贝叶斯准则ppt课件.ppt

3.2 统计检测理论的基本概念,基本要求：充分理解统计检测理论的模型理解几个判决概率的基本概念,二元信号检测模型,信源,信源的输出称为假设,将信源的输出(假设)以一定的概率关系映射到整个观察空间中,接收端所有可能观测量的集合,将观察空间进行合理划分,使每个观测量对应一个假设判断的方法,判决规则,观察空间,概率转移机构,Example:,R=-2,-1,0,1,2,二元信号检测 判决域,二元信号的检测问题，可归结为对观察空间的划分问题，即按照一定的准则，将观察空间R分别划分为R0和R1两个子空间。,思考:,应服从何种分布？,二、M元信号检测模型,成立,成立,M元信号检测 判决域,成立,3.3 Bayes Criterion(贝叶斯准则),基本要求：充分理解平均代价(Average Risk)的概念贝叶斯准则的判决表达式判决性能分析,贝叶斯准则的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,通信系统中，二元信号的平均解调错误概率：,可看出，检测性能，不仅与两种错误判决概率有关，还与信源发送0和1的先验概率有关,另外，每做出一种判断，人们要付出的代价也是不同的,如何综合考虑上述各种因素来设计好的检测方法？,贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,问题：,代价因子如何定义？,平均代价如何计算？,如何获得最小的平均代价？,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,1. 代价因子的定义,对于二元信号统计检测，共有四种事件发生，即,表示假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价,注：一般假设,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,2. 平均代价的计算,平均代价C将由两部分构成，一是信源发送H0假设时，判决所付出的代价C(H0 )二是信源发送H1假设时，判决所付出的代价C(H1 ),一、平均代价的概念和贝叶斯准则,2. 平均代价的计算,对于二元信号统计检测，有四种事件发生，即,因此，,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,2. 平均代价的计算,由,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,3. 平均代价取到最小值的条件,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,3. 平均代价取到最小值的条件,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,3. 平均代价取到最小值的条件,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,3. 平均代价取到最小值的条件,因此，平均代价C的大小与判决区域R0有关。,把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，即可保证平均代价最小。,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,4. 贝叶斯判决准则,把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，即可保证平均代价最小。,判决H0假设成立,判决H1假设成立,判决H0假设成立,判决H1假设成立,贝叶斯准则基本思路:,根据给定的代价计算平均代价,按照平均代价最小划分观察空间,得到判决准则,对判决表达式进行化简,一、平均代价的概念和贝叶斯准则,二、贝叶斯检测的进一步说明,定义为似然比函数,定义为判决门限,是一维随机变量，称为检验统计量,不依赖于假设的先验概率，也与代价因子无关，适用于不同先验概率和不同代价因子的最佳信号检测。,二、贝叶斯检测的进一步说明,利用贝叶斯判决准则进行检测的基本步骤：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限,步骤3：利用上式，形成贝叶斯检测基本表达式,步骤4：化简,三、贝叶斯检测例题,Ex3.1 在二元数字通信系统中,假设为H1时,信源输出为常值正电压m,假设为H0时,信源输出输出零电平,信号在传输过程中迭加了噪声n(t),每种信号的持续时间为T, 请:,(1) 若接收端对接收信号x(t)在(0,T)时间内进行1次采样,给出对应的贝叶斯检测准则(2) 若接收端对接收信号x(t)在(0,T)时间内进行N次独立采样,给出 对应的贝叶斯检测准则.