自动控制原理第五章：频域分析法ppt课件.ppt

第五章频域分析法,教学目的,频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的性能。,通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控制系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率稳定判据和频域指标的估算。,教学重点,1、振荡环节的频率特性曲线2、开环幅相曲线绘制3、开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念,教学内容,1、频率特性的概念2、典型环节频率特性3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念6、闭环系统的频域指标,要求与学时,1、掌握频域分析的基本概念，分析方法2、绘制开环频率特性，重点是绘制开环对数频率特性3、频率稳定判据，重点是用对数频率特性图（Bode图）分析系统的稳定性。4、稳定裕度与系统稳定性能的关系5、闭环系统的频域指标6、学时：12学时,第五章第一次课,一、频域分析的概念：掌握如下几种曲线的绘制和意义幅频曲线图、相频曲线图、幅相曲线图、对数频率特性图（Bode图）。二、认识典型环节及开环频率特性曲线：幅相曲线、对数频率特性曲线。三、重点：振荡环节频率特性作业题：52、54、55思考题：57,第五章第二次课,一、开环幅相曲线绘制概略绘制开环幅相曲线的三个要素：1.=0+和；2.幅相曲线与实轴的交点；3.幅相曲线的走向二、含积分环节的幅相曲线的绘制三、开环对数频率特性的绘制作业：59、510,第五章第三次课,一、继续讲开环对数频率特性绘制方法二、最小相位系统与传递函数关系作业：511（1）（3）、512 b c,第五章第四次课,一、频域稳定判据1.奈奎斯特判据基础2.幅角原理3.奈奎斯特判据4.正穿越、负穿越的含义作业：513、514（1）（3）（5）（7）（9）,第五章第五次课,一、对数频率稳定判据1.对数频率曲线与奈奎斯特曲线的对应关系2.在Bode图中，所谓的正穿越、负穿越的含义二、稳定裕度1.幅值裕度h 2.相角裕度作业题：517、519思考题：518,第五章第六次课,一、闭环系统的频域指标1.尼科尔斯图线2.闭环系统频域指标与时域指标的转换二、本章小结作业：522、525,第五章 频率频域分析法,频率响应法是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法，与上一章介绍的根轨迹法一样，它也是一种工程方法。,能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应；还能判别某些环节或参数对系统性能的影响。,可以对基于物理模型的系统性能进行分析；还可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。,不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。,研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。,第一节 频率特性,二 由实验方法求频率特性,系统的幅频特性：,系统的相频特性：,5-2频率特性,以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。,取拉氏变换，求网络的传递函数,如果输入为正弦量：,由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以为角频率的正弦量。,在传递函数中G(s)中，只要令s=j，则可由式得到式。,5-2频率特性,控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。,频率特性的概念,设系统结构如图，,由劳斯判据知系统稳定。,给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲线如下:,给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。,5-2频率特性,频率特性定义：线性系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率关系的特性。 由定义可知，只有系统在稳态时，才可能测出频率特性；对不稳定的系统，频率特性是观察不到的。 由于G(s)是个复数，可分别求出其幅值和相角关系。,它们都是角频率的函数，分别称为幅频特性和相频特性。