中南大学 电磁场与电磁波 ppt课件.ppt

电磁场与电磁波,绪论,矢量分析,电磁场基本物理量,静电场分析,静电场边值问题,恒定磁场分析,时变电磁场,正弦平面电磁波,绪 论,一、课程的性质和任务,“电磁场与电磁波”是高等学校电子信息类及电气信息类专业本科生必修的一门技术基础课，课程涵盖的内容是合格的电子、电气信息类专业本科学生所应具备的知识结构的重要组成部分。近代科学的发展表明，电磁场与电磁波基本理论又是一些交叉学科的生长点和新兴边缘学科发展的基础，而且对完善自身素质，增强适应能力和创造能力长远地发挥作用。 本课程将在“大学物理（电磁学）”的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计算方法。通过课程的学习，掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基本的电磁场工程问题的能力。,二、电磁场理论发展历史,最初，人们只能定性观察电现象、磁现象,电磁场理论发展中的重大事件：,库仑定律（电荷相互作用力规律）,1820：电流磁效应（奥斯特） 安培力定律（安培）,1831：电磁感应（法拉第）,1864：位移电流假说，麦克斯韦方程组(麦克斯韦),1888：试验证明电磁波存在（赫兹）,三、电磁场、电磁波与工程应用,当今世界，电子信息系统，不论是通信、雷达、广播、电视，还是导航、遥控遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分发挥其重要作用。下面以无线电通信系统为例来说明。,发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了接收端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经馈线将高频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了信息的传递。在这个过程中，经历了电磁波的传输、发射、传播、接收等过程。,馈线,传输导行电磁波（导波理论） 发射和接收天线（天线理论） 传播入射、反射、透射、绕射（电波传播）,中、短波发射天线,微波接力天线,电磁场理论的工程应用,天线,卡塞格仑天线,MMDSA型微波天线,MMDSC型微波天线,矩形波导,圆波导,平行双线,同轴线,微带线,传输线,随着现代科学技术的发展，电子、电气系统获得越来越广泛的应用。运行中的电子、电气设备大多伴随着电磁能量的转换，使得高密度、宽频谱的电磁信息充满整个人类的生存空间，构成极其复杂的电磁环境，出现了电磁干扰和电磁污染。使电子系统受到严峻的挑战，人类生存受到威胁。人们面临的一个新问题就是如何提高电子系统在复杂电磁环境下正常运行的能力，如何改善人类生存环境。 在这样的背景下提出了电磁兼容的概念，逐渐形成了一门新学科电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility,简写为EMC）。电子系统的电磁兼容性的分析、计算、试验都要用到大量的电磁场理论知识，应用到电路的基础知识，甚至生物医学知识。可以说，电磁兼容学科是电磁场学科和其他相关学科相结合而形成的新学科。,电磁兼容,生物电磁学也是与电磁场相关联的一门新学科，它研究电磁场与生物系统的相互作用、相互影响的关系，电磁场与电磁波无疑是其讨论的理论依据。,生物电磁学,难点,分析和处理问题的方法 数学处理过程,矢量分析,矢量分析,矢量分析与场量基础,矢量场的通量 散度,矢量场的环流 散度,标量场的梯度,亥姆霍兹定理,1.1 矢量分析与场论基础,一、 矢量与矢量场,标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度）,矢量的表示方式,注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 。教材上符号即为印刷体。,矢量可表示为： 其中 为其模值，表征矢量的大小； 为其单位矢量，表征矢量的方向；,矢量的运算,则：,说明：矢量间不存在除法运算。,标量场与矢量场,按物理量的性质 标量场 物理量为标量（温度场,电位场） 矢量场 物理量为矢量（电场、磁场）,场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。,按物理量变化特性 静态场 物理量不随时间的变化而变化 时变场（动态场） 物理量随时间的变化而变化,场的分类：,二、常用坐标系,直角坐标系,单位矢量：,矢量表示：,位置矢量：,基本变量：,圆柱坐标系,单位矢量：,矢量表示：,位置矢量：,基本变量：,球面坐标系,单位矢量：,矢量表示：,位置矢量：,基本变量：,坐标变换,圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系,1.2 矢量场的通量 散度,一、矢量线（力线）,矢量场的通量,矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向,若S 为闭合曲面,物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。,二、矢量场的散度,通过闭合面S的通量的物理意义,若 ，闭合面内有产生矢量线的正源,若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源,若 ，闭合面内无源,三、矢量场的散度,散度的定义,在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为：,讨论：,散度的物理意义,矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性,矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数,矢量场的散度值表征空间中通量源的密度,若 ，则该矢量场称为有源场，为源密度,若 处处成立，则该矢量场称为无源场,讨论：在矢量场中，,式中：,哈密顿算符,散度的计算,直角坐标系下：,圆柱坐标系下：,球面坐标系下：,四、散度定理（矢量场的高斯定理）,该公式表明了矢量场 的散度在体积V内的积分等于矢量场在限定该体积的边界面S上的积分（通量）。