上述两种情况下,噪声采样值ni是均值为零,方差为 的高斯噪声,解：一次采样时,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，观察信号x也服从高斯分布，且均值为零，方差为 ,在H1假设下，观察信号x服从均值为m，方差为的高斯分布。,步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限,步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式,步骤4：化简,解：N次采样时,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，第i次采样值xi服从高斯分布，且均值为零，方差为 ,在H1假设下，第i次采样值xi服从均值为m，方差为的高斯分布。,步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限,步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式,步骤4：化简,Ex3.2 考虑以下信号检测问题:,其中n1i是均值为零,方差为,的高斯随机变量, n0i是均值,为零,方差为 的高斯随机变量,且不同采样时刻的加性噪声之间是相互统计独立的.,请给出上述问题的贝叶斯检测准则.,解：N次采样时,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，第i次采样值xi服从高斯分布，且均值为零，方差为 ,在H1假设下，第i次采样值xi服从均值为0，方差为的高斯分布。,步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限,步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式,步骤4：化简,步骤4：化简,如果,如果,贝叶斯检测小结(1),贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，即可保证平均代价最小。,判决H0假设成立,判决H1假设成立,贝叶斯检测小结(2),利用贝叶斯判决准则进行检测的基本步骤：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限,步骤3：利用上式，形成贝叶斯检测基本表达式,步骤4：化简,四、贝叶斯检测性能分析,贝叶斯检测准则是一种平均代价最小的判决准则，按照贝叶斯检测准则，能获得平均代价到底等于多少？,问题1：,利用贝叶斯检测准则进行检测，平均检测错误概率如何计算？,问题2：,上述两个问题的关键在于，如何计算四种事件的检测概率？,计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。,四、贝叶斯检测性能分析,计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。,计算步骤：,四、贝叶斯检测性能分析,根据最终的统计量来计算各种判决概率,最终统计量,Ex3.5 考虑以下二元信号假设检验问题:,其中ni是均值为零,方差为,的高斯随机变量,且不同,采样时刻的加性噪声之间是相互统计独立的.请,(1) 给出上述问题的贝叶斯检测准则.,(2) 当N=1时, 计算判决概率 和 .,(3) 当N1时, 计算判决概率 和 .,解：N次采样时,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，第i次采样值xi服从高斯分布，且均值为零，方差为 ,在H1假设下，第i次采样值xi服从均值为A，方差为的高斯分布。,步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限,步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式,步骤4：化简,性能分析：,统计量,假设H0条件下，统计量l为高斯分布，均值和方差分别为：,性能分析：,统计量,假设H1条件下，统计量l为高斯分布，均值和方差分别为：,性能分析：,统计量,性能分析：,统计量,Ex3.6 设二元假设检验的观测信号模型为:,其中n是均值为零,方差为,的高斯随机变量,若两,种假设先验等概的,且代价因子为c00=1, c10=4, c11=2, c01=3.,给出上述问题的贝叶斯检测准则和平均代价C.,解：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，第i次采样值xi服从高斯分布，且均值为1，方差为 ,在H1假设下，第i次采样值xi服从均值为-1，方差为的高斯分布。