高等数学一元函数微分学及其应用课件.pptx

,第二章,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,Advanced mathematics,一元函数微分学及其应用,高等数学,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第二章,第二节 导数的计算法则,第三节 微分的概念与应用,第四节 微分中值定理及其应用,第五节 泰勒中值定理,第六节 函数的性态与图形,第七节 导数的实际应用,第一节 导数的概念及基本求导公式,课 前 导 读,我们首先来看几个函数的图像.,3,图 2-1,图 2-2,图 2-3,大家会发现，在 处它们都是连续的， 但是前两个函数的图,和后一个函数的图像相比， 处有“角点”或“尖点”出现（见,图2-1、图2-2），破坏了图形的美感和润滑度，而第三个函数相对来说,处比较“光滑”（见图2-3） .,课 前 导 读,4,前面两个函数在 处“导数”不存在，即不可导，,而第三个函数在 处是“可导”的.,那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢? 这就是这一章要研,究的内容.,一、 割线与切线,在中学数学中， 圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线” （见图2-4）.,O,O,图 2-4,图 2-5,但对于一般曲线， 这样定义是不合适的。例如，直线 与抛物线 只有一个交点（见图2-5）， 但显然不是实际意义下的切线.,下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义.,一、 割线与切线,设曲线 : ， ，在曲线 上取点 及点 ， 连接 ， 则 为过点 的割线， 割线的倾角为 （见图2-6）.,则割线 的斜率为,O,N,x,图 2-6,一、 割线与切线,从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过程中， 需要用到极限,此刻切线的斜率即为,图 2-6,二、导数的定义,定义,设函数 在 的某个邻域内有定义，当 在 处增量为 （ 在该邻域内）时，相应地， 函数有增量 .,存在，则称该极限为 在点 处的导数，记为,如果,二、导数的定义,这时也称函数 在点 处可导.,如果该极限不存在，称函数 在点 处不可导 .,特别地，如果 时，也称函数 在点 处的导数为无穷大.,二、导数的定义,例如，对于函数 在点 处（见图2-7），,，极限存在.,O,图 2-7,而对于函数 在点 处（见图2-8），,，极限不存在.,O,图 2-8,由此可知，函数 在 处不可导，,二、导数的定义,导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个更一般性、也更抽象的概念.,是函数 在 上的平均变化率，,它实际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”.,而导数 则反映函数 在点 处的瞬时变化率，,二、导数的定义,显然，函数 在 处的导数，就是导函数 在 处的函数值,如果 在 内的每一点处均可导，则称 在 内可导.,. 由函数的定义就可以得到一个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，,即有,这时 内的每一点都对应一个导数值，,二、导数的定义,所以,例1 求函数 在 处的导数 .,当 由1 变到 时，函数相应的增量为,解,二、导数的定义,（1）,因为 于是,（2）,解,三、简单函数的求导,例3 求 ( 为常数)的导数.,解,下面根据导数的定义求一些简单函数的导数.,三、简单函数的求导,例4 求 ( 为正整数)的导数.,解,一般地，当 ， 有定义时，,当 时, 有定义时也有上式成立.,例如，取 ，则有 ；,取 ，则有 .,三、简单函数的求导,解,例5 求 的导数.,同理,三、简单函数的求导,解,特别地，当a = 时， ，即以 为底的指数函数的导数就是它本身.,三、简单函数的求导,解,例7 求 的导数.,特别地，,四、左、右导数,下面我们来看 点 