,散度定理的证明,散度定理的证明,从散度定义有：,则在一定体积V内的总的通量为：,得证！,1.3 矢量场的环流 旋度,一、矢量的环量,环流的计算,在场矢量 空间中，取一有向闭合路径l，则称 沿l积分的结果称为矢量 沿l的环量。即：,环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。,在直角坐标系中：,讨论：,二、矢量的旋度,环流面密度,矢量场的旋度,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用 表示，即：,式中： 表示矢量场旋度的方向；,表示矢量场 在点M处沿 方向的漩涡源密度；其值与方向 有关。,在场矢量 空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为 ，当面元面积无限缩小时，可定义 在点M处沿 方向的环量面密度,旋度的物理意义,旋度的计算,矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；,矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；,在直角坐标系下：,三、斯托克斯定理,由旋度的定义,对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有,斯托克斯定理的证明：,得证！,意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。,四、矢量场旋度的重要性质,任意矢量场旋度的散度等于零。,1.4 标量场的梯度,一. 等值面（线）,由所有场值相等的点所构成的面(线)，即为等值面(线)。即若标量函数为 ，则等值面方程为：,二. 标量场的梯度,梯度的定义,式中： 为垂直于等值面（线）的方向。,梯度的性质,标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数,标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标量场增加最快的方向，幅度表示标量场的最大增加率,梯度描述了空间某点处标量场 随位置变化的规律。,梯度的运算,在球面坐标系中,柱面坐标系中,直角坐标系下,三. 梯度的重要性质,标量场的梯度恒等于零。,1.5 亥姆霍兹定理,一、亥姆霍兹定理,在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。,二、矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,调和场,若矢量场 在某区域V内，处处有： 和 则在该区域V内，场 为调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。,有源无旋场,若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为有源无旋场。,结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源无旋场也称保守场。,无源有旋场,若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。,讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理,说明：式中 为矢量场漩涡源密度。,有源有旋场,若矢量场 在某区域V内，在某些位置或整个空间内，有 和 ，则称在该区域V内，场 为有源有旋场。,有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即：,亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。,电磁场的基本物理量,电磁场的源量,库仑定律 电场强度,安培定律 磁感应强度,2.1 电磁场的源量电荷和电流,自然界中最小的带电粒子包括电子和质子 一般带电体的电荷量通常用q表示 从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的 从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中 电荷的几种分布方式：空间中体积电荷体密度 面上电荷面密度s 线上电荷线密度l,一、电荷与电荷密度,体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体,体电荷密度 的定义,在电荷空间V内，任取体积元 ，其中电荷量为,则,体电荷密度,面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷,面电荷密度 的定义,在面电荷上，任取面积元 ，其中电荷量为,则,面电荷密度,线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷,线电荷密度 的定义,在线电荷上，任取线元 ，其中电荷量为,则,线电荷密度,当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。,点电荷,电流由定向流动的电荷形成，通常用 I 表示，定义为,当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定（稳恒）电流 空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况 引入电流密度 来描述电流的分布情况 电荷的几种分布方式：空间中体积电流体密度J 面上电流面密度Js 线上线电流I,二、 电流与电流密度,电流的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量,体电流密度,电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流,设单位体积内有N个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷q，且都以相同的速度v运动，体积中的总电荷将在 dt 时间内经 dS 流出柱体，可以得到 dt 时间内通过 dS 的电荷量为,如图，设P为空间中的任意点，过P取面积元dS。