,步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限,步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式,步骤4：化简,计算平均代价：,统计量,假设H0条件下，统计量l为高斯分布，均值和方差分别为：,平均代价计算：,统计量,假设H1条件下，统计量l为高斯分布，均值和方差分别为：,性能分析：,统计量,性能分析：,统计量,c00=1, c10=4, c11=2,c01=3.,3.4 派生贝叶斯准则(Generalized Bayes Criterion),基本要求：掌握最小平均错误概率准则和最大后验概率准则理解极小化极大准则和奈曼-皮尔逊准则的应用范围和基本原理,3.4.1 最小平均错误概率准则(Minimum mean prob. of error criterion),应用范围,平均错误概率,此时,平均代价最小即转化为平均错误概率最小。,3.4.1 最小平均错误概率准则,把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，即可保证平均代价最小。,判决H0假设成立,判决H1假设成立,3.4.1 最小平均错误概率准则,3.4.1 最小平均错误概率准则,Ex3.7 在闭启键控通信系统中，两个假设下的观察信号模型为：,若两个假设的先验概率相等，且采用最小平均错误概率准则，试确定判决表示式，并求最小平均错误概率上述情况下,噪声n是均值为零,方差为 的高斯噪声,由例3.5，知,由于,3.4.2 最大后验概率准则(Maximum a posteriori prob. criterion),应用范围,贝叶斯判决准则,因此，当dx很小时，有,最大后验概率检测准则：,贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,最大后验概率检测准则,贝叶斯及派生检测准则(1),贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,贝叶斯及派生检测准则(2),极小化极大准则,奈曼皮尔逊准则,3.4.3 极小化极大准则(Minimax criterion),应用范围,假设的先验概率未知，判决代价因子给定,目的,尽可能避免产生过分大的代价，使极大可能代价最小化。,3.4.3 极小化极大准则(Minimax criterion),在先验概率未知的情况下,最小平均代价是先验概率的函数.,在先验概率未知的情况下,进行检测的方法是:,先假设一个先验概率p1g,然后按照贝叶斯准则进行检测,为尽可能降低代价,需设计一种先验概率的假设方法，使由此 得到的检测准则的代价值与先验概率无关.,3.4.3 极小化极大准则,一、几种表示符号定义,虚警概率,漏警概率,3.4.3 极小化极大准则,二、先验概率未知的情况下，平均代价的性质,平均代价C(P1)是先验概率P1的严格上凸函数,3.4.3 极小化极大准则,三、先验概率未知的情况下，可以采用的检测方法,可猜测一个先验概率P1g，然后利用贝叶斯准则进行检测。,给定 条件下，平均代价 是先验概率P1的线性函数,若 ，平均代价 大于最小平均代价,为避免产生过分大的代价，需要猜测一种先验概率 ,使得平均代价不依赖于信源的先验概率P1,3.4.3 极小化极大准则,为避免产生过分大的代价，需要猜测一种先验概率 ,使得平均代价不依赖于信源的先验概率P1,3.4.3 极小化极大准则,3.4.3 极小化极大准则,3.4.3 极小化极大准则,利用极小化极大准则进行检测的基本步骤：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,步骤2：假设判决门限为 ，构建贝叶斯检测基本表达式,步骤3：化简成最简形式,步骤4：利用极小化极大准则，确定最终判决门限。,3.4.3 极小化极大准则(Minimax criterion),Ex3.8 在闭启键控通信系统中，两个假设下的观察信号模型为：,若两个假设的先验概率未知，且采用极小化极大准则,试确定检测门限和平均错误概率上述情况下,噪声n是均值为零,方差为 的高斯噪声,解：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，x服从高斯分布，且均值为零，方差为 ,在H1假设下，x服从均值为A，方差为的高斯分布。,步骤2：假设门限，构建似然比检测基本表达式,步骤3：化简,步骤4：计算判决门限化简,3.4.4 奈曼-皮尔逊准则(Neyman-Pearson criterion),应用范围,假设的先验概率未知，判决代价未知(雷达信号检测),奈曼-皮尔逊检测,尽可能小，,尽可能大。