三角函数 总复习PPT课件.ppt
2022年11月25日星期五,第一课时 三角函数的相关概念,第二课时 三角变换与求值,第三课时 三角函数的图象和性质(1),第四课时 三角函数的图象和性质(2),课题:第四章三角函数单元复习,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,2,任意角的概念,角的度量方法（角度制与弧度制）,弧长公式与扇形面积公式,任意角的三角函数,同角公式,诱导公式,两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）,三角函数的图形和性质,正弦型函数的图象,已知三角函数值，求角,知识网络结构,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,3,第一课时 三角函数的相关概念,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,4,1、角的概念的推广,x,一、角的有关概念,2、角度与弧度的互化,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,5,二、弧长公式与扇形面积公式,1、弧长公式：,2、扇形面积公式：,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,6,1、终边相同的角与相等角的区别,终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。,2、象限角、象间角与区间角的区别,3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式,三、终边相同的角,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,7,四、任意角的三角函数定义,x,y,o,P(x,y),r,五、同角三角函数的基本关系式,倒数关系：,商关系：,平方关系：,三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,8,典型例题,各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；,例1.若是第三象限的角，问/2是哪个象限的角?2是哪个象限的角?,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,9,例2已知sin=m (|m|1) ，求tan.,方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况.(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.(2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解.(3)已知角的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,10,指导：在各象限中，各三角函数的符号特征是去绝对值的依据.另外，本题之所以没有讨论角的终边落在坐标轴上的情况，是因为此时所给式子无意义，否则同样要讨论,例3化简,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,11,指导：容易出错的地方是得到x23后，不考虑P点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测,例4设为第四象限角，其终边上的一个点是P(x， )，且cos ，求sin和tan.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,12,例5，若tanA=,求2sin2A+sinAcosA-3cos2A的值。,指导：这是一个已知角A的三角函数值，求它的三角函数式的值。观察其构成特征，可考虑利用“1”的恒等变形，把欲求值的三角函数式用条件正切来表示。即先变形，后代入计算。,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,13,解：,例5，若tanA=,求2sin2A+sinAcosA-3cos2A的值。,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,14,例6，若 ， 则 。,指导:条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想联系起来只有平方，需注意的是 ( , ) 即,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,15,例7.已知一扇形中心角是，所在圆的半径是R. 若60，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. 若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值?,指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,16,解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。,当 扇形面积有最大值 。,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,17,练习题一,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,18,补充: 已知 (1)试判断 的符号；(2)化简,作业,同步作业小结复习(1),Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,19,解：由,的终边在第二、三象限或y轴和x轴的负半轴上；,又 ， 角的终边在第二、四象限，从而 的终边在第二象限。,（1）易知,（2）原式=,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,20,第二课时 三角变换与求值,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,21,诱导公式二,诱导公式三,诱导公式一,诱导公式四,诱导公式五,（把看成锐角）纵变横不变，符号看象限,公式记忆,诱导公式六,一、诱导公式,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,22,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,23,二、两角和与差的三角函数,1、预备知识：两点间距离公式,x,y,o,2、两角和与差的三角函数,注：公式的逆用 及变形的应用,公式变形,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,24,3、倍角公式,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,25,其 它 公 式(1),1、半角公式,2、万能公式,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,26,其 它 公 式(2),sincos = sin( + ) + sin( ),积化和差公式,cossin = sin( + ) sin( ),coscos = cos( + ) + cos( ),sinsin = cos( + ) cos( ),和差化积公式,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,27,例、设cos(-)= -4/5，cos(+)=12/13，-( /2，)，+(3/2，2)，求cos2、cos2的值.,方法指导: (1)解条件求值问题，转化是关键观察条件与求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向求式转化，要么将求式进行变形向已知式转化，,典型例题,（2）“整体角”“+”、及“-”的应用: (+)+(-)=2,(+)-(-)=2，,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,28,解:,应用：找出已知角与未知角之间的关系,例2.