,体电流密度 定义,物理意义：单位时间内通过垂直电流传播方向单位面积的电量,关于体电流密度的说明,式中： 为空间中电荷体密度， 为正电荷流动速度,通过截面积S的电流,反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场 一般是时间t的函数，即J=J(r, t) 。恒定电流是特殊情况 如有N种带电粒子，电荷密度分别为i，平均速度为vi，则, = 0时可能存在电流。如导体中电荷体密度为0，但因正电荷质量相对于电子大很多，因此近似不动，有,面电流密度 定义：,当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量 Js 来表示。,面电流密度,如图，设电流集中在厚度为h的薄层内流动，薄层的横截面S，n为表示截面方向的单位矢量。显然穿过截面的电流为,关于面电流密度的说明,Js是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢量场分布 Js的方向为空间中电流流动的方向 Js在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量 当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流 只有当电流体密度J趋于无穷，理想面电流密度Js才不为零，即,若表面上电荷密度为 ，且电荷沿某方向以速度 运动，则可推得此时面电流密度为：,电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。,电流元 ：长度为无限小的线电流元。,线电流和电流元,三、 电流的连续性方程,电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。实验证明，电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。,取电流流动空间中的任意一个体积V，设在,时间内，V内流出S的电荷量为,由电流强度定义：,定律： 时间内，V内电荷改变量为,由电荷守恒,即,在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得,2、当体积V为整个空间时，闭合面S为无穷大界面，将没有电流经其流出，电流连续性方程可写成,对电流连续性方程的进一步讨论,即整个空间的总电荷是守恒的。,1、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系,3、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布也不改变，即：,则恒定电流的电流连续性方程为,4、对于面电流，电流连续性方程为：,意义：流入闭合面S的电流等于流出闭合面S的电流基尔霍夫电流方程,时变面电流,恒定面电流,例 在球面坐标系中，传导电流密度为J=er10r-1.5(A/m)，求：（1）通过半径r1mm的球面的电流值；（2）在半径r=1mm的球面上电荷密度的增加率；（3）在半径r=1mm的球体内总电荷的增加率。,解： （1）,（2）在球面坐标系中,（3）由电荷守恒定律得,2.2 库仑定律 电场强度,一、库仑定律,库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律,库仑定律内容：如图，电荷q1对电荷q2的作用力为：,式中：,为真空中介电常数。,对库仑定律的进一步讨论,大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上,多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即,连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解,二、电场强度矢量,电场的定义,电场强度矢量,用电场强度矢量 表示电场的大小和方向,电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用静止电荷产生的电场称为静电场 随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场,实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量q0成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即,对电场强度的进一步讨论,电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场 电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关 对静电场和时变电场上式均成立,点电荷产生的电场 单个点电荷q在空间任意点激发的电场为,特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，,多个点电荷组成的电荷系统产生的电场,由矢量叠加原理，N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为,式中:,连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场,处理思路： 1) 无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理,设体电荷密度为 ，图中dV在P点产生的电场为：,则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：,面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如, 线电荷, 面电荷,例 图中所示为一个半径为r的带电细圆环，圆环上单位长度带电l，总电量为q。求圆环轴线上任意点的电场。