,目标,实际情况,在 约束条件下,使正确判决概率 最大的准则。,3.4.4 奈曼-皮尔逊准则,一、奈曼-皮尔逊准则的存在性,奈曼-皮尔逊检测准则是一定存在的。,二、奈曼-皮尔逊准则的推导,在 约束条件下,使正确判决概率 最大的准则。,在 约束条件下,使判决概率 最小的准则。,等价于,利用拉格朗日乘子 ，构建目标函数,若 ,J达到最小时， 也达到最小。,3.4.4 奈曼-皮尔逊准则,二、奈曼-皮尔逊准则的推导,把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，即可保证平均代价最小。,判决H0假设成立,判决H1假设成立,3.4.4 奈曼-皮尔逊准则(Neyman-Pearson criterion),判决表达式,其中,判决门限由下式确定,3.4.4 奈曼-皮尔逊准则(Neyman-Pearson criterion),求解步骤,Step1 计算似然函数、似然比,并写出判决表达式,Step2 化简,Step3 根据统计量计算 和,Step4 在 约束下，计算判决门限,3.4.4 奈曼-皮尔逊准则(Neyman-Pearson criterion),Ex3.9 在二元通信系统中，两个假设下的观察信号模型为：,试构造一个在 条件下的奈曼-皮尔逊接收机.,上述情况下,噪声n是均值为零,方差为1的高斯噪声,解：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，x服从高斯分布，且均值为零，方差为 ,在H1假设下，x服从均值为1，方差为的高斯分布。,步骤2：假设门限，构建似然比检测基本表达式,步骤3：化简,步骤4：计算判决门限,解得,贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,最大后验概率检测准则,贝叶斯及派生检测准则(1),贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,贝叶斯及派生检测准则(2),极小化极大准则,奈曼皮尔逊准则,按照似然比检测形式构建基本表达式，并在 的约束下计算最终判决门限。,按照似然比检测形式构建基本表达式，并在 的约束下计算最终判决门限。,3.5 信号统计检测的性能(Performance of Statistical Detection),3.5 信号统计检测的性能(Performance of Statistical Detection),接收机工作特性的共同特点(似然比函数是x的连续函数),上凸曲线,随着门限 的增加，两种判决概率PD和PF之都会减小,工作特性某点上的斜率等于该点PD和PF所要求的检测门限值,利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算,PD和PF之同时增加，或同时减小,曲线位于PD=PF之上,3.5 信号统计检测的性能,工作特性某点上的斜率等于该点PD和PF所要求的检测门限值,3.5 信号统计检测的性能,利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算,贝叶斯准则和最小错误概率准则下,根据先验概率和代价因子，求得判决门限,以 为斜率，可找到一条直线，与在给定信噪比d下的PD-PF曲线相切；,切点对应的PD和PF值，就是在给定信噪比下的两种判决概率。,3.5 信号统计检测的性能,利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算,极小化极大准则,交点即是在极小化极大准则条件下的两种判决概率。,按照上述公式，画出一条PD-PF直线，该直线与给定信噪比下的PD-PF工作特性曲线相交,3.5 信号统计检测的性能,利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算,奈曼皮尔逊准则,交点即是在奈曼皮尔逊准则下的两种判决概率。,该直线与给定信噪比下的PD-PF工作特性曲线相交,贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,最大后验概率检测准则,贝叶斯及派生检测准则(1),贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。,贝叶斯及派生检测准则(2),极小化极大准则,奈曼皮尔逊准则,按照似然比检测形式构建基本表达式，并在 的约束下计算最终判决门限。,按照似然比检测形式构建基本表达式，并在 的约束下计算最终判决门限。,贝叶斯及派生检测准则(3),分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。