界区域的定解问题中求解步骤为对定解问题作傅里叶变换；求像函数；对像函数作傅里叶逆变换, 得解,51,对于半无界区域的定解问题,可采用傅里叶正弦变换(第一类边界条件)，或傅里叶余弦变换(第二类边界条件)；也可将边界条件齐次化后，采用延拓法，最后用傅里叶变换求解为书写简单起见，将采用简写符号,52,12.2.1 波动方程的定解问题,【例12.2.1】求解无界弦振动方程的初值问题解 (1)对方程及初始条件作傅里叶变换,53,第一式利用x与t是独立变量，可交换积分与微分的次序，第二式利用微分定理，由此得带参数k的常微分方程的初值问题,54,(2)求像函数 方程(12.2.4)的通解为,将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得,将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入式(12.2.6) ，可得,(12.2.9),55,(3)作像函数应 的傅里叶逆变换,第一、三项应用延迟定理,(12.2.10),作傅里叶逆变换得,56,第二、四项应用延迟定理和积分定理,作傅里叶逆变换得,将式(12.2.11)与式(12.2.12)代入式(12.2.10), 得,这个结果与行波法结果相同,57,回顾解题过程，傅里叶变换法的解题步骤如图12.1所示,图12.1,58,12.2.2 热传导方程的定解问题,【例12.2.2】求无界杆的热传导问题,解 (1) 对方程及初始条件作傅里叶变换,(2) 求像函数 及与式(12.2.15)对应的齐次常微分方程的通解,59,通解为,采用常数变易法，设式(12.2.15)的通解为,将式(12.2.17)代入式(12.2.15)，可得C(k,t)满足的方程,将全式的 t 改为 t ，两边乘以exp( k2a2t ) 后对t 从0到 t 积分，便有,60,将C(k,t) 代入式(12.2.17) 可得,在式(12.2.18)中令 t = 0 得 再与式(12.2.16)联立得代入式(12.2.18)即有,(12.2.18),61,(3)作像函数的傅里叶逆变换,62,利用奇,偶函数的性质及定积分公式(例4.2.7)p90,63,本题不利用卷积定理，在傅里叶的逆变换公式中对指数作配方运算后，再利用定积分公式计算也可以得到相同的结果。本题计算表明，齐次与非齐次的偏微分方程导致u(x, t)的像函数分别满足齐次与非齐次的常微分方程，在解题方法上没有不同。 对于半无界问题，也可以利用延拓法化为无界问题，直接利用例12.2.2的结果得解,64,【例12.2.3】求半无界杆的热传导问题,解 (1)将边界条件齐次化，作奇延拓，将问题化为无界问题令u(x,t) w(x,t) + uo因而w(x,t)的定解问题为,65,将w(x,t)作奇延拓，得到在无界域上的定解问题为,(2) 利用上题结果得解将f (x,t) = 0及无界域上的w(x,0)代入式 (12.2.20)，便有,66,12.2.3 三维泊松方程的定解问题,【例12.2.4】已知全空间充满介电常数为e 的均匀介质，且自由电荷密度rf(x)，求空间的静电势。已知电势遵守方程解 (1)对方程作傅里叶变换 由微分定理及 可得,67,(2)求像函数 ，得,(3)对像函数作傅里叶逆变换 由12.1节的式(12.1.23), (12.1.24)可得,68,在k空间分别引入直角坐标系(kx,ky,kz)和球坐标系(k,q,j)(图12.2).选kz轴沿 x-x的方向，由于q是k与kz轴的夹角，故q 也是k与x-x的夹角, 即k(x-x) = k| x-x|cosq,k空间的体积元d3k = k2sinqdkdj =2 k2dkdcosqdj 代入上式，得,69,将式(22)代入式(21), 得电磁学中的电势公式 式中x为源点，是激发电场的电荷的坐标；x为场点，是观察点的坐标；| x-x| = r 是场点与源点的距离,70,作业- 12.2 第261页,12.3 拉普拉斯变换,本节介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的定义、拉氏变换的存在定理、常用函数的拉氏变换，以及拉氏变换的性质。,72,12.3.1 拉氏变换的定义,傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间( -,)有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求 存在这是一个比较苛刻的要求。