,52频率特性,极坐标图示法是频率特性法分析中常采用的一种图解法。,当输入信号的频率由0-变化时，向量G(j)的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动而形成的轨迹，称为极坐标图，又称为G(j)的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。,5-2频率特性,分别画出幅频特性A()和相频特性()的曲线。 =0 A()=1 ()=0 = A()=0 ()=90 =1/T A()= 0.707 ()=45,频率特性,频率特性也称频率响应，它是指系统或部件对不同频率的正弦输入信号的稳态响应特性。,一 由传递函数求系统的频率响应,频率特性,对应的幅值和相角：,同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。,若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。,频率特性的几何表示法,频率特性的几何表示法有：1、幅频、相频特性曲线；2、幅相曲线；3、对数频率特性曲线（对数幅频、对数相频曲线）；4、对数幅相曲线（Nichols曲线)一、幅频、相频特性曲线，前已介绍过，即以角频率为变量，分别作出A()()曲线。,频率特性的几何表示法,二、幅相曲线，以为参变量，将幅频、相频特性同时表示在复数平面上。实轴正方向为相角零度线。逆时针方向的角度为正角度；顺时针方向的角度为负角度。对于一个确定的值，必定有一个确定的幅值、相角与其对应。如： 0A()=1 ()=0= A()=0 ()=90,幅相曲线反映了从0 幅值和相角变化的情况。,习题1,解：传递函数零、极点的分布如图所示。,令s=j2,代入不同的频率值，重复上述的计算，就可求得对应的一组|G(j)|和(j)值。,习 题1,幅度,相角,G=tf(10*1,1,1,4,20);X=;Y=;w=logspace(-1,1,100);x,y,w=bode(G);,习题2,例试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：,解：该开环系统由三个典型环节串联组成，它们的幅、相频率特性分别为：,因而开环系统的幅频特性，相频特性：,习题2,在MATLAB中，有专门的函数用于绘制开环系统的极坐标图：Nyquist。,g=tf(10,conv(1,1,0.1,1)Transfer function: 10-0.1 s2 + 1.1 s + 1nyquist(g),频率特性的几何表示法,频率特性的另一种图示法：对数坐标图。它不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。,由对数幅频特性图和相频图两部分组成。对数幅频特性图的纵坐标为20lg|G(j)|，单位是分贝，用符号dB表示，常把用符号L()表示。相频图的纵坐标为()，单位是弧度或()。两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角频率，常用lg分度，从而形成了半对数坐标系。,3.对数频率特性,频率特性的几何表示法,横坐标采用lg的对数坐标分度对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图或Bode图。,与lg 的关系： 12345678910lg 00.30100.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541,对数坐标系,对数坐标图,对数频率特性曲线,对数频率特性曲线,对数幅频、相频特性曲线的优点：1、在有限的坐标区域内表示广阔的频率范围2、将幅值的乘除运算化为加减运算，如：,53典型环节和开环系统频率特性,典型环节：一个复杂的系统总可以分解成几个典型环节的组合。典型环节分为两大类：1、最小相位环节：系统开环零、极点在左半s平面2、非最小相位环节：系统在右半s平面存在零、极点,53典型环节和开环系统频率特性,一、比例环节,幅相曲线是实轴上坐标k点，如右图,对数幅频、相频特性如右图：,53典型环节和开环系统频率特性,二、积分环节,幅频特性与成反比，相频特性恒为90,对数幅频：L()=20lg 相频特性:()=90, =1L()=0 ； =10L()=20 =100L()=40 =0.1L()=20,每当增加十倍， L()减少20dB负20分贝十倍频程20dB/ dec,53典型环节和开环系统频率特性,如果传递函数中含有个积分环节，即 ，则它的对数幅频和相频表达式可分别写成,由此可知是一簇斜率为-20dB/dec的直线，且在=1处，L()=20lgK，如图所示。