,解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷l(r)dl，则线元在轴线任意点产生的电场为,由对称性和电场的叠加性，合电场只有z分量，则,结果分析,（1）当z0，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，E=0（2）当z，R与z平行且相等，rz，带电圆环相当于一个点电荷，有,例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。,由球体的对称性分析可知：电场方向沿半径方向：电场大小只与场点距离球心的距离相关。,解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：,式中：,导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。,结果分析,2.3 安培力定律 磁感应强度,一、安培力定律,安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。,式中：,为真空中介电常数。,C1上电流元 对C2上电流元 磁场力为,安培定律的微分形式,讨论：,dF12 dF21，这与库存仑定律不同。这是因为孤立的稳恒电流元根本不存在，仅仅是数学上的表示方法而已,两个电流元的相互作用力,两个电流环的相互作用力 在回路C1上式积分，得到回路C1作用在电流元I2dl2上的力,再在C2上对上式积分，即得到回路C1对回路C2的作用力,安培定律的积分形式,二、磁感应强度矢量,磁场的定义,磁力是通过磁场来传递的 电流或磁铁在其周围空间会激发磁场 会对处于其中的运动电荷（电流）或磁体产生力的作用,磁场强度矢量,处于磁场中的电流元Idl所受的磁场力dF与该点磁场B、电流元强度和方向有关，即,安培力公式,毕奥萨伐尔定律,若 由电流元 产生，则由安培力定律,可知，电流元 产生的磁感应强度为：,毕奥萨伐尔定律,说明： 、 、 三者满足右手螺旋关系。,体电流产生的磁场体电流可以分解成许多细电流管，近似地看成线电流，此时有 I = JdS，则电流元为 ，得,对毕奥萨伐尔定律的讨论,真空中任意电流回路产生的磁感应强度,面电流产生的磁场,运动电荷的磁场定向流动的电荷形成电流。设某区域电荷密度为，速度v，将形成电流密度J=v，则电流元为Idl = JdV = vdV = qv，得,例 求有限长直线电流的磁感应强度。,解：在导线上任取电流元 Idz，其方向沿着电流流动的方向，即 z 方向。由比奥萨伐尔定律，电流元在导线外一点P处产生的磁感应强度为,其中,当导线为无限长时，10，2,结 果 分 析,例：求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场。,解：建立如图柱面坐标系。,在电流环上任取电流元 ，令其坐标位置矢量为 。,易知：,静电场分析,静电场基本方程,电位函数,泊松方程 拉普拉斯方程,介质的极化 电位移矢量,高斯定理 边界条件,恒定电场,电容和部分电容,电场能量,3.1 真空中静电场的基本方程,亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。,一、真空中静电场的散度 高斯定理,可以证明：真空中静电场的散度为,静电场高斯定理微分形式,说明：1)电场散度仅与电荷分布相关，其大小,2）对于真空中点电荷，有,或,真空中静电场的散度,物理意义：静电场 穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围电荷量有关。 静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场 无电荷处，源的强度(散度）为零，但电场不一定为零,将高斯定理微分形式对一定体积V积分，则得：,式中：S为高斯面，是一闭合曲面， Q为高斯面所围的电荷总量。,静电场中的高斯定理,真空中静电场的高斯定理,对高斯定理的讨论,二、真空中静电场的旋度 环路定律,当A点和B点重合时：,物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零静电场为保守场。 静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路,斯托克斯公式,对环路定理的讨论,静电场环路定律积分形式,真空中静电场性质小结：,微分形式,积分形式,静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。,静电场的源：电荷,讨论：对静电场，恒有：,为标量函数,静电场可以由一标量函数的梯度表示。,求解的关键：高斯面的选择。,高斯面的选择原则：,只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。,1）场点位于高斯面上；2）高斯面为闭合面；3）在整个或分段高斯面上， 或 为恒定值。,补充内容：利用高斯定理求解静电场,例,求电荷密度为 的无限大面电荷在空间中产生的电场,解：取如图所示高斯面。,由高斯定律，有,分析：电场方向垂直表面。在平行电荷面的面上大小相等。,S,求无限长线电荷在真空中产生的电场。,解：取如图所示高斯面。,由高斯定律，有,分析：电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与r有关。,例,2）解为球坐标系下的表达形式。,3）,解：1) 取如图所示高斯面。,在球外区域：ra,分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与r有关。,半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。,求：（1） （2） （3）,在球内区域：ra,例,3.2 电位函数,一、电位函数与电位差,电位函数,电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；,“”表示电场指向电位减小最快的方向；,在直角坐标系中,引入电位函数 ：,可由一标量函数表示。,关于电位函数的讨论,电场空间中两点间电位差为：,电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。,电位差的计算：,意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所作的功。 