解非线性方程组的牛顿迭代法ppt课件.ppt

1,7.4 牛顿法,7.4.1 牛顿法及其收敛性,牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程 逐步归结为某种线性方程来求解.,设已知方程 有近似根 （假定 )，将函数 在点 展开，有,于是方程 可近似地表示为,（4.1）,这是个线性方程，记其根为 ，则 的计算公式为,2,（4.2）,这就是牛顿(Newton)法.,牛顿法的几何解释.,方程 的根 可解释为曲线 与 轴的交点的横坐标（图7-3).,设 是根 的某个近似值，过曲线 上横坐标为 的点 引切线，并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值.,图7-3,3,注意到切线方程为,这样求得的值 必满足(4.1），从而就是牛顿公式（4.2）的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.,牛顿法（4.2）的收敛性，可直接由定理4得到，对（4.2）其迭代函数为,由于,假定 是 的一个单根，即 ，则由上式知 ，于是依据定理4可以断定，牛顿法在根 的邻近是平方收敛的.,4,又因,故由（2.9）可得,（4.3）,例7 用牛顿法解方程,（4.4）,解 这里牛顿公式为,取迭代初值 ，迭代结果列于表7-5中.,5,所给方程（4.4）实际上是方程 的等价形式. 若用不动点迭代到同一精度要迭代17次，可见牛顿法的收敛速度是很快的.,牛顿法的计算步骤：,步骤1 准备 选定初始近似值 ，计算,步骤2 迭代 按公式,迭代一次，得新的近似值 ，计算,步骤3 控制 如果 满足 或 ，则终,6,止迭代，以 作为所求的根；否则转步骤4. 此处 是允许误差，而,其中 是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取 .,步骤4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数 ，或者 ，则方法失败；否则以 代替 转步骤2继续迭代.,7,7.4.2 牛顿法应用举例,对于给定的正数 ，应用牛顿法解二次方程,可导出求开方值 的计算程序,（4.5）,这种迭代公式对于任意初值 都是收敛的.,事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知,8,以上两式相除得,据此反复递推有,（4.6）,记,整理（4.6）式，得,9,对任意 ，总有 ，故由上式推知，当 时 ，即迭代过程恒收敛.,解 取初值 ，对 按（4.5）式迭代3次便得到精度为 的结果（见表7-6).,由于公式（4.5）对任意初值 均收敛，并且收敛的速度很快，因此可取确定的初值如 编成通用程序.,例8 求 .,10,7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法,牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算 及 ，计算量较大且有时 计算较困难，二是初始近似 只在根 附近才能保证收敛，如 给的不合适可能不收敛.,为克服这两个缺点，通常可用下述方法.,（1） 简化牛顿法，也称平行弦法. 其迭代公式为,（4.7）,迭代函数,若在根 附近成立 ，即取 ，则迭代法（4.7）局部收敛.,11,在（4.7）中取 ，则称为简化牛顿法，这类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与 轴交点作为 的近似. 如图7-4所示.,图7-4,12,（2） 牛顿下山法.,牛顿法收敛性依赖初值 的选取. 如果 偏离所求根 较远，则牛顿法可能发散.,例如，用牛顿法求方程,（4.8）,在 附近的一个根 .,设取迭代初值 ，用牛顿法公式,（4.9）,计算得,迭代3次得到的结果 有6位有效数字.,13,但如果改用 作为迭代初值，则依牛顿法公式（4.9）迭代一次得,这个结果反而比 更偏离了所求的根 .,为了防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即具有单调性：,（4.10）,满足这项要求的算法称下山法.,将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度.,将牛顿法的计算结果,14,与前一步的近似值 适当加权平均作为新的改进值,（4.11）,其中 称为下山因子，（4.11）即为,（4.12）,(4.12)称为牛顿下山法.,选择下山因子时从 开始，逐次将 减半进行试算，直到能使下降条件（4.10）成立为止.,若用此法解方程（4.8），当 时由（4.9）求得,15,，它不满足条件（4.10）.,通过 逐次取半进行试算，当 时可求得 . 