处的导数.,我们发现这个极限不存在，,和右极限,所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念.,都是存在的.,但是它的左极限,四、左、右导数,若,若,存在，则称其为函数 在 处的右导数，记作 ；,存在，则称其为函数 在 处的左导数，记作 .,四、左、右导数,因此， 如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论：,现在，我们可回答函数 在 处不可导的原因:,函数 在 处可导的充要条件是 在 处左、右导数存在且相等.,四、左、右导数,解,例8 已知 ，求 及 .,故 .,五、切线与法线方程,相应地，切线方程为,法线方程为,函数 在点 处的导数在几何上表示曲线 在点处切线的斜率,法线即为过切点 且与切线垂直的直线.,五、切线与法线方程,解,例9 求曲线 在点 处的切线斜率，并写出切线及法线方程.,曲线 在点 处的切线斜率为,，,五、切线与法线方程,因此，切线方程为,，即 ；,法线方程为,，即 .,例9 求曲线 在点 处的切线斜率，并写出切线及法线方程.,六、函数的可导性与连续性的关系,定理1,若函数 在 处可导，则函数 在 处必连续.,证明,若函数 在 处可导，由定义得 ， 因此，,故函数 在 处必连续.,六、函数的可导性与连续性的关系,例如，函数 在 上连续，但在点 处不可导.这是因为在点 处有,即导数为无穷大（导数不存在）. 从图形上看(见图2-9)，在该点处有与 轴垂直的切线 .,O,图 2-9,六、函数的可导性与连续性的关系,再比如，,由 ，,得 在 处连续，由,不存在，,得 在 处不可导。由图形可知（见图2-10），曲线在 附近无限次震荡.,O,-1/,1/,图 2-10,七、函数的和、差、积、商的求导法则,定理2,若 、 在点 处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数也都存在，且有,（1） ；,（2） ；,（3） （ ）.,七、函数的和、差、积、商的求导法则,证明 我们仅证明（2）,七、函数的和、差、积、商的求导法则,（3）上述公式可简记为,（1） ，,（2） 若 ， ， 均存在，则 存在，且,注,七、函数的和、差、积、商的求导法则,利用商的导数公式可以得到另外四个三角函数的计算公式.,；,；,；,.,七、函数的和、差、积、商的求导法则,例10 计算下列函数的导数.,七、函数的和、差、积、商的求导法则,解,（1）,（2）,（3）,七、函数的和、差、积、商的求导法则,（4）,（5）,七、函数的和、差、积、商的求导法则,（6）,八、反函数的求导法则,定理3,如果单调函数 在某一区间 内可导，且 ，则它的反函数 在对应的区间 内也可导，且,由反函数存在定理可知 是单调、连续的，当 x 取得增量 时，,（ 单调）.,证明,八、反函数的求导法则,因为 可导，且 ，即 ，因此，,本定理也可简单叙述为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,如果单调函数 在某一区间 内可导，且 ，则它的反函数 在对应的区间 内也可导，且,定理3,八、反函数的求导法则,利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数.,八、反函数的求导法则,同理可得,（由于 在 内大于零，故取正号）；,（由于 在 内大于零，故取正号）；,八、反函数的求导法则,有,同理可得,九、求导公式与基本求导法则,1. 基本求导公式,至此，我们已经求出了所有基本初等函数的导数，且推出了函数的和、差、积、商的求导法则.,九、求导公式与基本求导法则,、求导法则,若 u 、v 可导，则,；,；,.,、求导法则,解,求分段函数的导数时，在每一区间段内的导数可按一般求导法则计算，但在分段要用左、右导数的定义求之.,例11 求函数 的导数.,当 时，,当 时，,由 知，,当 时，,所以,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第二章,第一节 导数的概念及基本求导公式,第三节 微分的概念与应用,第四节 微分中值定理及其应用,第五节 泰勒中值定理,第六节 函数的性态与图形,第七节 导数的实际应用,第二节 导数的计算法则,课 前 导 读,48,复合函数的正确分解,例如， 由 和 复合而成，,由内函数 和外函数 复合而成.,由 和 复合而成.,课 前 导 读,49,函数的表示方式,函数 表示变量 与 之间的对应关系， 这种对应关系可以用不同的方式表达。