,计算步骤：,3.6 M元信号的统计检测(Detection of M-ary Signal),基本要求：掌握贝叶斯准则掌握最小平均错误概率准则,3.6 M元信号检测,1. Bayes 检测准则,平均代价为,寻找一种判决空间的划分方法,使平均代价最小.,3.6 M元信号检测,由于,3.6 M元信号检测,3.6 M元信号检测,3.6 M元信号检测,最小的划分至,为保证平均风险最小，应把所有使,，即当满足,判决区域,时，判决Hi成立,3.6 M元信号检测,H0成立的判决区域，是满足下面联立方程组的解,3.6 M元信号检测,2. 最小平均错误概率准则,正确判决代价为0，错误判决代价为1，则,最小的划分至,为保证平均错误概率最小，应把所有使,，即当满足,判决区域,时，判决Hi成立,3.6 M元信号检测,3. 最大似然检测,正确判决代价为0，错误判决代价为1，且信源的假设先验等概时，,判决规则为在M个似然函数 中，选择使,最大的假设成立。,3.6 M元信号检测,Ex3.10 在四元通信系统中，信源有四个可能的输出，即假设为 时输出1，假设为 时输出为2，假设为 时输出为3，假设为 时输出为4。各个假设的先验概率相等，且正确判决代价为零，错误判决代价为1，并进行了N次独立观测。,试设计一个四元信号的最佳检测系统。信号在传输过程中叠加有均值为零，方差为 的加性高斯白噪声。,解：,根据题设条件，在信源先验等概且正确判决代价为零，错误判决代价为1的条件下，贝叶斯检测等价于最大似然检测，即使似然函数 最大的观察值划分给判决区域Ri,3.6 M元信号检测,步骤1，计算各假设下的似然函数,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下， 服从高斯分布，且均值为1，方差为 ;在H1假设下， 服从均值为2，方差为的高斯分布;在H2假设下, 服从均值为3，方差为 的高斯分布;在H3假设下, 服从均值为4，方差为 的高斯分布。,3.6 M元信号检测,步骤2，按照最大似然准则划分观察空间,上述四个似然函数，可统一写成,3.6 M元信号检测,由于,因此，判决规则转化为使,最大时，判为Hk假设成立,令,进一步转化为,最大时，判为Hk假设成立,因此，假设H0的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H0假设成立。,因此，假设H1的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H1假设成立。,因此，假设H2的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H2假设成立。,因此，假设H2的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H3假设成立。,3.6 M元信号检测(Detection of M-ary Signal),Ex3.11 在三元通信系统中，信源有三个可能的输出，即假设为 时输出-A，假设为 时输出为0，假设为 时输出为A。假设正确判决代价为零，错误判决代价为1，并进行了N次独立观测，已知各假设先验等概。,试按照最小平均错误概率准则设计检测系统，并求正确判决和错误判决的概率。信号在传输过程中叠加有均值为零，方差为 的加性高斯白噪声。,解：,根据题设条件，在信源先验等概且正确判决代价为零，错误判决代价为1的条件下，贝叶斯检测等价于最大似然检测，即使似然函数 最大的观察值划分给判决区域Ri,3.6 M元信号检测,步骤1，计算各假设下的似然函数,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下， 服从高斯分布，且均值为-A，方差为 ;在H1假设下， 服从均值为0，方差为的高斯分布;在H2假设下, 服从均值为A，方差为 的高斯分布。,3.6 M元信号检测,步骤2，按照最大似然准则划分观察空间,上述四个似然函数，可统一写成,3.6 M元信号检测,由于,因此，判决规则转化为使,最大时，判为Hk假设成立,令,进一步转化为,最大时，判为Hk假设成立,因此，假设H0的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H0假设成立。,因此，假设H1的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H1假设成立。,因此，假设H1的判决区域由下列方程组确定,合并得到，当,时，判为H1假设成立。