已知,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,29,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,30,方法指导:,三个关键点,将1+ tan10“切化弦”,(3)对于形如1cos、1sin的式子的化简应熟练掌握.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,31,解：,应用：化简求值,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,32,例6.化简：,解法1:从“角”入手,“复角”化为“单角”,利用“升幂公式”,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,33,例6.化简：,解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”。,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,34,例6.化简：,解法3：从“名”入手，“异名化同名”。,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,35,例6.化简：,解法4：从“形”入手，利用“配方法”。,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,36,练习题,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,37,1.在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号,误解分析,2.如何巧妙地灵活地运用两角和与差、倍角、半角公式，是三角变换的关键,3.三角变换一般技巧有 切割化弦， 降次， 变角， 化单一函数， 妙用1， 分子分母同乘除， 和积互化等，,方法不当就会很繁，只能通过总结积累解题经验，选择出最佳方法.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,38,作业,同步作业小结复习(2),相等?若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,39,第三课时 三角函数的图象与性质,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,40,图象,y=sinx,y=cosx,x,o,y,-1,1,x,y,-1,1,性质,定义域,R,R,值 域,-1，1,-1，1,周期性,T=2,T=2,奇偶性,奇函数,偶函数,单调性,o,(一)三角函数的图象与性质,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,41,3、正切函数的图象与性质,y=tanx,图象,x,y,o,定义域,值域,R,奇偶性,奇函数,周期性,单调性,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,42,1、作y=Asin(x+)图象的方法,2、y=Asin(x+)关于 A、的三种变换,法一：五点法,列表取值方法：是先对x+取 0，/2，3/2，2,法二：图象变换法,（1）振幅变换（对A）,（2）周期变换（对）,（3）相位变换（对）,1、作y=Asin(x+)图象的方法,(二) y=Asin(x+)的相关问题,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,43,3、求y=Asin(x+)+K 的解析式的方法,4、y=Asin(x+)(A0,0) 的图象的对称中心和对称轴方程,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,44,说明:三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.,(1)判断角的象限；(2)求对应锐角； 如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1； 如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.(3)求出(0，2)内对应的角； 如果它是第二象限角，那么可表示为x1； 如果它是第三或第四象限角，则可表示为x1或x12.(4)求出一般解 利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.,（三）已知三角函数值求角”的基本步骤,1、基本步骤,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,45,2、表示角的一种方法反三角函数法,1、反正弦：,这时sin(arcsina)=a,2、反余弦：,这时cos(arccosa)=a,这时tan(arctana)=a,3、反正切：,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,46,典型题选讲,【例1】已知下图是函数 的图象(1)求 的值；(2)求函数图象的对称轴方程.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,47,典型题选讲,解析：解这类问题的一般方法是通过特殊点来确定函数中的 ，于是由题设图象知:（1） （2）函数图象的对称轴方程为 即 。,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,48,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,49,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,50,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,51,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,52,例4 f(x)=2acos2x+2 asinxcosx-a+b(a0)定义域为0, ，值域为-5,1，求a，b。,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,53,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,54,例2:已知函数 求：函数的最小正周期；函数的单增区间；函数的最大值 及相应的x的值；函数的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到。,解：,图象向左平移 个单位,图象向上平移2个单位,应用：化同一个角同一个函数,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,55,例3、 函数f(x)=cos2(x- )+sin2(x- )+msinxcosx的值域为a,2(xR,ma)求m值和f(x)的单调增区间。解：f(x)=,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,56,例4 函数y=cos(2x+ )图象的一条对称轴方程为_。