两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关,电位差（电压）,关于电位差的说明,电位参考点,显然，电位函数不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示同一个电场，即,为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值(电位差),两点间电位差有定值,应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点 电位参考点电位一般为0；,选择电位参考点的原则:,二、电位函数的求解,点电荷的电位,选取Q点为电位参考点，则,若电位参考点Q在无穷远处，即,则：,点电荷在空间中产生的电位,说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点,无限长线电荷的电位,电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。,根据表达式最简单原则，选取r=1柱面为电位参考面，即,得：,无限长线电流在空间中产生的电位,体电荷：,面电荷：,线电荷：,式中：,说明：若参考点在无穷远处，则c=0。,引入电位函数的意义： 简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再 关系得到电场解。,分布电荷体系在空间中产生的电位,求电偶极子 在空间中产生的电位和电场。,分析：电偶极子定义,解：取无限远处为电位参考点。,电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统,电偶极矩 ：,例,求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和电场强度,解：在面电荷上取一面元 ，如图所示。,例,3.3 泊松方程 拉普拉斯方程,柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。,标量场的拉普拉斯运算,在直角坐标系中：,矢量场的拉普拉斯运算,在直角坐标系中：,补充内容：拉普拉斯运算,一、静电场电位方程的建立,即：,电位的泊松方程,在无源区域，,电位的拉普拉斯方程,二、电位方程的应用,可用于求解静电场的边值问题。,半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，求空间电位分布及电场强度分布。,解法一：导体球是等势体。,时：,例,时：,解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。,设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：,1、场源积分法,积分困难，对大多数问题不能得出解析解。,2、应用高斯定理求解,只能应用于电荷成对称分布的问题。,3、间接求解法,先求解空间电位分布，再求解空间电场。,在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。,小结：求空间电场分布的方法,3.4 介质的极化 电位移矢量,一、极化与极化强度矢量,介质极化有关概念,介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统 电偶极子和电偶极矩：,介质分子的分类：无极分子和有极分子。 在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观上不显出电特性 介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩,电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统。,电偶极矩 ：表示电偶极子。,用极化强度矢量 表示电介质被极化的程度。,式中：,表示i个分子极矩。,N表示分子密度,物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。,说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即,极化强度矢量,二、极化电荷（束缚电荷）,媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自由运动，故也称束缚电荷。 体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表面上出现的极化电荷称为面极化电荷。,介质被极化后，分子可视作一个电偶极子 设分子的电偶极矩p =ql。取如图所示体积元，其高度 等于分子极矩长度。,体极化电荷,则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元dS,在空间中任取体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为,穿出整个S面的电荷量为：,由电荷守恒和电中性性质，S面所围电荷量为,面极化电荷,在介质表面上，极化电荷面密度为,式中： 为媒质极化强度 为媒质表面外法向单位矢量,讨论：若分界面两边均为媒质，则,极化电流密度Jp,当极化强度P改变时，极化电荷分布将发生改变，这个过程中极化电荷将在一定范围内运动，从而形成极化电流,说明：极化电荷与极化电流之间仍满足电流连续性方程，即有,对介质极化问题的讨论,极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷 由电荷守恒定律，极化电荷总量为零； P=常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极化电荷只会出现在介质表面上 均匀介质内部一般不存在极化电荷 位于媒质内的自由电荷所在位置一定有极化电荷出现,电位移矢量,对于线性各向同性介质，有,空间中原电场：,介质被极化极化电荷：,介质空间中电场：,介质空间外加电场 ，实际电场为 ，变化与介质性质有关。,引入电位移矢量 作为描述空间电场分布的辅助量.,电介质本构关系,媒质介电常数,媒质相对介电常数,真空的相对介电常数等于1，真空中电场的本构关系为,真空中点电荷产生的电位移矢量为：,引入电位移矢量后，真空中静电场的基本方程可写为,对电位移矢量的讨论,分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。