一些常用的函数，如阶跃函数H(t),以及 t，sint，cost 等均不满足这些要求，这就限制了傅里叶变换应用的范围。若 f(t) 定义于( 0,), 积分 也不一定存在。,73,对这样的函数作适当的处理，则有可能由傅里叶变换过渡到拉氏变换引入函数(s 0),若s足够大，函数 f1(t) 的傅里叶变换就有可能存在(见拉氏变换存在定理)，于是,它的傅里叶逆变换为,74,作变量变换 p = s+iw (12.3.4),定义函数 为f1(t) 的傅里叶变换将式(12.3.5)，式(12.3.4)代入式(12.3.2)在0,内，fl(t)e-s t f(t) ，将式(12.3.1)、式(12.3.4)、式(12.3.5)代入式,75,两边乘 e-s t ,这样，式(12.3.6 )与式(12.3.7)构成一对新的积分变换，并称 为 f(t) 的拉氏变换，记作,式(12.3.7) 称为梅林(Mellin)反演公式，亦即 的拉氏逆变换，记作,称 为f(t)的像函数, f(t)为 的像原函数,76,12.3.2 拉氏变换的存在定理,若函数f(t)满足下述条件(1) 当t0时，f(t)=0；当t0时，f(t)在任一有限区间上分段连续.(2)当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M及s0 0，使得,则Lf(t)5 f(p) 在半平面Reps0上存在且解析,图12.3,77,证明 (1) 证明 存在。由,所以积分式(12.3.6)绝对收敛，且 在右半平面Re p = ss0存在.(2) 证明 解析。在式(12.3.12)的积分号内对p求偏导，并取 (s1为任意实常数)，则有,(12.3.12),78,这表明,在半平面Re p = ss0上一致收敛，交换积分与微商的次序，得,既然 的导数在Re p = ss0上存在且有限，故 在Re p = ss0内解析.,79,12.3.3 常用函数的拉氏变换,(1) 若f(t)Ceat (a为复数)，则,(12.3.13),(2) 若f(t)sinbt 或 cosbt (b为复数)，则,(12.3.14),(12.3.15),80,(3) 若 f(t) = tb (Reb -1)，则,分别令b =-1/2 及b =n (式中n=0,1,2,), 则,Rep 0 (12.3.16),81,其他函数的拉氏变换,可以通过上述函数的拉氏变换及拉氏变换的性质求得，也可直接由定义出发计算，还可直接查阅拉氏变换表(表12-1).表 12-1,82,表 12-1 续,83,12.3.4 拉氏变换的性质,假定取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换的条件(见拉氏变换的存在定理) 1. 线性定理若al、 a2为任意常数，则,(12.3.20),(12.3.19),84,证明 只证明式(12.3.19)，第二式的证明留作练习. 由定义出发,85,【例12.3.1】求Lshat和Lchat的值.,解,86,2.延迟定理,设 t 为非负实数，则Lf(t-t) = e-pt Lf(t) (12.3.21)证明 由定义出发u = t-t , 可得利用u0时，f(u) = 0，故积分下限可改为零这里Lf(t)仅为p的函数, Lf(u) = Lf(t),87,3.位移定理,设a为复数，有(见习题12.3.1)【例12.3.2】已知 求Lf(t)的值.解 用阶跃函数表示f(t) = cH(t) - cH(t - t0), Lf(t) = LcH(t) - LcH(t - t0)= c/p - exp(-pt0)c/p = c/p1- exp(-pt0),88,【例12.3.3】求Lte-bt 的值,解 令f(t) = t , 先先按式(12.3.18)求 Lf(t) = L t , 得,利用位移定理,89,4.相似定理,若C为大于零的常数，则,证明 由定义出发，随后作变量变换 u = Ct，则,90,5.微分定理,设 f (n)(t) (n1,2,) 分段连续，则,(12.3.26),91,证明 由定义出发，随后用分部积分，可得,同理，用f(t)取代上述的f(t)，可得继续作下去，即可得式(12.3.26).特别是，当f (k)(0)0 (k1,2,n-1)，则f (n)(t) pnLf(t),92,6.积分定理,证明 设 则 g(t) = f(t), g(0)=0 由微分定理 Lg(t)=pLg(t)-g(0)=pLg(t) 得,93,7.像函数的微分定理,证明 在拉氏变换定义式两边对p求导，得继续作下去，可得式(12.3.29),94,8.