这些不同斜率的直线通过0dB直线的频率为 。,积分环节L(),-20,-20,-20,53典型环节和开环系统频率特性,三、微分环节,幅频特性与成正比，相频特性恒为90,对数幅频：L()=20lg 相频特性:()=90, =1L()=0 ； =10L()=20 =100L()=40 =0.1L()=20,微分环节是一条20dB/dec直线,+20,+20,+20,微分环节L(),53典型环节和开环系统频率特性,四、惯性环节,可以证明，惯性环节的幅相曲线是以（0.5，j0)为圆心，0.5为半径的半圆。,分析幅相特性，当0时，幅值最大，|G(j )|=1，因此输入信号无衰减，Ue(j )=Ui (j )；当时，幅值最小， |G(j )|=0。,所以，惯性环节在低频范围内，信号容易通过，在高频范围内信号不容易通过。因此，它又称为“低通滤波器”，其最大滞后相角,53典型环节和开环系统频率特性,对数幅频特性、频特性：,精确画出L()曲线，是取从零到无穷时，计算出L()，但工程上常用简便方法作图，而不急于代入数字逐点计算。,先分析曲线的大致趋向：1、当T1时，即： 1/T，,这是一条与横轴重合的直线。,2、当T 1时，即 1/T，,每当增加十倍时，L()减小20分贝,所以，当频率很高时，对数幅频特性可用斜率为20dB/dec的直线近似表示。,53典型环节和开环系统频率特性,3、当T 1，即： 1/T时，,综上所述，惯性环节的对数幅频特性右用二条直线近似表示，在01/T的低频范围内，L()是一条0分贝直线；在1/T 的高频范围内， L()是一条20dB/dec直线；两条直线交于 t1处， 1/T称为交接频率。,交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。,惯性环节G(j),() = -tg-10.5 ,0,1,-14.5,0.97,-26.6,0.89,-45,0.71,-63.4-68.2 -76 -84,0.450.370.240.05,惯性环节L(),-20,-20,26dB,53典型环节和开环系统频率特性,五、振荡环节,二阶系统当01时，系统是衰减振荡,幅频特性,53典型环节和开环系统频率特性,幅频特性,相频特性,当0：|G(j 0 )|=1当： |G(j )|=0,53典型环节和开环系统频率特性,所以，振荡环节的幅相特性在复平面中以(1，j0)为起点，当时， A( )=|G(j )| 0,当=n (无阻尼自然振荡频率）时，,幅值：,相角：,幅值随减小而增大，当小于某个值时，其幅值可能大于1，幅频特性出现谐振峰值Mr，谐振峰值对应的频率称为谐振频率r。,53典型环节和开环系统频率特性,通过求幅值A()对的导数，可求出谐振频率和谐振峰值。,谐振频率：,谐振峰值：,振荡环节G(j)曲线,（Nyquist曲线）,53典型环节和开环系统频率特性,振荡环节的对数幅频特性,所以，L()-20lg1=0 因此，低频段特性是零分贝线。,每当增加十倍时， L()减小40分贝，所以高频段是一条斜率为40dB/dec直线。,53典型环节和开环系统频率特性,综上所述，振荡环节的对数幅频特性可以用二条直线近似表示在0 n的高频段范围内， L()是一条40dB/dec直线。,这二条直线可表示为：,振荡环节L(),-40,振荡环节再分析,n,r,(0 0.707),-40,2,n,n,2,2,n,S,2,S,k,(s),G,w,+,xw,+,w,=,53典型环节和开环系统频率特性,六时滞环节,Re,图511 时滞环节与一阶惯性环节在低频段的等效性,在低频区，时滞环节 和惯性环节的频率特性 很接近，因为：,53典型环节和开环系统频率特性,六时滞环节对数频率特性,53典型环节和开环系统频率特性,六、关于一阶微分环节，二阶微分环节由于一阶微分环节和惯性环节，振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数，G1(s)=1/ G2(s),所以，一阶微分环节和惯性环节，振荡环节和二阶微分环节的对数幅频曲线关于0dB线对称；相频曲线关于0线对称。,53典型环节和开环系统频率特性,七、关于最小相位环节与非最小相位环节最小相位环节与非最小相位环节，它们的幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称。它们的对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0线对称。大家可以按前面所讲的方法求证。,53典型环节和开环系统频率特性,八、关于对数幅频特性近似作图的误差在工程中为了简化作图，常用低频和高频段的渐近线近似表示对数幅频曲线，它们与精确曲线存在一定的误差。