,解：在驻极体内：,驻极体在表面上：,求半径为a，永久极化强度为 的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：,例,半径为a的球形电介质体，其相对介电常数 ,若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。,解：由高斯定律，可以求得,在媒质内：,体极化电荷分布:,面极化电荷分布:,在球心点电荷处：,例,在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的z分量为 ，极化强度 求：介质中的电场强度 和电位移矢量 。,解：由定义，知：,例,3.5 介质中的高斯定律 边界条件,一、介质静电场基本方程,真空中的高斯定律：,在介电常数为 的介质中，类似地，有：,介质中的高斯定律,在介质中，静电场仍然为保守场,介质中的环路定律,电介质中，穿过闭合面S的电通量由真空中的电通量和束缚电荷穿过闭合面S的电通量组成。,式中：q为自由电荷电量，不包括极化电荷电荷。,对介质中静电场基本方程的讨论,二、介质的电位方程,在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数）,三、静电场的边界条件,在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变 分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的边值关系或边界条件 推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式,在非均匀媒质中， 为坐标函数,的边界条件,为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。,若媒质为理想媒质，则 ， 满足边界条件,在分界面上取一个扁盒，将 应用于此盒，并考虑h0，得,对 边界条件的讨论,结论一：若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。,的边界条件,在分界面上作一矩形回路，将 用于此回路，且考虑h0，得,结论二：在两种媒质分界面上， 切向连续。,理想媒质和导体的静电场边界条件,理想介质分界面的边界条件（ ）,理想介质：导电率为0的媒质。因此在理想介质内部和表面均不存在自由电荷分布，故边界条件为：,导体边界条件,在导体内部，不存在静电场。故静电场导体边界为,电位边界条件,在介质边界两边，电位分布同样遵照某种规律变化，这种变化规律即为电位的边界条件。,电位边界条件,讨论：在理想媒质分界面上,从上式可以看出，电场矢量方向在分界面两边将发生改变，改变量与媒质介电常数有关。,同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间充满介电常数分别为 和 的两种理想介质，分界面半径为c。已知外导体接地，内导体电压为U。求:(1)导体间的 和 分布； (2)同轴线单位长度的电容,分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边 连续,解：设内导体单位长度带电量为,由高斯定律，可以求得两边媒质中，,例,球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充满介电常数为 和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。,分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介质两边 相等。,解：令电场强度为 ，由高斯定律,例,小结：应用高斯定理求解静电场边值问题步骤：,根据电荷分布，判断电场方向,判断电场方向与边界面关系（垂直或相切）,应用边界条件，判断是 连续还是 连续,应用高斯公式求解，一般用 求解,3.6 恒定电场,恒定电场：恒定电流(运动电荷)产生的电场。,一、恒定电场基本方程,恒定电场的基本量：,由电流守恒定律：,恒定电场仍然是保守场，因此,小结：恒定电场基本方程为,二、欧姆定律,若导电媒质中存在外加电场 ,该电场将在导电媒质中激励起电流,由欧姆定律：,欧姆定律微分形式,设导电媒质的导电率为 ，在其中选取一体积元 , 方向与外加电场方向一致，如图所示。,关于恒定电场欧姆定律的讨论：,三、焦耳定律,电场做功功率为：,电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为：,在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功。设：电荷量V，运动速度v，则电场力在时间t内所做的功为,四、恒定电场边界条件,用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场基本方程中的 代换为 ，则两者基本方程形式完全相同。,电位边界条件,的边界条件,的边界条件,若 ,则 。,在理想导体表面上， 和 都垂直于边界面。,静电场和恒定电场性质比较：,场性质相同，均为保守场 场均不随时间改变 均不能存在于理想导体内部,源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为运动电荷 存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内,讨论：,相同点：,不同点：,同轴线填充两种介质，结构如图所示。两种介质介电常数分别为 和 ，导电率分别为 和 ，设同轴线内外导体电压为U。求：(1)导体间的 ， ， ； (2)分界面上自由电荷分布。,解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。,设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。,则：,由边界条件，边界两边电流连续。