,但也有些函数的表达方式不是这样， 如 ， ，通过一个方程确定变量 与 之间的对应关系，这样的函数称为隐函数.,例如， ，用这种方式表达的函数叫作显函数.,课 前 导 读,50,由参数确定的方程,在实际问题中，函数 与自变量 可能不是直接由 表示，而是通过一参变量 来表示，即,一、复合函数的求导法则,如果 在点 处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点 处可导，且有,（即 ）,证明,其中,定理(复合函数的求导法则),因为 在点 处可导，,故,当 时， 规定 =0 ，,一、复合函数的求导法则,当 时，用 乘上式两边，,当 时，由()式除以 ，,故,(),如果 在点 处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点 处可导，且有,（即 ）,定理(复合函数的求导法则),得,此时由于 ，,()式也成立.,得 .,一、复合函数的求导法则,如果 在点 处可导， 在点 处可导，则复合函数 在点 处可导，且有,（即 ）,定理(复合函数的求导法则),由 在点 处连续(可导连续)知，,即,故 ，因此，,当 时，,，,一、复合函数的求导法则,比如，若 ， 和 可导，则,复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形.,且,一、复合函数的求导法则,例求下列函数的导数:,() ;() ; () ;() ; () ; () ;() ; (),() 设 则,解,一、复合函数的求导法则,函数 可以看作由 和 复合而成，故,(),设 ， 则,设 ，则,(),(),一、复合函数的求导法则,熟悉复合函数的求导公式后，可以省去中间变量.,（5）,（6）,一、复合函数的求导法则,函数 由 和 及 复合而成，故,（7）,（8）,一、复合函数的求导法则,例求 的导数.,解,一、复合函数的求导法则,解,例3求函数 的导数.,因为 ，所以,一、复合函数的求导法则,解,例4求幂指函数 的导数.,由对数的性质可知， ，因此,一、复合函数的求导法则,解,例5已知 可导，求函数 的导数.,由 和 复合而成，由复合函数求导法则可知，,，即,注求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义. 此例中， 表示对 求导，而 表示对 求导.,二、高阶导数,如果函数 的导数 仍是 的可导函数，那么就称的导数为函数 的二阶导数，记作,例如，,，,.,、二阶导数的概念,，,，,或,即,、二阶导数的概念,解,例设 ，求,、二阶导数的概念,解,例7设 ，求,、二阶导数的概念,证明,例8证明 满足关系式,所以,故,满足关系式,，,，,，,2、二阶导数的物理意义,另外，再取定一个时刻为计时的零点. 质点于时刻 在直线上的位置的坐标记为 ， 这样，质点的运动完全由某个函数 所确定.,在最简单的匀速直线运动的情形中，质点经过的路程与所用的时间成正比，即 如果是非匀速直线运动，取从 时刻到 这样一段时间间隔，在上质点所走过的路程 有相应增量 ，这段区间上的平均速度,设质点沿直线运动，在直线上给定原点和单位点(表示实数的点)，使直线成为数轴.,（2）,2、二阶导数的物理意义,若令 ， 即 ，那么 的极限值就精确地反映了质点在时刻这一瞬间运动的快慢程度。,一般地，变速直线运动的速度 就是位置函数 对时间 的导数， 即,而加速度 是速度函数 对时间 的变化率，即速度函数，对时间 的导数， 即,因此在 时，瞬时速度即为,3、 阶导数的计算,一般地，设 如果 的 阶导数仍可导，便称为 的 n 阶导数。,时， 阶导数的记号是 ， ， 或 .,二阶及二阶以上的导数均称为高阶导数，称 为一阶导数。,其中，三阶导数的记号为,如果函数 具有 阶导数，则 的一切低于 阶的导数均存在.,函数具有 阶导数时，也称 为 阶可导.,3、 阶导数的计算,解,例9求 的 阶导数,，,，,，,一般地，,3、 阶导数的计算,解,例10设 ，求,3、 阶导数的计算,解,例11求 的 阶导数.,令 ，,，,，,.,3、 阶导数的计算,若 ，则,因此，,.,例11求 的 阶导数.,，,3、 阶导数的计算,解,因此,例12求 的 阶导数.,，,.,3、 阶导数的计算,定理（高阶导数的运算法则）,若 ， 具有 阶导数，则,3、 阶导数的计算,公式（2）称为莱布尼茨（Leibniz）公式。