,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),基本要求：理解参量信号检测的基本概念掌握两种检测方法：广义似然比检验和贝叶斯方法,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),1. 参量信号检测的基本概念,参量信号的检测中，信源在假设Hi下输出含有未知参量,因此，在假设Hi下，观察信号表示为,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),2. 广义似然比检验,先利用最大似然方法对未知参量进行估计，然后利用得到的估计量按照确定信号的检测方法进行。,最大似然估计,使似然函数,达最大的 作为该参量的估计量，记为,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),在二元参量信号的统计检测中，两个假设下的信号分别为,其中m是信号参量，n信号是均值为零，方差为 的高斯白噪声，试给出广义似然比检测。,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),3.贝叶斯检测方法,3.1 概率密度函数已知的情况,3.2 猜测概率密度函数的情况,3.3未知参量的奈曼-皮尔逊检测,3.7 参量信号的统计检测,3.1 概率密度函数已知的情况,贝叶斯检测准则,参量信号的检测中，信源在假设Hi下的条件概率密度函数为,参量检测中，贝叶斯检测准则为：,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),Ex3.13 在二元参量信号的统计检测中，两个假设下的信号分别为,其中m是均值为零，方差为 的高斯随机变量， n是均值为零，方差为 的高斯白噪声，试给出贝叶斯检测准则。,解：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，x服从高斯分布，且均值为零，方差为 ,在H1和给定m条件下，x服从均值为m，方差为的高斯分布。,步骤2：计算H1假设下的似然函数,由于m是一高斯随机变量，有,因此：,步骤3：构建贝叶斯检测基本表达式,3.2 猜测概率密度函数的情况,随机参量的概率密度函数未知时，可以利用常识猜测一个概率分布，然后按照前述方法进行检测。,3.3 未知参量的奈曼-皮尔逊检测准则,未知参量的概率密度函数未知时，或未知参量非随机的情况下，可采用奈曼-皮尔逊准则进行检测。,在给定某个未知参量 和 约束条件下,使正确判决概率 最大的准则。,只有对任意 ， 都获得最大值时，该类方法才可适用。,3.7 参量信号的统计检测(Detection of Signal with unknown Parameter),Ex3.14 在二元参量信号的统计检测中，两个假设下的信号分别为,其中m是未知参量， n是均值为零，方差为 的高斯白噪声，试给出其奈曼-皮尔逊检测准则。,解：,步骤1：计算两个似然函数，构建似然比,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，x服从高斯分布，且均值为零，方差为 ,在H1和给定m条件下，x服从均值为m，方差为的高斯分布。,步骤2：规则似然比检测表达式，并化简,3.8 信号的序列检测,基本要求,1.掌握序列检测的基本概念,3.掌握计算平均观测次数的方法,2.掌握修正奈曼-皮尔逊检测方法,3.8 信号的序列检测,1. 基本原理,观测次数不固定，边观测边判决,优点,在给定性能指标的要求下，可使平均观测次数最少。,即如果观测到第k次还不能做出令人满意的判决，则继续进行第k+1观测,3.8 信号的序列检测,对于二元信号的检测，进行第k次观测后，会出现3种可能的结果，即,判决H1成立,判决H0成立,不进行判决，继续下一次观测,因此，需要将判决空间划分成三个判决区域，设定两个判决门限,3.8 信号的序列检测,满足,时，判为H1成立,满足,时，判为H0成立,满足,时，继续进行下一次观测,问题，如何确定上述两个门限？,基本判决规则,3.8 信号的序列检测,2. 修正的奈曼-皮尔逊准则,给定两个性能指标,和,条件下，确定,序列检测条件下的两个判决门限,和,设N次观测信号构成的N维随机矢量为,对应的似然比函数为,3.8 信号的序列检测,根据上述两个约束条件和似然比函数定义，序列检测准则为：,判决假设H1成立,判决假设H0成立,继续下一次观察,2.1 检测方法,3.8 信号的序列检测,2.2 判决门限确定,由于 是在H1成立条件下，判为H1成立的正确判决概率，因此,3.8 信号的序列检测,2.2 判决门限确定,由于 是在H0成立条件下，判为H0成立的正确判决概率，因此,3.8 信号的序列检测,2.2 判决门限确定,当 时，判为H1成立，又由于对应的似然比,判决门限为 。