此时有 ，而显然 .,由 计算 时 , 均能使条件（4.10）成立. 计算结果如下 ：,即为 的近似. 一般情况只要能使条件（4.10）成立，则可得到 ，从而使 收敛.,16,7.4.4 重根情形,设 ，整数 ，则 为方程 的 重根，此时有,只要 仍可用牛顿法（4.2）计算，此时迭代函数,的导数为,且 ，所以牛顿法求重根只是线性收敛. 若取,17,则 . 用迭代法,（4.13）,求 重根，则具有2阶收敛，但要知道 的重数 .,构造求重根的迭代法，还可令 ，若 是 的 重根，则,故 是 的单根. 对它用牛顿法，其迭代函数为,18,从而可构造迭代法,（4.14）,它是二阶收敛的.,例9 方程 的根 是二重根，用上述三种方法求根.,解 先求出三种方法的迭代公式：,（1） 牛顿法,19,（2） 用（4.13）式,（3） 用（4.14）式,取初值 ，计算结果如表7-7.,20,计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字，而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.,21,7.5 弦截法与抛物线法,用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 外还要算 ，当函数 比较复杂时，计算 往往较困难，为此可以利用已求函数值 来回避导数值 的计算.,7.5.1 弦截法,设 是 的近似根，利用 构造一次插值多项式 ，并用 的根作为新的近似根 . 由于,（5.1）,22,因此有,（5.2）,（5.2）可以看做牛顿公式,中的导数 用差商 取代的结果.,几何意义.,曲线 上横坐标为 的点分别记为 ，则弦线 的斜率等于差商值 , 其方,23,程是,因之，按（5.2)式求得的 实际上是弦线 与 轴交点的横坐标. 这种算法因此而称为弦截法.,表7-5,24,弦截法与切线法（牛顿法）都是线性化方法，但两者有本质的区别.,切线法在计算 时只用到前一步的值 ，而弦截法（5.2），在求 时要用到前面两步的结果 ，因此使用这种方法必须先给出两个开始值 .,例10 用弦截法解方程,解 设取 作为开始值，用弦截法求得的结果见表7-8，比较例7牛顿法的计算结果可以看出，弦截法的收敛速度也是相当快的.,实际上，弦截法具有超线性的收敛性.,25,定理6 假设 在根 的邻域 内具有二阶连续导数，且对任意 有 ，又初值 ，那么当邻域充分小时，弦截法（5.2）将按阶 收敛到根 . 这里 是方程 的正根.,26,7.5.2 抛物线法,设已知方程 的三个近似根 ，以这三点为节点构造二次插值多项式 ，并适当选取 的一个零点 作为新的近似根，这样确定的迭代过程称抛物线法，亦称密勒（Mller）法.,在几何上，这种方法的基本思想是用抛物线 与 轴的交点 作为所求根 的近似位置（图7-6).,图7-6,27,插值多项式,有两个零点：,（5.3）,式中,问题是该如何确定 ，假定在 三个近似根中， 更接近所求的根 ，为了保证精度，选 （5.3）中较接近 的一个值作为新的近似根 . 为此，只要取根式前的符号与 的符号相同.,28,例11 用抛物线法求解方程,解 设用表7-8的前三个值,作为开始值，计算得,故,代入（5.3）式求得,29,以上计算表明，抛物线法比弦截法收敛得更快.,在一定条件下可以证明，对于抛物线法，迭代误差有下列渐近关系式,可见抛物线法也是超线性收敛的，其收敛的阶 ,收敛速度比弦截法更接近于牛顿法.,从（5.3）看到，即使 均为实数， 也可以是复数，所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根.,30,7.6 解非线性方程组的牛顿迭代法,考虑方程组,（6.1）,其中 均为 的多元函数.,用向量记号记 , (6.1）就可写成,（6.2）,当 ，且 中至少有一个是自变量,31,的非线性函数时，称方程组（6.1）为非线性方程组.,非线性方程组求根问题是前面介绍的方程（即 ）求根的直接推广，只要把前面介绍的单变量函数 看成向量函数 则可将单变量方程求根方法推广到方程组（6.2）.,若已给出方程（6.2）的一个近似根 ，将函数 的分量 在 用多元函数泰勒展开，并取其线性部分，则可表示为,令上式右端为零，得到线性方程组,（6.3）,32,其中,（6.4）,称为 的雅可比(Jacobi)矩阵.,求解线性方程组（6.3），并记解为 ，则得,（6.5）,这就是解非线性方程组（6.2）的牛顿迭代法.,33,例12 求解方程组,给定初值 , 用牛顿法求解.,解 先求雅可比矩阵,由牛顿法（6.5）得,34,即,由 逐次迭代得到,的每一位都是有效数字.,