这个公式在形式上与二项式展开式相仿，可以这样来记:,3、 阶导数的计算,解,故,例13求 的50阶导数.,，,，,，,，,三、隐函数的导数,设变量 和 满足方程 如果在一定条件下，当 取某区间内的任一值时，相应地，总有满足这个方程的唯一的 值存在，那么称方程 在该区间内确定了一个隐函数，记为 .,设方程 确定了一个函数 ，将 “代入”方程，便得到恒等式 在等式 两边关于 求导，且将 看作 的函数，即可解得 .,比如，将写成 就是指这个过程.,但有些函数显化却很困难，甚至不可能，比如 那么如何对隐函数导呢?,将一个隐函数转化成显函数，叫作隐函数的显化.,三、隐函数的导数,解,例14设方程 所确定的隐函数为 ，求 .,将 两端对 求导数，,故,.,在上式中，令 ，,由 知 ，,故 .,三、隐函数的导数,解,在点 处，,对隐函数也可以求高阶导数。只要在求导过程中始终将 、 、 等看成 的函数即可.,例15求由方程 所确定的函数 在点 处的切线方程,三、隐函数的导数,解,方程两边对 求导，得,例16设 求 在点（0，1）处的值.,（3）,代入 得,将方程（3）两边再对 求导得,代入 , 得,三、隐函数的导数,解,得,例17求由方程 所确定的隐函数 对 的导数 .,先将方程取对数，得 ，然后两边关于 求导，即,（ ），,其中 是由方程 所确定的隐函数.,3、 阶导数的计算,注对于幂指函数 ，可将其写成 再求导，也就是复合函数求导，也可两边取对数:,将其视为隐函数 对 求导，这种求导的方法称为对数求导法. 对数求导法还适用于下列形式的函数.,三、隐函数的导数,解,等式两边取对数得,故,上式两边对 求导得,例18设 ，求 .,四、由参数方程确定的函数的导数,考虑由参数方程 ，（其中 为参数）确定的函数 的导数 .,下面就来讨论这种求导数的方法.,现在我们希望有一种方法，能直接由参数方程 算出它们所确定的函数的导数.,如果能从 中解出 ，则由 求得导数 . 这个方法实质是消去参数 ， 但这个工作是困难的（有时是不可能的，如 ）.,四、由参数方程确定的函数的导数,如果 的反函数为 ，且它满足反函数的求导条件，则可将 看作 与 的复合函数.,这里 是反函数的求导法则中的条件之一.,利用反函数的求导法则，得,四、由参数方程确定的函数的导数,如果 、 二阶可导，则有二阶导数,类似地，我们可求得更高阶的导数.,四、由参数方程确定的函数的导数,解,例19已知圆的参数方程为 ， ，求 .,四、由参数方程确定的函数的导数,解,例20设参数方程为 ，求 .,四、由参数方程确定的函数的导数,解,例21设参数方程为 ，求 .,；,.,四、由参数方程确定的函数的导数,解,例22设参数方程为 ，求 .,；,.,四、由参数方程确定的函数的导数,或直接运用公式求二阶导数:,由 ， ， ， 得,.,例22设参数方程为 ，求 .,五、相关变化率,设 、 均可导，且由 ，确定了 与 之间存在着某种关系， 这样 与 （变化率）之间也存在一定的关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.,我们研究这种关系，就是希望从一个已知的变化率求出另一个未知的变化率.,五、相关变化率,例23一长为m的梯子斜靠在墙上. 如果梯子下端以0.5m/s的速率滑离墙壁， 试求梯子下端离墙3m 时，梯子上端向下滑落的速率.,y,x,图 2-11,x 表示梯子下端离墙的距离，y 表示梯子上端到地面的距离，这里 x ， y都是时间t 的函数，于是 .两边对 t 求导，得,即,注意到 以及 代入得,，,即梯子上端向下滑落的速率为 m/s.,解,如图2-11所示，,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第二章,第一节 导数的概念及基本求导公式,第二节 导数的计算法则,第四节 微分中值定理及其应用,第五节 泰勒中值定理,第六节 函数的性态与图形,第七节 导数的实际应用,第三节 微分的概念与应用,课 前 导 读,96,我们先来试着计算这样的两组数：,通过计算可以发现什么规律呢?,.,，,所以，有些时候，我们可以用 来近似替代 ，因为它极容易计算，误差又小.,（2）当 