如：惯性环节，近似作图在T=1处，L()=0，而根据精确作图，,二者存在误差：,T 0.1 0.25 0.5 1 2 4 10L() -0.04 -0.32 -1 -3 -1 -0.32 -0.04,误差表如下：,53典型环节和开环系统频率特性,一阶惯性环节对数幅频特性能用其两条渐近线近似表示，则将使作图大为简化。但这两种表示方法会产生一定的误差，最大的幅值误差产生在转折频率处。,由于渐近线易于绘制，且与精确曲线之间的误差较小，所以在初步设计时，环节的对数幅频曲线可用其渐近线表示。如果需要绘制其精确的对数幅频曲线，可按照图修正。,对数幅频特性表明该环节具有低通滤波器的特性。如果系统的输入信号中含有多种频率的谐波分量，那么在稳态时，系统的输出只能复现输入信号中的低频分量，其它高频分量的幅值将受到不同程度的衰减，频率越高的信号，其幅值的衰减量也越大。,相频特性的绘制一般不用近似法，但也可用一些特殊点进行粗略绘制，然后逐点连接成曲线即可。,53典型环节和开环系统频率特性,二阶振荡环节的对数幅频特、渐近线,相角曲线,振荡环节的对数幅频曲线、相频曲线与值的大小有关，所以，精确曲线与近似曲线之间的误差比较复杂。见下图,53典型环节和开环系统频率特性,九、关于对数坐标系中的直线方程对于近似作图，对数幅频曲线是用直线近似，则直线方程为：,式中，1，L(1)，2，L(2)为直线上两点，k(dB/dec)为直线斜率。,开环幅相曲线绘制,系统的开环幅相特性有三种方法绘制：1.可按开环传递函数的极点零点分布图用图解方法计算绘制。根据零、极点分布，取不同的值，分别计算出幅值和相角。,开环幅相曲线绘制,2.列出开环幅频特性、相频特性的表达式，用解析法计算出幅值和相角各点的值，再绘图。3.概略绘制开环幅相曲线方法（着重介绍）概略绘制开环幅相曲线有三个要素：a.确定幅相曲线的起点(=0)和终点(=)b.确定幅相曲线与实轴的交点，设= x时，幅相曲线与实轴相交，则有：,求出x值后，代入实部表达式ReG(j x)H(j x)得到实轴的交点。c.判断开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）,开环幅相曲线绘制,例：51概略绘制0型系统幅相曲线,系统由一个比例环节、二个惯性环节组成。,1.确定开环幅相曲线的起点和终点,开环幅相曲线绘制,2.确定开环幅相曲线与实轴的交点,令虚部j(T1+T2)x=0 求得： x=0,说明系统的开环幅相曲线仅在x=0 处与实轴有交点。,3.由于惯性环节单调地从0-90,因为该系统有二个惯性环节，所以曲线变化范围为第四、第三象限( -180)。,开环幅相曲线绘制,综上所述，概略绘制幅相曲线的步骤为：1.零型系统在=0时的幅值恰好是开环传递系统k。2.本例中是由两个惯性环节组成，因为惯性环节当=时，幅相曲线趋于0-90。所以本例中当=时，幅相曲线趋于02(-90)= 0-180。推而广之，若系统包含n个惯性环节，则=时，幅相曲线必然趋向于0n(-90)。3.如果系统还包含一阶微分环节(TS1)，因为时，一阶微分环节相频特性从0 90，所以，总的相频特性有如下特点：G(j )=(m-n) 90,m：一阶微分环节个数；n：惯性环节个数。,开环幅相曲线绘制,例：52，绘制型系统幅相曲线,系统由比例、积分和二个惯性环节组成,由频率特性,开环幅相曲线绘制,幅相曲线在起点处的幅值,与实轴的交点,开环幅相曲线绘制,综上所述，在=0处，型系统的幅相曲线从-k(T1+T2)，处起。,ReG(j0)=-k(T1+T2)为系统的低频渐近线,由于系统分析时不需要准确知道渐近线的位置，故一般根据取渐线为坐标轴，如曲线,型系统的幅相特性从负虚轴方向无穷处地开始。高型号的幅相特性见P199图520,因此，根据G(j )的幅相曲线的起始位置可以判断系统的类型。,第二节 极坐标图,开环对数频率特性曲线,因为开环系统传递函数可以看成由若干个典型环节串联组成。,所以，其对数幅频特性,相频特性,开环系统的伯德图,第三节 对数坐标图,比较开环系统的极坐标方法，用伯德图表示的频率特性有如下优点：,（1）把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。 （2）在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化了图形的绘制。 （3）在采用实验方法时，可将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对数坐标纸上。,第三节 对数坐标图,一般绘制开环系统伯德图的步骤如下：,（1）写出开环频率特性的表达式，将其写成典型环节相乘的形式。,（2）将所含各环节的转折频率由小到大依次排列。如果存在比例环节和积分环节，由于它们没有转折频率，可以排在最左边。