像函数的积分定理,证明 由拉氏变换的定义式出发，交换积分次序，得,在Reps0是一致收敛的，上面交换积分次序是“合法的 ”,95,9.卷积定理,L f1(t)f2(t) = L f1(t)L f2(t) (12.3.31)证明 由卷积及拉氏变换的定义出发，交换积分次序，作变量代换 u = t-t ，可得,96,下限可写成零，将exp(-pt)提出积分号外，有计算 对上式作逆变换，即有,由于当u0时f(u)=0 的积分,97,根据梅林定理导出拉普拉斯变换普遍的反演公式-展开定理10.展开定理展开定理若当 一致地趋于零， 且 只有有限个孤立奇点bk( k =1,2,)，则,98,证明 梅林公式为,梅林公式的积分路线是p平面上与虚轴平行的直线 l (图12.4)为了运用留数定理进行计算，选择一条闭合回路L：以坐标原点为圆心, R为半径作一圆弧CR，使CR与L构成一闭合回路L = CR + l,99,仿照若当引理，可以证明,回路L由 l +CR构成，由上式及留数定理可得式中bk为 在p平面上有限远处的全部奇点。拉普拉斯变换的存在定理指出， 在直线L的右侧解析,100,【例12.3.4】已知,解 首先将 之积，其中,由式(12.3.13)得 其拉氏逆变换为,101,由例12.3.3得,其拉氏逆变换为 差一个因子p，利用微分定理于g(t) =te-b t ,便有,其拉氏逆变换为,102,将式(12.3.33)及式(12.3.35)代入卷积定理,对上式作拉氏逆变换，因为已假设作拉氏变换的函数满足存在定理的条件(1)，即函数的宗量小于零时, 该函数为零.由t-t0及t0得t 的积分区域为0到 t,103,据此得,最后的等式是利用分部积分法求得的.,104,【例12.3.5】求解常微分方程的初值问题,(1)对初值问题作拉氏变换.利用微分定理及初始条件可得,(2)求解像函数 解上述代数方程，得,105,(3) 对像函数作拉氏逆变换.,利用卷积定理可得,由例12.3.1得 C0ch(at) 及 C0/ach(at),106,将以上三式代入式(12.3.36)，得,107,【例12.3.6】已知,解 f(p)为多值函数，支点为-1到。从-1到-沿负实轴作割线，规定割线上岸 (p+1)的辐角值为p，割线下岸辐角为-p：选择积分回路L如图12.5所示.,试利用展开定理，求 f(t).,108,对于圆弧Ce上的p，有|p+1|=e,由小圆弧引理得,由 在回路L内部解析, 故回路积分为零,109,根据梅林公式及留数定理得,110,作变量代换u=x2，利用欧拉积分,111,作业- 12.3 第271页,12.4 拉普拉斯变换法,本节应用拉氏变换求解波动方程与热传导方程的定解问题.无论方程与边界条件是否为齐次，其求解步骤均为：对方程及边界条件作拉氏变换；求解象函数，对象函数作拉氏逆变换得解.,113,采用拉氏变换法求解定解问题时, 往往是针对时间变量t进行的, 特别是对带有边界条件的定解问题.在解题时，采用简写记号,114,12.4.1 波动方程的定解问题,【例 12.4.1】求解半无界波动方程的混合问题,解 1. 对方程和边界条件作关于t 的拉氏变换.由拉氏变换的定义、微分定理及初始条件可得带参数 p 的常微分方程的边值问题,115,2. 求解象函数u(x,p)方程 (12.4.4)的通解是相应的齐次方程的通解与(12.4.4)式的特解之和, 即,将式(12.4.6)代入式(12.4.5), 得C10, C2 代入上式，便有,116,(3) 对像函数作拉氏逆变换. 利用12.3节的式(12.3.18)及延迟定理,其中，当t-t 0 时, f(t-t) = 0是拉氏变换存在定理要求的条件.由式(12.4.8)、式(12.4.9)得,117,当泛定方程的非齐次项不是常数C时，也可按类似的方法计算.,118,12.4.2热传导方程的定解问题,【例12.4.2】半无限长的均匀杆，其端点温度按f(t)的规律变化，已知杆的初始温度为零，求杆上的温度分布规律.解 定解问题为,(1)对方程和边界条件作关于t的拉氏变换,119,(2) 求像函数u(x,p),方程(12.4.13)的通解为,120,(3)对像函数作拉氏逆变换,由拉氏变换表可得,(12.4.16),121,代入微分定理得,作拉氏逆变换即有(见习题12.4.4)将式(12.4.18)代入式(12.4.16)即有,122,123,这题能不能作关于变量x的拉氏变换呢？尽管x的变化范围是(0, )，因在边界点x= 0 不可能同时给出u(0,t)和ux(0,t)的值，因此不可能由微分定理写出 的值，所以应作关于变量 t的拉氏变换.,124,作业- 12.4 第273页,125,共同进步,谢谢!,