越来越小时， 和 越接近.,（1） 计算 比计算 容易得多；,一、微分的定义,在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量 有微小变化 时，求函数 的微小改变量,微分就是实现这种线性化的一种数学模型.,一个想法是： 我们设法将 示成 的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题.,这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数 ，差值 却是一个更复杂的表达式，不易求出其值.,一、微分的定义,例1一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由 变到 ，问：此薄片的面积改变了多少?,设此薄片的边长为 ，,.,解,面积的改变量可以看成是因变量 取得相应的增量 ，即,薄片受温度变化的影响，当自变量 从 变到 取得增量 时，,面积为 ，则 ，,一、微分的定义,第一部分 是 的线性函数，即图2-12中灰色的两个矩形面积之和， 而第二部分 在图中是黑色的小正方形面积.,由此可见，如果边长改变很微小，即 很小时，面积的改变量 可近似地用第一部分来代替.,当 时，第二部分 是比 高阶的无穷小，即 .,图2-12,从上式可以看出， 由两部分组成：,一、微分的定义,定义设函数 在某区间 内有定义， ， 如果函数的增量 可表示成,其中 为不依赖于 的常数，,抛开上述例子的实际背景，即得到微分的定义.,即 .,记作 ，,而 叫作函数 在点 相应于自变量增量 的微分，,那么称函数 在点 处是可微的，,而 是比 高阶的无穷小，,一、微分的定义,定理函数 在 处可微的充分必要条件是 在 处可导.,设函数 在 处可微，则有 .,当 时， ，因此,即 在 处可导.,，,证明,一、微分的定义,即 在 处可微.,反之，若 在 处可导，则有 存在。,.,由 ，知 ，即 ，,由上述证明可知，若函数 在 处可微，其微分,.,定理函数 在 处可微的充分必要条件是 在 处可导.,一、微分的定义,例2设 ，求（1） ；() 及 .,（1）,（2）,解,.,，,一、微分的定义,例3求函数 在 时， 分别等于0.01和0.0001时的增量与微分.,当 ，时 ，,；,；,当 ， 时，,解,一、微分的定义,当 时， ；当 时，,这时，用 的值近似替代 的值，误差是非常小的.,通过计算可以发现，,.,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,如果函数 在区间 内每一点处都可微，称 是 内的可微函数.,函数 在任意一点 处的微分就称为函数的微分，记为 ，即有,并且有,.,在引入微分概念前，我们将导数 看作一个整体记号.现在引入微分概念后，可将导数看作是两个微分(函数微分与自变量微分)的商，因此也称导数为“微商”.,我们规定 ，这样微分可记为 ，,.,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,当 时， 、 都是无穷小，当 时,这表明在 的条件下，当 时， 不仅为 ，还是 ，因此称 是 的主部. 又由 是 的线性函数，则称 是 的线性主部(当 时).,，,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,又因为当 时， 、 都是无穷小，且,故当 很小时，可以用 代替 ，即 .,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,由于导数可看作微商 ，即 ，故由导数的公式和求导法则很容易得到微分公式及微分法则.,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,（17） ；,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,（18） ；,（19） ；,（20）设 、 可微，则复合函数 可微，且它的微分为,由 ，得 .,由此可见，不管 是自变量，还是中间变量(另一变量的可微函数)，微分形式 保持不变，这一性质称为微分形式的不变性.,，,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,解,例4设 ，求 .,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,例5设 ，求 .,应用微分形式的不变性有（视 为中间变量）,解,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,解一,例6设 ，求,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,解二,二、基本初等函数的微分公式及微分法则,我们用微分法来计算这个问题.,例7设 是由方程 确定的隐函数，求 .,由 ，得,，,即 ，因此,解,三、微分的几何意义,在曲线 上取相邻的两点 和 ，过点 作曲线的切线 ，设 的倾角为 ，则 的斜率为 .,因此，当 是曲线对应于点 x 的函数增量时， 即是过点 的切线的纵坐标增量。图中线段 是 与 之差，是比 更高阶的无穷小.,N,T,M1,O,图 2-13,x,M1,从图2-13可知,三、微分的几何意义,由此可见，对于可微函数 而言，当 是曲线 上的点的纵坐标的增量时， 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.,因此在点 M1 的邻近，我们可用切线段来近似代替曲线段.,当 很小时， 比 小得多.,四、近似计算,在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，既费力又费时. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.,即若记 ，则有,即在 附近可用 x 的线性函数 来近似表达函数 .,如果 在 处可微，且（） ，（2） 很小，则,四、近似计算,解,例8利用微分计算 的近似值.,，,因此,.,四、近似计算,在工程中常用的几种近似公式有（一般取 ， ， 很小 ）,四、近似计算,例9计算 的近似值.,解,.,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第二章,第一节 导数的概念及基本求导公式,第二节 导数的计算法则,第三节 微分的概念与应用,第五节 泰勒中值定理,第六节 函数的性态与图形,第七节 导数的实际应用,第四节 微分中值定理及其应用,课 前 导 读,124,上一节给出了微分的近似计算：,即当 “很小”时， 可以由线性函数 来近似替代.,（1）公式要求 “很小”；（2）公式只是一个近似替代，而不是一个精确值.,但这个公式有两大缺陷：,课 前 导 读,125,本节旨在改进这个近似式，使得对于任何 的值，均有等式成立.那么如何改进呢?,现在将该近似公式改写成,课 前 导 读,126,从图形上看（见图2-14）将过点 及的直线的斜率近似用曲线 上点 处的切线的斜率表示，它们一般不相等.,O,x,图 2-14,M0,O,图 2-15,逐渐移动点的切线，就会发现，有一点 能够使这一点处的切线平行于连接端点的弦（见图2-15）.,一、罗尔定理,此图形的两个端点的纵坐标相等，即 ，且除了端点外处处有不垂直于 轴的切线.,O,图 2-16,如果记C点的横坐标为，那么就有 .,可以发现，在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的切线.,如图2-16所示，连续曲线弧AB是函数 的图形.,一、罗尔定理,如果把这个几何现象描述出来，就可得到下面的罗尔定理. 为方便讨论，先介绍费马定理.,O,图2-17,O,一、罗尔定理,证明不妨设 时， （如果 ，可以完全类似地证明)，于是对于 ，有 .,而当 时,，,.,从而，当 时,一、罗尔定理,根据函数 在 处可导的条件，再由极限的保号性，便得到,，,.,通常称导数等于零的点为函数的驻点（或称为稳定点、临界点）.,所以 证毕.,一、罗尔定理,图2-18,定理1（罗尔定理） 如果函数 满足,（1）在闭区间 上连续；,（） 在开区间 内可导；,（3）在区间端点处的函数值相等，即 .,O,a,b,1,2,那么在 内至少有一点 ， 使函数 在该点处的导数等于零: .,一、罗尔定理,由于 在闭区间 上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理， 在闭区间 上必定取得最大值M 和最小值m.,这时 在区间 上必为常数： .,因此任取一点 ， 都有 .,证明,情况1,情况2,. 