,第三节 对数坐标图,（3）绘制开环对数幅频曲线的渐近线。,a)确定低频段上积分环节和比例环节的渐近线，其低频段的斜率为-20dB/dec，其中为积分环节数。,b)在=1处，L()=20lgK。,c)沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率。,第三节 对数坐标图,解：（1）系统的开环频率特性为,该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。,幅频特性,相频特性,第三节 对数坐标图,（2）系统的转折频率分别为2和10。,（3）作出该系统对数幅频特性曲线的渐近线。,在低频段，由于1，因而渐近线的斜率为20dB/dec。在1处，其幅值为20lg10=20dB。当2时，由于惯性环节对信号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率-20dB/dec变为-40dB/dec。同理，当10时，由于微分环节对信号幅值的提升作用，使分段直线的斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec。,（4）对幅频特性曲线进行修正。,（5）作系统相频特性曲线，可先求14，然后叠加。,第三节 对数坐标图,开环对数频率特性曲线,例：某系统的开环传递函数,绘制近似近似对数幅频曲线，相频曲线。,解：该系统由三个典型环节组成，比例环节：7；积分环节：1/S；惯性环节：1/(0.087S+1),所以对数幅频特性：,对数相频特性：,分析对数幅频曲线：,是一条直线,是一条20dB/dec直线，在=1处穿越0dB线,开环对数频率特性曲线,交接频率：=1/T=1/0.087=11.5(rad/s),当11.5时，L3( )=0当11.5时， L3( )为20dB/dec直线,分别作出L1()、L2()、L3()，然后把三条曲线叠加起来。, 11.5时，惯性环节为0dB值，所以只有L1()和L2()相加。L () L1()L2()16.920lg ,当1时， L (1)16.9(dB)，过(1，16.9)作一条 -20dB/dec直线，当11.5时， 再与L3()叠加，得到 -40dB/dec直线。,开环对数幅频曲线, L1(s)=7,开环对数频率特性曲线,由上述作图曲线，在开环对数频率特性近似作图时，可以以交按频率为界，将曲线分段为：,20dB/dec直线,40dB/dec直线,开环对数频率特性曲线,近似对数幅频曲线作图讨论：1.最左端直线的斜率为:20dB/dec，这一斜率完全，由G(s)的积分环节数决定，型系统（一个积分环节）为20dB/dec 型系统（二个积分环节）为40dB/dec 型系统为20 dB/dec 提问：0型系统的最左端直线的斜率是多少？2.最左端（低频段）直线与零分贝线的交点处的频率数值上恰好等于k，证明：,开环对数频率特性曲线,3.在1时，曲线的分贝值等于20lgk=20lg7，证明：,4.在惯性环节的交接频率=11.5rad/s处，曲线斜率从20dB/dec变化为40dB/dec。,开环对数频率特性曲线,由以上讨论，可以推出，画近似对数幅频特性曲线有如下特点：,1.对任意的开环传递函数，按典型环节分解成：,2.将各环节的交接频率标注在对数坐标图的横轴上,3.记min为最小交接频率， min的频率范围为低频段,4.低频段直线的斜率为20dB/dec， 是积分环节个数，,开环对数频率特性曲线,5.为确定低频段直线，可取1则低频段直线或其延长线(在1的频率范围内有交接频率)的分贝值是20lgk；,低频段直线或其延长线与横坐标交点频率数值上等于,证明：传递函数可以写成,式中，G0(s)是G (s)中除比例和积分两种环节外的其余部分。,当G0(s)的交接频率大于对数幅频曲线与横轴相交的频率 时， ，则：20lg|G0(s)|0,开环对数频率特性曲线,当频率为时，对数幅频特性曲线穿越横坐标时，L()=0,所以，低频段的对数幅频特性由下式决定：,开环对数频率特性曲线,如果 ，由近似对数幅频特性的作法，则曲线经过时，其斜率要改变一次，在这种情况下，则是低频段直线的延长线与0分贝线交点频率满足,开环对数频率特性曲线,6.在交接频率处，曲线的斜率改变多少取决于典型环节种类，如：在惯性环节后，斜率减少20dB/dec，振荡环节后减少40dB/dec。,提问：在一阶微分环节，二阶微分环节后近似对数频率特性的斜率如何改变？,根据开环对数幅频特性确定传递函数,在对数频率特性图上，如果最小相位系统和非最小相位系统的幅值特性相同，那么最小相位系统的相角变化范围比非最小相位系统小，而且最小相位系统的对数幅频特性曲线的变化趋势和其相频曲线的变化趋势是一致的。