第006章 连续系统的振动ppt课件.ppt

第6章 连续系统的振动6.1 一维波动方程6.2 梁的弯曲振动6.3 假设模态法6.4 模态法综合法6.5 有限元法6.6 梁弯曲振动的一些特殊影响因素,第6章 连续系统的振动,可以用有限个自由度精确描述的系统称为集中参数系统或离散系统，前面几章学习的都是这种系统，其力学模型由一些具有单一力学特性的元件（集中参数元件）构成，如质点、刚性质量、纯弹性件和阻尼器等，有很多实际系统近似为集中参数系统。但大部分实际系统，理论上说不能用有限个自由度精确描述其力学行为，比如一根梁就是如此；其力学模型只能用一些场参数来描述，如几何形状、温度分布、质量分布、杨氏模量等，其力学行为也只能用一些场参数来描述，如位移场、速度场等，因此这类系统称为分布参数系统或连续系统。本章以一维分布参数系统为例，介绍振动分析的一些解析方法以及近似分析方法（即用一个集中参数系统来近似替代）。,6.1 一维波动方程 1. 动力学方程,（1）杆的纵向振动,如图，如果杆中各质点的振动方向平行于杆的轴线，称杆作纵向振动。只研究细长杆，可假设振动中杆横截面保持为平面。,(6.1),设杆横截面的运动位移为u(x, t),取杆微元dx，分析如下：,（2）直弦的横向振动（微振动） 研究张紧直弦的振动，设弦的横向挠度为y(x, t)，忽略振动中张力和长度变化。取如图6.2弦微元dx，分析如下：,形如(6.1)的方程称为一维波动方程。,(6.2),（3）轴的扭转振动只有等截面圆轴的弹性扭转符合平面假设，可以推出精确的波动方程。设轴横截面的扭转角为q (x, t)，取如图圆轴单元dx，分析如下：,(6.3),（4）杆的剪切振动设杆横截面的剪切运动位移为y (x, t)，取如图杆单元 dx，分析如下：,(6.4),2. 波动方程的模态,以上得到的一维波动方程，如方程（6.1），为二阶线性偏微分方程，可以用分离变量法求得解析解。令,方程左边是时间的函数，而右边是空间坐标的函数，因此左右边只能都等于一个常数，设为l,这是两个单变量常微分方程，第一个方程的两个基本解为,(6.5),代入（6.1），得,得两个方程的通解为,所以，波动方程度通解为,(6.6),其中D1， D2 和 A 这三个积分常数已经合并成两个常数C1， C2 。下面来讨论 (6.6) 式中的积分常数的确定问题。式中有4个积分常数，它们为,这些积分常数需要用初始条件和边界条件来确定。为此，我们重新考察波动方程,这个方程，关于时间变量 t 和空间变量 x 的导数均为二阶，因此，对时间变量积分，会出现两个积分常数，对空间变量积分也会出现两个积分常数。进而，确定这4 个积分常数，分别需要用两个初始条件和两个边界条件。 我们先来应用边界条件。比如两端简支梁，其边界条件为,由 (6.6) 式，得,(6.7a),方程（6.7a）称为系统的频率方程或特征方程。以上方程必须有非零解，否则， C1 = C2 = 0，振动恒为零，讨论就没有意义了。因此，方程左边的矩阵行列式必须为零，得频率方程为,由此可以确定参数 w。将任一个确定的 w 值代入方程（6.7a） 后，可知参数C1 、 C2 中只能确定一个，另一个可以取任何非零值（即待定）。 因此，应用边界条件后，通解（6.6）中还有两个待定常数，需要由初始条件来确定。,(6.7b),由以上讨论可知，我们也可以将时间函数 q ( t ) 和空间函数 f (x) 写为,我们顺便讨论一下无限长杆中的纵向波。由于杆为无限长，没有边界条件，因此，杆中形成的初始振动将随时间和空间无耗散地不断变化。波动方程在无限长杆中的一个解可以写为如下形式,这样，我们可以将关于u ( x，t ) 的边界条件转换为关于空间函数 f (x) 的边界条件。,举例：如图，设纵振动杆两端固定，则边界条件为,其波形如图6.5，变化过程是整个空间波形以速度a向右移动，因此参数a称为波的传播速度（波速）或相速度。因此，前面的几种物理模型中，波的传播速度为常值。,就是两端固支杆纵向振动的固有频率和振型函数（模态），而且有无穷多个。