这时 和 在这两个数中至少有一个不等于 .,因此对区间 上的任意 有 ，从而由费马定理可知 ，证毕.,于是存在 ，使 .,不妨设 （如果设 ，证明完全类似）.,.,一、罗尔定理,如果曲线段 （ ）是连续不断的、光滑的，且两端纵坐标相等，则该曲线段在 上至少有一条水平切线.,罗尔定理的几何意义,下面举三个例子，并结合图像进行考察.,需要指出的是，定理的三个条件是十分重要的. 如果某一个条件不满足，定理的结论就可能不成立.,一、罗尔定理,例,函数 在 的左端点 处间断（见图2-19），不满足在闭区间上连续的条件.,O,图 2-19,此时虽然满足定理的另外两个条件，但显然没有水平切线.,一、罗尔定理,例2,函数 在 处不可导，因而不满足在开区间内可导的条件. 此时虽满足定理的另外两个条件，显然也没有水平切线（见图2-20）.,图 2-20,一、罗尔定理,例3,显然函数 在 上连续，在 内可导，但 ，即在两端点处函数值相等的条件不满足，显然也没有水平切线（见图2-21）.,图 2-21,O,一、罗尔定理,由此可见，应用这个定理时， 一定要仔细验证是否满足定理的三个条件，否则容易产生错误.,如果定理的三个条件不完全满足的话，则定理的结论可能成立，也可能不成立.,其次，要说明定理的三个条件是充分的，而非必要的。也就是说，若满足定理的三个条件，则定理的结论必定成立.,一、罗尔定理,解,例4验证函数 在区间 上满足罗尔定理的三个条件，并求出满足 的点 .,因为 是多项式，所以在 上可导，故它在 上连续，且在 内可导.,显然， 不在 内，应舍去。而 因而可把 取作 ，就有 .,即 ，解之得,，令 ，,一、罗尔定理,例5证明 在 上不可能有两个零点.,证明,（反证法）若 在 上有两个零点 ，不妨设 ， 即,因此 在 上满足罗尔定理的条件，故存在 ，使得,由于 ，故 ，矛盾. 从而 在 上不可能有两个零点.,二、拉格朗日()中值定理,如果函数 满足,则至少存在一点 ，使,，即,定理2（拉格朗日中值定理）,二、拉格朗日()中值定理,作辅助函数,即为曲线 与直线 的纵坐标之差.,证明,如图2-22所示，,二、拉格朗日()中值定理,若函数 在区间 （或 ）上满足拉格朗日中值定理的条件，则有 ，其中 .,当 为有限时，增量 是准确值，因此它有时也称为有限增量公式. 它与用微分 来表示函数的增量的近似值是不同的.,二、拉格朗日()中值定理,如果曲线段 （ ）是连续不断的、光滑的，且除端点外处处具有不垂直于横坐标轴的切线，则该曲线段在 上至少有一点,使曲线在该点处的切线与两端点的连线（弦）平行（见图2-22）.,拉格朗日中值定理的几何意义,二、拉格朗日()中值定理,推论1 若函数 在区间 I 内满足 恒为零，则在区间 I 内恒有 （常数）.,对于 I 内任意两点 ， ，不妨设 ， 在 上应用拉格朗日中值定理，得,其中 .,证明,因为 恒为零，故有 .,二、拉格朗日()中值定理,推论2 若函数 ， 在区间 I 内满足 ，则在区间 I 内恒有 ，其中 C 为任意常数.,取 ，,证明,即 ，其中 C 为任意常数.,故有 ，,则函数 在区间 I 内满足 ，,二、拉格朗日()中值定理,证明,例6对于函数 ，在闭区间 上验证拉格朗日中值定理的正确性.,显然在 上连续，在 内可导.,故可取 ，,使 成立.,二、拉格朗日()中值定理,证明,例7证明恒等式 .,设,又因为,所以,又因为,即,从而,容易验证端点处成立.,二、拉格朗日()中值定理,证明,例8证明当 时， .,设 则 在 上满足拉格朗日中值定理的条件.,因为,从而,又因为,所以,即,故,三、柯西中值定理,（1）在 上连续；,（）在 内可导；,设函数 ， 满足,证明从略，几何意义如图2-23所示.,（3）当 时， ，,图 2-23,O,定理3（柯西中值定理）,则至少存在一点，使,三、柯西中值定理,证明,例9设函数 在0, 1上连续，在（0,1）内可导。试证明至少存在一点 ，使,作辅助函数 则 在 上满足柯西中值定理的条件，故在 内至少存在一点 使,即,四、洛必达()法则,我们在求极限时常常遇到两个函数都是无穷小或都是无穷大，求它们的商的极限记为 、 型极限.,本节将根据柯西中值定理来推导求这种极限的一种简便、重要且又很有效的方法洛必达法则.,这类极限不能直接使用极限的商的运算法则来计算.,例如，重要极限 就是 型未定式，而 就是 型未定式.,例如，比较两个无穷小的阶时就出现了这样的极限. 