即对数幅频曲线的斜率减小时其相角变化也减小。因此，最小相位系统的对数幅频、相频特性之间有确定的关系。所以，利用对数频率特性分析最小相位系统时，可以根据对数幅频曲线来确定系统的传递函数。,根据开环对数幅频特性确定传递函数,如何根据对数频率特性来判断最小相位系统？设最小相位系统与非最小相位系统的传递函数分子、分母的最高次幂分别是：m和n，当时，两个系统的对数幅频特性斜率都是20(nm)dB/dec，但相频曲线却不同。对于最小相位系统， 时，而对于非最小相位系统，则不满足上关系。,54频率稳定判据,在频域分析中，稳定判据有二种，Niquest判据和对数频率稳定判据。 Niquest判据是根据开环幅相曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。 对数频率稳定性判据是根据开环系统的对数频率特性曲线判断闭环系统稳定性。,54频率稳定判据,回顾几种稳定判据： 1.劳期霍尔维茨判据，依据闭环系统的特征方程判断系统的稳定性。 2.根轨迹法，依据开环传递函数，研究系统的稳定性。 3.频率稳定判据的特点： a.当系统的开环传递函数表达式不知道时，就无法用劳期霍尔维茨判据或根轨迹法来判断系统的稳定性，而用频率判据就很方便，因为开环系统的幅相频率特性和对数频率特性可通过实验求得。 b.便于研究系统参数和结构变化对稳定性的影响。,一、Niquest判据的数学基础,设，系统结构图和传递函数为：,如果G(s)和H(s)无零、极点对消，则开环传递函数为：,闭环传递函数：,式中:,是闭环传递函数的特征多项式,Niquest判据是从研究闭环传递函数特征式与开环传递函数特征式之比的关系入手，寻找规律。,一、Niquest判据的数学基础,设辅助函数：,因为在实际系统中，开环传递函数分子的最高次幂必定小于分母的最高次幂。即： M1(s)的最高次幂小于N1(s)的最高次幂 M2(s)的最高次幂小于N2(s)的最高次幂 所以，F(s)的分子的最高次幂与分母的最高次幂相同(都含有N1(s) N2(s)。,一、Niquest判据的数学基础,如果将F(s)的分子和分母进行分解，则：,式中，zi、pi 分别为辅助函数F(s)的零点和极点。,一、Niquest判据的数学基础,小结辅助函数F(s)的特点：,3. F(s)的零点、极点个数相同。,4. F(s)与开环传递函数G(s)H(s)只差常数1，F(s)=1+ G(s)H(s),奈奎斯特稳定判据幅角原理,由复数函数映射的概念F(s)的变量s是复数：s=+j，则F(s)是复变函数。,如果s平面上的点表示自变量s的值，而用另一个平面F(s)上的点表示函数F(s)的值，那么， F(s)在几何上就可以视为是把s平面上的一个点集G，变到F(s)平面上的一个点集G的射。,所以，当s值发生变化时，F(s)也将发生变化，因为F(s)是复变函数，变化包括幅值和相角的变化。,奈奎斯特稳定判据幅角原理,设在s平面上任选一点，绕F(s)的某一个零点zi顺时针沿闭合曲线Cs(Cs不包围也不通过任何极点和其他零点)转一周。,相应地F(s)在F(s)平面上绘出一条封闭曲线CF。 CF相角变化是 F(s),奈奎斯特稳定判据幅角原理,由于Cs绕zi顺时针一圈，所以(szi)=2，而其他零、极点的角度变化为零。,上式分析表明，当一个质点在s平面上绕某个零点zi顺时针转一圈，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转一圈；同理，在一个质点在s平面上绕某个极点pi顺时针转一圈， F(s)曲线绕原点逆时针转一圈。,奈奎斯特稳定判据幅角原理,若在s平面上的闭合曲线按顺时针方向运动，在平面上的有对应的映射曲线，其运动方向取决于复变函数的相角变化。,从研究系统的稳定性出发，我们关心的是映射曲线的否包围平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数，而非它的具体形状。,奈奎斯特稳定判据幅角原理,辐角原理对于解析函数F(s)，如果s平面上的闭合曲线Cs不经过F(s)的任何极点和零点，以顺时针方向包围F(s)的Z个零点和P个极点，且则其在F(s)平面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。当N=0，表示曲线CF不包围坐标原点；当N0，表示曲线CF以顺时针方向包围坐标原点；当N0，表示曲线CF以逆时针方向包围坐标原点。,奈奎斯特稳定判据,二 奈奎斯特稳定判据,考虑到辐角定理中特征函数F(s)在右半s平面上的P个开环极点和Z个闭环极点，可将s平面上的闭合曲线Cs取为包围s的整个右半平面。这一闭合曲线称为奈奎斯特轨线。