(A) x=- (B) x=- (C) x= (D) x=解：2x+ =k 2x=k - x= - k=0 x=- 选B例5 函数y=sin(x+)(0,| )的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来2倍（纵坐标不变）得函数y=sinx图象则=_ =_。解：y=sin2x =sin2(x- )=sin(2x- ) =2 =-,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,57,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,58,课堂练习,1.给出四个函数:(A)y=cos(2x+/6) (B)y=sin(2x+/6)(C)y=sin(x/2+/6) (D)y=tan(x+/6) 则同时具有以下两个性质的函数是( ) 最小正周期是 图象关于点(/6，0)对称. 2.已知f(x)=sin(x+/2)，g(x)=cos(x-/2)，则下列结论中正确的是( ) (A)函数y=f(x)g(x)的周期为2 (B)函数y=f(x)g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移/2单位后得g(x)的图象,A,D,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,59,3.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移/4个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则f(x)是( ) (A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx,B,.关于函数f(x)=sin(3x-3/4），有下列命题：其最小正周期是2/3；其图象可由y=2sin3x向左平移/4个单位得到；其表达式可改写为y=2cos(3x-/4)；在x/12，5/12上为增函数.其中正确的命题的序号是_,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,60,考点练习,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,D,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,61,.函数y=|tgx|cosx(0 x3/2，且x/2)的图象是( ),Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,62,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,63,、求下列函数的值域：,8、,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,64,21）已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos(x+ )- 。（1）化简f(x)的解析式；（2）若0，求，使函数f(x)为偶函数。（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-,的x的集合。解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)当= 时 f(x)为偶函数。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或x=,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,65,1.在能力思维方法4中，由于没有给出范围，所以极易求出不合题意的值，解题时要结合“零点”观察,误解分析,2.由y=sinx作y=sin(2x+/3)图象，如果先把横坐标缩短为原来的1/2倍，得y=sin2x后再平移，应向左平移/6，切勿左移/3.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,66,三角函数部分题型,一、概念题：,1、任意角的概念,2、弧度制概念,3、任意角的三角函数概念；,概念是逻辑判断的依据，是数学分析、理解的基础,二、考查记忆、理解能力题,如：简单的运用诱导公式、和、差、倍、半角公式的堆积题,要求学生做到：记忆熟悉、计算细心、答案正确,三、求值题,1、特殊角、非特殊角的三角函数求值题,4、周期,5、反三角函数,6、三角函数线,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,67,2、已知三角函数求角（反三角函数的定义和表示）,3、求正弦、余弦型函数的解析式,三、三角函数的图象与性质题,1、求定义域,（注意与不等式的结合）,2、求值域题,如：求y=asinx+bcosx的最值题及其变换题,3、求周期,4、奇偶性,5、单调性：如求单调区间、比较大小,四、图象变换题,1、画图和识图能力题：如：描点法、 五点法作图、变换法,2、已知图象求解析式（五点法作图的应用）,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,68,五、三角函数的最值：常用方法：利用形如 ，化为 ，再利用利用函数的单调性判别式法换元法,|sinx|1,|cosx|1,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,69,三角解题常规,宏观思路,分析差异,寻找联系,促进转化,指角的、函数的、运算的差异,利用有关公式，建立差异间关系,活用公式，差异转化，矛盾统一,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,70,1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；6、见2sin，想拆成sin+sin；7、见sincos或,想两边平方或和差化积,8、见asin+bcos，想化为,9、见coscoscos，先,若不行，则化和差,微观直觉,10.见cos+cos(+)+cos(+2 )，想乘,sin+sin=pcos+cos=q,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,71,高考试题精选及分析,C,点评:本题先由所在象限确定/2所在象限,再/2的余弦符号确定结论.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,72,思路:函数y=sin2x+acos2x可化为,要使它的图象关于直线x= -/8对称,则图象在该处必是处于波峰或波谷.即函数在x=-/8时取得最大、小值.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,73,解题步骤:,3.指出变换过程:,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,74,答案:tg(2)=7/24.,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,75,基本思路:,最后结果:,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,76,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,77,例71、（02年）在 内使 成立的 取值范围是（ ）2、（00年）函数 的部分图象是（ ）,C,D,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,78,例8、(00年)已知函数当函数 取得最大值时，求自变量 的集合。该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,79,分析： ，当即： (kz)时，取得最大值。