所以只有当判决门限取上限时，似然比检验,才能有足够的观测次数，以满足性能指标要求。,类似地，有,3.8 信号的序列检测,3. 平均观测次数,序列检测下，终止观测时的观测次数与信道条件有关，因此是个随机变量。,如果各次观测是统计独立的,若在每个假设下，观测量是独立同分布的,3.8 信号的序列检测,3.8 信号的序列检测,当假设H1为真时，即信源发送假设H1时，,当假设H0为真时，即信源发送假设H0时，,3.8 信号的序列检测,3.8 信号的序列检测,3.8 信号的序列检测,3.8 信号的序列检测,Ex3.15 在二元数字通信系统中，两个假设下的信号分别为,其中观测噪声nk是均值为零，方差为1 的高斯白噪声;各次观测独立，且观测是顺序进行的，试确定 和 的序列检测，并计算在各个假设下观测次数N的平均值。,3.8 信号的序列检测,解：步骤1，计算各假设下的似然函数,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下， 服从高斯分布，且均值为0，方差为 ;在H1假设下， 服从均值为1，方差为的高斯分布。,3.8 信号的序列检测,解：步骤2，计算两个判决门限，构建似然比检验,所以，当,当,当,判为假设H1成立。,判为假设H0成立。,不做判断，继续下次观测。,3.8 信号的序列检测,解：步骤3，化简,所以，当,当,当,判为假设H1成立。,判为假设H0成立。,不做判断，继续下次观测。,3.8 信号的序列检测,解：步骤4，计算平均观测次数,所以，采用序列检测时，平均需要4次观测。,3.9 复信号的统计检测,基本要求,了解复高斯随机变量的概率密度函数,了解复信号的统计检测方法及原理,3.9 复信号的统计检测,1 复随机变量的概率密度函数,假设,为一高斯复随机变量，实部和虚部相互统计独立,3.9复信号的统计检测,2 确知二元复信号的统计检测,是确知的复信号；,是均值为零，方差为,的复高斯噪声,不同观察次数之间是相互独立的。,3.9 复信号的统计检测,根据贝叶斯检测准则，可得,取对数，化简,由,3.9 复信号的统计检测,因此，贝叶斯检测为,3.9 复信号的统计检测,3 确知二元复信号的统计检测的性能分析,令,3.9 复信号的统计检测,3 确知二元复信号的统计检测的性能分析,令,3.9复信号的统计检测,3 确知二元复信号的统计检测的性能分析,令,3.9复信号的统计检测,Ex3.16 在四元数字通信系统中，四个假设下的信号分别为,其中观测噪声nk是均值为零，方差为1 的复高斯白噪声;各次观测独立，且观测是顺序进行的，假设正确判决代价为0，错误判决代价为1，且四个假设等概，试确定最小平均错误概率检测准则。,解：,根据题设条件，在信源先验等概且正确判决代价为零，错误判决代价为1的条件下，贝叶斯检测等价于最大似然检测，即使似然函数 最大的观察值划分给判决区域Ri,4PSK,1/00,j/01,-1/10,-j/11,步骤1，计算各假设下的似然函数,由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下， 服从复高斯分布，且均值为1，方差为 ;在H1假设下， 服从均值为j，方差为的复高斯分布;在H2假设下, 服从均值为-1，方差为 的复高斯分布;在H3假设下, 服从均值为-j，方差为 的复高斯分布。,步骤2，按照最大似然准则划分观察空间,上述四个似然函数，可统一写成,由于,因此，判决规则转化为使,最大时，判为Hk假设成立,四种假设下的度量值进一步简化为,因此，假设H0的判决区域由下列方程组确定,因此，假设H1的判决区域由下列方程组确定,因此，假设H2的判决区域由下列方程组确定,因此，假设H3的判决区域由下列方程组确定,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,了解ISI信道模型；掌握ISI信道的Trellis图表示；理解Viterbi检测算法。,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,1.ISI信道模型(抽头延迟线模型),注：上图也可用于仿真频率选择性衰落信道,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,2.ISI信道的Trellis图表示,注：1) 可用有限状态机表示ISI信道模型,2) 上图有L-1个寄存器，对于二元传输，相当于有2(L-1)个状态,3) FSM在某一时刻的状态，可由过去L-1个时刻的输入序列表示,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,例：,注：1) 初始状态是两个逻辑零，即两个移位寄存器中存-1,2) 