,当在虚轴上当和s沿无穷大半圆运动时，s，因为一般实际系统中的开环传递函数G(s)H(s)的nm，故有 或 常数 （n=m）,F(s)平面上的映射曲线CF是否包围坐标原点，只取决于奈氏轨线中C1部分的映射，即由轴的映射曲线来表征。,奈奎斯特稳定判据,由于辅助函数F(s)1G(s)H(s)，与开环传递函数G(s)H(s)只差常数1。,如果把F(s)平面中虚轴向右移动一个单位，就变成了G(s)H(s)平面的虚轴，于是把F(s)平面转化成为G(s)H(s)平面。,F(s)平面的原点转化成为G(s)H(s)平面的(1，j0)点，称为临界点,那么CF曲线在F(s)平面上绕原点转过的圈数N，就转化成开环传递函数G(s)H(s)曲线在G(s)H(s)平面上绕临界点(1，j0)转过的圈数。,奈奎斯特稳定判据,奈奎斯特稳定判据：,(1) 如果开环系统是稳定的，即P0，则闭环系统稳定的充要条件G(j)H(j)是曲线不包围（1，j0）点。,(2) 如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是G(j)H(j)曲线按逆时针方向围绕（1，j0）点旋转P周。 N=P-Z,奈奎斯特稳定判据,应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性的具体步骤为：,（1）作出开环系统的奈氏曲线G(j)H(j)。,（2）计算奈氏曲线G(j)H(j)对点（1，j0）按顺时针方向的包围圈数N。,（3）确定开环系统是否稳定，若不稳定，则确定开环系统在右半s平面上的极点数P。,（4）根据辐角原理确定Z是否为零。 Z=P-N 如果Z0，表示.闭环系统稳定；反之，Z0，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面上的个数。,奈奎斯特稳定判据,用奈奎斯特判据判断反馈系统稳定时，一般只绘制从0 时的开环幅相曲线，然后按其包围临界点圈数N（反时针方向包围时N为正，顺时针方向包围时N为负）和开环传递函数在右半s平面上的极点数p，根据公式Z=P2N，确定闭环特征方程的正实部根的个数。如果Z等于零，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。,奈奎斯特稳定判据,幅相曲线包围（1，j0）点，也可以根据从0时，幅相曲线自下向上或自上向下穿越实轴（ ，1）的次数决定。,定义：,正穿越：随增加，开环幅相曲线在( ，1)区间自上向下穿越负实轴为正穿越。记为N,半次正穿越：从实轴区间( ，1)开始向下，称为半次正穿越。,类似地还有负穿越，半次负穿越N，则：N=N+N,3、对数频率稳定判据,对数频率稳定判据和奈奎期特判据本质相同，只不过对数频率稳定判据是按对数幅频、相频曲线的相互关系来确定公式：Z=P2N中的N值。,先看看幅相曲线与对对数幅频、相频曲线之间的对应关系：,设幅相曲线在=c时穿越临界点， c称为截止频率。,在临界点,对应的对数幅频特性,在幅相曲线A()1处穿越负实轴，由于负实轴对应的相角是-180，则对应于对数幅频特性在L()0时，对数相频特性穿越-180线。,3、对数频率稳定判据,所以，正、负穿越数完全可以根据对数幅频曲线在大于0dB的频率范围内，对数相频曲线穿越180线的次数确定。,(1）GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图上的0dB线相对应，单位圆的外部对应于L()0dB，单位圆的内部对应于L()0dB 。,(2）GH平面上的负实轴与对数坐标图上的=-180线相对应。,3、对数频率稳定判据,如果开环系统包含积分环节时，在幅相曲线上从G(j0+)H (j0+)起逆时针补作一条90圆弧。,对应的，在对数相频图上，从较小 ( 0+)且L()0的地方，向上补作一条90的虚线。,如果开环系统包含等幅振荡环节，则需要从对数相频特性曲线 ( 0-)处向上补作一条180的虚线至 ( 0),3、对数频率稳定判据,对数频率稳定判据：一个反馈控制系统其闭环特征方程正实部根的个数z，可以根据开环传递函数在右半s平面极点数p 和开环幅特性为正值(L ()0)的所有频率范围内，对数相频曲线与180线的正、负穿越次数之差NN+N来确定。Z=P2N，当Z=0时，闭环系统稳定，否则系统不稳定。,3、对数频率稳定判据,例：一反馈系统，其开环传递函数,用对数频率稳,定判据判断系统稳定性。,L(),解：作对数幅频和相频曲线，如图,由于G(s)H(s)有二个积分环节，所以在对数相频曲线很小处补画一条0180的虚线作为对数相频曲线的一部分。,3、对数频率稳定判据,由对数相频特性：,由开环传递函数：,所以，在右半s平面无开环极点p=0,所以系统不稳定，且闭环系统特征方程在右半s平面有二个根。