,例,由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：,2）由边界条件：,在 面上：,在 面上：,在 面上：,3.7 电容和部分电容,孤立导体的电位与其所带的电量成正比。,一、电容,孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即,孤立导体电容,电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与q和无关 空气中半径为a的孤立带电球，,关于孤立导体电容的说明：,两个导体构成电容器。两导体间电位分别为 和 ，导体带电量分别为Q和-Q，则定义电容器电容为：,两个带等量异号电荷导体的电容,关于电容器电容的说明：,同样地同，电容C只与导体几何性质和介质有关平行板电容器电容,二、部分电容,若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容,单个导体上的电量,两个导体存在，且考虑大地影响时，相当于3个导体的情况，其中一个导体上的电量为,其中C12为导体1,2间的电容，C11为导体与大地间的电容,N个导体存在，导体i上的电量与它和其它导体之间的电位差（包括大地）有关，即有,式中：,导体与地之间电容，称导体自电容,导体之间的电容，称导体互电容,说明：,平行双线，导线半径为a，导线轴线距离为D 求：平行双线单位长度的电容。（aD),解：设导线单位长度带电分别为 和 ，则易于求得，在P点处，,导线间电位差为：,例,计算同轴线内外导体间单位长度电容。,解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 和 ，则内外导体间电场分布为：,则内外导体间电位差为：,内外导体间电容为：,例,3.8 电场能量,一、空间总电场能量,空间电荷分布为 ，在空间中产生电位为 。,空间中总电场能量为：,此公式只适用于静电场能量求解；,公式中 不表示电场能量密度；,为空间中自由电荷分布；,积分范围 为整个空间，但可退化到电荷分布区域。,关于空间总电场能量的说明：,分布电荷总能量,若电量为q的电荷分布在导体上，导体电位为 ，则空间中总静电场能量为：,对带电多导体系统,带电导体系统总能量,二、电场能量密度,考查上式第一项：,在上式中， 为整个空间，即S为包围整个空间的闭合面，,电场能量密度,式中： 为整个电场空间,由边界条件知在边界两边 连续。,解：设同轴线内导体单位长度带电量为,同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间部分填充介质，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为U。,求：导体间单位长度内的电场能量。,例,两种方法求电场能量：,或应用导体系统能量求解公式,知识延展：,对于由导体系统组成的电容器，其总电场能量可采用如下方法求解,静态场边值问题,边值问题的唯一性定理,直角坐标系的分离变量法,镜像法,4.1 边值问题的唯一性定理,一、边值问题,边值问题是指存在边界面的电磁问题。,根据给定边界条件对边值问题分类：,第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。,第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。,第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。,二、唯一性定理,唯一性定理内容：在场域V的各边界面S上给定电位 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。,说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解。,唯一性定理的意义：,指出了静态场边值问题具有唯一解的条件,为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据,唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据,4.2 直角坐标系中的分离变量法,建立求解方程：,导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即,问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。,用分离变量法求解过程：,很明显， 为x,y的函数。则可令,代入方程得,仅为x坐标函数,仅为y坐标函数,要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令,分离常数,通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。,解常微分方程（k取值不同解形式不同）：,当k=0时：,当k0时：,由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以取一系列特定的值kn(n=1,2,3），即：,由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。,将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。,解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定。,由条件（1）,由条件（2）,由条件（3）,由条件（4）,将u在（0，a)区间展开为 傅立叶级数,所以，接地导体槽内部电位分布为,4.3 镜像法,几个实例：,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,镜像法的目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解,达到简化求解的目的.,镜像法基本思路：在求解域外的适当位置，放置虚拟电荷等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界面的存在。,镜像法原理,镜像法理论依据：唯一性定理。,由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）电位分