上图有2个寄存器，对于二元传输，相当于有4个状态,3) FSM在某一时刻的状态，可由过去2个时刻的输入序列表示,xk-1xk-2: -1 -1 ；1 -1； -1 1； 11,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,3.Viterbi检测算法,Step1: 首先计算k时刻的接收信号zK与进入状态sk的所有trellis分支之间的欧式距离，并将该欧式距离作为分支度量；,Step2: 计算进入状态sk的所有trellis路径度量：分支度量+状态度量,VA算法，在Trellis图上通过迭代处理方式寻找最大似然路径，或最小距离路径,Step3: 比较并存储有最佳度量的Trellis路径即度量值，删掉其余路径；,Step4: 在最后时刻，有一个唯一状态，它对应的幸存路径一定是具有最小度量的路径，对应该路径的输入序列即是检测输出结果。,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,例：,假设噪声序列为111-1，接收序列z为-1,3,3,-1,3，试求输入序列x=?,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,例：,接收序列-1,3,3,-1,3，输入序列x=?,Z1=-1,Z2=3,Z3=3,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,例：,Z4=-1,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,例：,Z5=3,3.11 ISI信道中的最大似然检测算法,例：,接收序列-1,3,3,-1,3，输入序列x=?,对应红色路径的输入序列为 1 1 -1 1 1,3.12 软输出检测算法,了解软输出检测的基本原理；了解二元调制信号的软输出检测算法；了解M元调制信号的软输出检测算法。,3.12 软输出检测算法,1 软输出检测算法基本原理,根据接收信号的统计特性，检测器不直接给出判决结果，而仅给出判决概率 和 。,或者给出对数似然比值：,3.12 软输出检测算法,2 二元调制信号的软输出检测算法,3.12 软输出检测算法,2 二元调制信号的软输出检测算法,若先验等概，则,3.12 软输出检测算法,3 M元调制信号的软输出检测算法,3.12 软输出检测算法,3 M元调制信号的软输出检测算法,对于M元调制信号的软输出检测，实际是根据接收信号特性，计算,b个对数似然比值 。,3.12 软输出检测算法,3.12 软输出检测算法,3.13 一般高斯信号的统计检测,基本要求,了解一般高斯分布的联合概率密度函数,了解一般高斯分布的统计检测方法,3.13 一般高斯信号的统计检测,则称,是N维高斯随机变量。,1.一般高斯分布的联合概率密度函数,3.13 一般高斯信号的统计检测,对信号进行N次观察，得到,是N维高斯随机变量。,假设,2.一般高斯二元信号的统计检测,在H0为真的条件下，有,3.13 一般高斯信号的统计检测,对信号进行N次观察，得到,是N维高斯随机变量。,假设,在H1为真的条件下，有,3.13 一般高斯信号的统计检测,根据贝叶斯检测准则,可得到,3.13 一般高斯信号的统计检测,3.13 一般高斯信号的统计检测,3.13 一般高斯信号的统计检测,2.1等协方差矩阵的情况,3.13 一般高斯信号的统计检测,2.1等协方差矩阵的情况,3.13 一般高斯信号的统计检测,2.2等协方差矩阵时，检测性能分析,3.13 一般高斯信号的统计检测,2.2等协方差矩阵时，检测性能分析,3.13 一般高斯信号的统计检测,2.3等均值矢量的情况,3.13 一般高斯信号的统计检测,2.3等均值矢量的情况,第四章 信号的波形检测,基本要求,掌握随机过程的正交级数展开确定信号的波形检测(白噪声和有色噪声)随机参量信号的波形检测复信号的波形检测,例 题,Ex4.1 考虑发送信号周期为 的二元移频键控系统.在假设,其中, 信号的振幅和频率已知,并假定两个假设先验等概.信号在传输中叠加了均值为零,功率谱密度为N0/2的高斯白噪声.现采用最小平均错误概率准则，设计信号检测系统,并计算平均错误概率.,H1和H0下的发送信号分别为:,例 题,Ex4.2 设连续相位移频键控通信系统,在假设H1和H0下,其中, 信号的振幅和频率已知, 并假定两个假设先验等概.信号在传输中叠加了均值为零,功率谱密度为N0/2的高斯白噪声.问使平均错误概率最小的两个信号的差频 为多少?,的发送信号分别为:,例 题,Ex4.3 考虑四元信号通信系统,其信号为,其中, 信号的振幅和频率已知,并假定两个假设先验等概.信号在传输中叠加了均值为零,功率谱密度为N0/2的高斯白噪声.现采用最小平均错误概率准则，设计信号检测系统.,