y=sinx y=sin(x+ ) y=2sin(x+ ),纵伸长,到原来2倍,左移,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,80,例9、(98年)关于函数 有下列命题： 的表达式可改写为 是以 为最小正周期的周期函数 的图象关于点 对称 的图象关于直线 对称其中正确的命题序号是。, ,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,81,基础练习,一、选择题:1、若A=21，B=24，则(1+tgA)(1+tgB)的值是( ) (A)1 (B)2 (C)1+ (D)2(tgA+tgB)2、若270360，则 等于（ ） (A)-cos(/2) (B) cos(/2) (C) sin(/2) (D) -sin(/2),B,A,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,82,4.若函数f(x)sinx是周期为奇函数，则f(x)可以是 （ ）A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x,5.函数f（x）=sinx-cosx的最大值是 （ ） A. 2 B. 1 C. D.,6函数y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴是直线 （ ）A. x= - B. x= C. x= - D.,3下列函数中，周期为 的偶函数是 （ ）A y=sin4x B.y=cos4x C.y=tan2x D.y=cos2x,B,B,D,B,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,83,7.如果函数y=tan2x-2tanx,x(- , ),那么它的值域为 （ ）A. -1,+ B.-1,3 C. (-1,3) D.(-1,3),8.下列各式中，正确的是 （ ）A. Sin sin B. sin(- )sin(- ) C.tan tan(- ) D.cos(- )cos(- ),9.要得到函数y=cos(2x- )的图象，只需将函数y=sin2x的图象 （ ）A.向左平移 （单位长） B. 向右平移 （单位长）C向左平移 （单位长） D. 向右平移 （单位长）,D,C,A,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,84,10函数y= 的值域是 （ ）A. 0，2 B. (0,2) C. 0,2 D. (0,2 ),11.若x(- , )，则使sinxtanxcotx成立的x的取值范围是 （ ）A.(- ,- ) B.( - ,0) C.(0, ) D.( , ),12.已知函数 其中定义域相同的是 （ ）A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(2)(3) D.(1)(3)(4),C,B,B,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,85,13函数y=2cos(2x- )的一个单调区间是 （ ）A.- B. C.- ,0 D. - , ,14将函数y=sinx的图象向左平移 （单位长），再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的曲线的解析式为 （ ）y=sin( + ) B.y=sin(2x- ) C.y=sin( + ) D.y=sin(3x+ ),A,A,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,86,15.函数y=sinxcosx+ cos2x- 的一个周期是 （ ）A. B. C. D.,16.如果，（ ，），且tan C. +,A,A,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,87,二、填空题:,4,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,88,1、已知、为锐角，cos= ， cos(+)= ，求。,三、解答题:,为锐角，故=/3,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,89,Friday, November 25, 2022,三角函数单元复习,90,（三）单元测试一、选择题1）函数y= 的值域是（A）(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|2）把函数y=sin( -3x)的周期扩大为原来的2倍，再将所得到函数的图像向右平移 ，则所得图像的函数解析式为（A）（A）y=sin( - ) （B）y=cos（C）y=sin( - ) （D）y=sin( -6x)3）函数y=sin2x的单调递减区间是（B）(A)k- ,k+ ,kZ (B)k+ ,k+ ,kZ (C)k,k+ ,kZ (D)k+ ,k+,kZ,4）若函数y=sin(x)cos(x)(0)的最小正周期为4，则等于（D）（A）4 （B）2 （C） （D）5）函数y=sin2x+2cosx( x )的最大值和最小值分别是（B） （A）最大值为 ，最小值为- （B）最大值为 ，最小值为-2 （C）最大值为2，最小值为- （D）最大值为2，最小值为-2,6）函数y=sin(2x+ )的图像的一条对称轴方程是（D）(A) x=- (B) x=- (C) x= (D) x=7）设则有（C） （A）abc （B）bca （C）cba （D）acb8）已知f(x)=xcosx-5sinx+2，若f(2)=a，则f(-2)等于（D） （A）-a（B）2+a（C）2-a（D）4-a,9）若0a1，在0,2上满足sinxa的x的范围是（B）(A) 0,arcsina (B) arcsina, -arcsina(C) -arcsina, (D)arcsina, + arcsina10）函数y=lg sinx+ 的定义域是（A）（A）x|2kx2k+ (kZ)（B）x|2kx2k+ (kZ)（C）x|2kx2k+ (kZ)（D）x|2kx2k+ (kZ),11）已知函数f(x)=-acos2x- asin2x+2a+b，其中ab，0 x ，-5f(x)1，则当t-1,0时，g(t)=at2+bt-3的最小值为（C）（A）-15 （B）0 （C）-3 （D）-612）设函数f(x)=sin2x-2 sinx-2的最大值和最小值分别为M和m，则有（B）（A）M=2 -1, m=-4（B）M=2 -1, m=-1-2（C）M=-2, m=-2-2（D）M=2 +1, m=-1-2,二、填空题13）已知|sin|= ,sin20,则tan 的值是_。14）15）函数y=2sin(2x+ )(x-,0)的单调递减区间是_。,2或-,4,17）求函数y= 的最大值及此时x的值。解： 当sinx=1 即x=2k+ kZ时 y大=1,1sinx1,三、简答题,19）已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a(aR,a常数)。（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若x- , 时，f(x)的最大值为1，求a的值。解：（1）f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a f(x)最小正周期T=2 （2）x - , x+ - , f(x)大=2+a a=-1,22）函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(aR)：（1）求g(a)；（2）若g(a)= ，求a及此时f(x)的最大值。解：f(x)=2(x- )2- 2-2a-1 -1x1 当-1 1即-2a2时 f(x)小=- 2-a-1 当 1 即a2时 f(x)小=f(1)=1-4a,