这种极限可能存在，也可能不存在. 通常称这种比值的极限为 未定式 .,1、 时 型极限,定理4（洛必达法则）,（1）当 时，函数 ， 都趋于零；,（3） 存在（或为无穷大），,（或为无穷大）,设,则,1、 时 型极限,解,例10求极限 .,如果 仍属于 时 型极限，且 ， 满足上述定理条件，则有 (或为无穷大).,(或为无穷大),以此类推，可得,1、 时 型极限,解,例11求 .,2、 时 型极限,定理4 如果（1）当 时，函数 ， 都趋于零；,（2）存在 ， 当 时， ， 都存在，且 ；,（3） 存在（或为无穷大），,（或为无穷大）.,类似地，对 时 型的情形和 时 型的情形都有类似的结论.,则,2、 时 型极限,解,例12求 .,2、 时 型极限,解,例13求 .,2、 时 型极限,解,例14求极限 （ ） .,2、 时 型极限,解,例15求极限 （ ） .,注对数函数 、幂函数 、指数函数 均为当 时的无穷大，但它们增大的速度很不一样.,2、 时 型极限,解,在求极限时，我们还会遇到 ， ， ， ， 等形式的未定型，一般是先通过恒等变换等措施，将其变换为 或 型，再使用洛必达法则求出极限.,例16求极限 （ ） .,2、 时 型极限,解,例17求极限 （ ） .,2、 时 型极限,解,例18求 （ ）,将它变形为,由于,故,2、 时 型极限,解,故,例19求,当 时，,2、 时 型极限,解,注洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法， 但若能与其他求极限的方法结合使用，效果则更好.例如，能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.,例20求,所求极限属于 型未定式.,分子、分母分别求导数后，将化为,此式无极限，故洛必达法则失效，不能使用.,2、 时 型极限,原极限是存在的，可用下面的方法求得,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第二章,第一节 导数的概念及基本求导公式,第二节 导数的计算法则,第三节 微分的概念与应用,第四节 微分中值定理及其应用,第六节 函数的性态与图形,第七节 导数的实际应用,第五节 泰勒中值定理,课 前 导 读,167,对一些较复杂的函数，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达.,此节内容可作为对导数要求较高的专业的选学内容.,如果这个多项式存在，那么这个多项式的系数和函数之间存在什么关系? 这一节就来探讨这个问题.,如果我们事先约定允许的误差范围，能不能找到对应的简单函数(比如多项式)，使得 ? 其中 .,对于 ，我们非常好奇，它究竟是 的几阶无穷小? 能不能再精确一些？,比如，当 时， ，即 .,一、多项式逼近函数,假设函数 在含有 的开区间内具有直到 阶的导数，取一个关于 的 n 次多项式,来近似表达函数 ，要求 .,则可按这些条件来确定多项式中的系数 , ,， .,假设 ， ， ,， .,一、多项式逼近函数,由 得 ,故,对 求各阶导数， 有,一、多项式逼近函数,即,，,因此,下面的定理告诉我们，上述确定的多项式正是我们要找的 次多项式.,一、多项式逼近函数,设函数 在含有 的开区间 内具有直到 阶的导数，则当 时， 可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 之和.,定理1（泰勒中值定理）,一、多项式逼近函数,记 ，其中,只要证明 ，其中 介于 ， 之间即可.,证明,一、多项式逼近函数,由于 ， 在 内具有直到 阶的导数，则 在 内也具有直到 阶的导数，且,函数 与 在 或 上满足柯西中值定理条件，运用柯西中值定理得,其中 介于 ， 之间.,一、多项式逼近函数,再对 ， 在 或 上运用柯西中值定理得,其中 介于 ， 之间.,一、多项式逼近函数,依此类推，经过 次，则得 ，其中 介于 ， 之间，当然也介于 ， 之间.,由于,因此,其中 介于 ， 之间.,一、多项式逼近函数,可写成 ，其中 。我们称多项式,为 按 的幂展开的 次近似多项式.,为 按 的幂展开到 次