,55稳定裕度幅值裕度,当幅相曲线穿过(1，j0)临界点时，闭环系统临界稳定，而幅相曲线相对于临界点的位置，反映了系统的相对稳定性。曲线离临界点越远，系统的相对稳定性就越好。,稳定裕度用二个指标衡量：相角裕度，幅值裕度h,对于开环稳定的系统，要求闭环系统G(j)H(j)有一定的稳定性，不仅要求的幅频特性不包围（1，j0）点，而且应与该点有一定的距离，即有一定的稳定裕量。,稳定裕度,若z=p-2N中p=0,则G(j)过(-1,j0)点时，,系统临界稳定，见下图：,G(j)曲线过(-1,j0)点时，,同时成立！,特点：, G(j) = -180o,稳定裕度,1、稳定裕度h的定义：在幅相曲线上，相角为180时对应的幅值的倒数。,幅值裕度h的含义：对于闭环稳定系，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统就处于临界稳定状态。,即：h|G(jx)H (jx)|=1时，曲线经过(1，j0)点。,稳定裕度,如果开环曲线在(1，j0)之间多次穿越负实轴，那么应用最接近(1，j0) 点的那个穿越点计算幅值裕度|G(-1，j0)H(-1，j0)|。,55稳定裕度相角裕度,仅有幅值裕度h还不足以表示所有系统和稳定程度，如图，曲线A、B具有相同的幅值裕度，但曲线A代表的系统比曲线B代表的系统的稳定裕度要好，引入相角裕度能说明这一点。,55稳定裕度相角裕度,相角裕度的含义：使系统达到临界稳定尚可增加的滞后相角。,相角裕度定义为：180加上开环幅相曲线幅值为1时的相角。 = 180+G(jc)H (jc) c：截止频率,相角裕度的确定，在幅相曲线图上作一个单位圆，幅相曲线与单位圆交点即为幅相曲线幅值为1的点，该交点与坐标原点连线组成的角即为。,55稳定裕度相角裕度,如果幅相曲线在第三象限内与单位圆相交多次，那么应用最接近负实轴的那个交点计算值。,由相角裕度的定义，当开环传递函数在右半s平面无极点p=0，若0系统稳定(说明幅相曲线不包围临界点)；若0则系统不稳定。为什么？,因为0说明G(jc)H (jc)小于-180，幅相曲线以(-，-1)之间有一次负穿越，N-=1，则N=1，Z=P2N=2，所以系统不稳定。,55稳定裕度,幅值裕度h和相角裕度也可以从对数幅频、相频曲线求得。开环幅相频率特性与对数幅频、相频曲线有如下对应关系：1.幅相曲线图上以原点为圆心的单位圆，对应于对数幅频特性图上的零分贝线。 |G (jc)H (jc)|1时，20lg |G (jc)H (jc)|=0,2.幅相曲线幅值大于1，即曲线单位圆外，在Bode图上表示正的分贝值；幅相曲线幅值小于1，即曲线单位圆内，在Bode图上表示负的分贝值。所以幅相曲线穿越单位圆，对应对数幅频曲线穿越0dB线。,3.幅相曲线图上的负实轴对应-180，对应对数相频图上为-180线，所以幅相曲线穿越负实轴，对应于对数相频特性穿越-180线。,55稳定裕度,1.对数幅频曲线穿越0分贝线时的相角小于-180，则系统不稳定。,根据以上对应关系，可以在对数坐标图上判别最小相位系统的稳定性和确定其稳定裕度的方法。,55稳定裕度,2.对数幅频曲线穿越0分贝线时，相角大于-180，则系统稳定。,55稳定裕度,3.对数相频特性穿越-180时，对数幅值为正L()0，则系统不稳定。,55稳定裕度,4.相角曲线穿越-180线时，L()0，则系统稳定，此时的对数值即为幅值裕度h的分贝值。,55稳定裕度,幅值裕度h，相角裕度在对数特性图上和幅相曲线图上分别表示如下图：,55稳定裕度,例：单位反馈系统开环幅相曲线如图(k=10,p=0,=1)，试确定系统闭环稳定时k值的范围。,解：开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为1、2、3。,设：开环传递函数为,G1(s)为不含比例、积分、微分以外的其他典型环节,频率特性：,55稳定裕度,当k=10时，由曲线图,设：曲线在临界点的比例系数为ki，=i；即,55稳定裕度,比较(1)式和(2)式得：,求得：k1=5； k2=20/3； k3=20,0kk1,K1kk2,K2kk3,Kk3,那个系统稳定？(1)、(3)、为什么？,56闭环系统的频域指标,控制系统中最直接的性能指标是时域指标。但频域分析法中涉及到的一些重要特征值，如开环频率特中的相位裕量、增益裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等与控制系统的瞬态响应和稳态误差存在着间接或直接的关系。,56闭环系统的频域指标,1.控制系统的频带宽度：设系统闭环频率特性如下图，当闭环幅频特性下降到频率为0时的分贝值以下3分贝时，对应的频率称为带宽频率，记为b。,系统的频带宽度反映了系统复现输入信号的能力，具有宽的带宽的系统，其瞬态响应的速度快，调整的时间小。,闭环频