与集中参数系统一样，模态在连续系统的振动分析中也有中心的地位，所起的作用也类似。,由于横振弦、纵振杆和扭振轴有相同的波动方程，它们的运动具有相同的规律，常见边界条件下的模态如下表：,例6.1 一端固定、自由端有集中质量 m 。求杆纵振动的固有频率和模态函数。,解：固定端的边界条件是显然的，为,为了写出自由端的边界条件，参见图a。由集中质量的力平衡，可得右端边界条件为,以上第一个边界条件是由杆端的几何约束给出的，称为几何边界条件，第二个边界条件是由杆端的力平衡条件给出的，称为力边界条件。 当杆作模态振动时，有,由此，前面的两个边界条件变为,将（6.6）式代入上式，得,解：边界条件为,代入一维波动方程的通解(6.6)，得,例6.2 求图示纵振杆的模态。,因此，给一个 b 就可求出对应的固有频率 w i；而与各个w i相应的振型函数为,1.229246e+000 4.493409e+000 7.725251e+000 1.090412e+001 1.406619e+001 1.722075e+001,例6.3 一长为 l 的弦，单位长度的质量为 r，弦中张力为 T ，左端固定，右端连接于另一弹簧质量系统的质量 m 上，m 只能作上下微振动，其平衡位置即在 y = 0 处，如图所示。求此弦横向振动的频率方程。（在振动过程中，弦的张力 T 视为不变）,解：由（6.6）式，弦振动微分方程的解为,(a),其中,x = 0 处的边界条件为,由此得,参见图a，由质量 m 的力平衡，可得 x = l 处的边界条件为,由于 m 只能作微振动，所以,(b),于是，得,(c),将式（b）代入（a），再将结果代入（c），可得频率方程,或,其中,6.2 梁的弯曲振动 1. 动力学方程,本节只研究细直梁，并且不考虑梁横截面的剪切变形和绕中性轴转动惯量的影响。这样的梁理论称为Bernoulli-Euler梁理论，即垂直于中性轴的平截面在梁的弯曲过程中始终保持平面，且垂直于弯曲后的中性轴。,如图，设梁的横向位移为y(x, t)，取梁微元 dx，分析如下：,(6.8),代入(6.8)式，得控制微分方程为,(6.10),若为等截面均质梁，控制微分方程为,(6.9),顺便讨论一下无限长的梁中简谐波的传播问题。设梁中有传播的简谐波,代入(6.10)并令 f = 0，得,现在波速已不是常值，它随波动频率的增长而无穷增长（或随波数的增长而无穷增长），这显然是不符合实际的。因为当波动频率达到一定值时，梁的横向波传播速度可以超过最快的光波的波速。由此可知，Bernoulli-Euler梁模型用于梁的高频振动分析是不准确的。,2. 梁的模态,讨论等截面均质梁自由振动。振动微分方程为,我们仍然用分离变量法来解。设,(6.11),代入方程，得,所以,以上第一个方程的解为,(6.12),以上第二个方程的解设为,得到关于 l 的特征方程为,(6.13),对 (6.11)应用边界条件就得到梁的固有频率和振型函数。,例6.4 梁的一端固定，另一端自由端但有集中质量 m 。求梁横向振动的频率方程。,解：梁横向振动的通解为：,其中,(a),应用左端边界条件,右端边界条件为,将（b）式代入（a）式后，得,将（c）式代入边界条件（d）式，得,(c),方程组（e）、（f）的非零解条件，得频率方程为,例6.5 梁一端固定，另一端为弹性支承。求梁横向振动的频率方程。,解：梁横向振动的通解为：,(a),其中,应用左端边界条件,将（b）式代入（a）式后，得,右端边界条件为,(c),将方程（c）和（d）与前例（例6.4）的方程方程（c）和（d）比较可见，只要在将前例中的 m w 2 换成 k ，则两种情况的方程完全相同。因此，只需在前例的结果中将m w 2 换成 k ，就得到本例的结果。所以频率方程为,解：将梁分成两段，对各段建立如图坐标系。根据(6.13)式，两段梁的振型函数可写为,边界条件：,(a1, a2),(b1, b2),由(a1)、(b1)两式，得,例6.6 求图示连续梁横向振动的频率方程。,(c),同理，由(a2)、(b2)两式，得,(d),再应用两段梁对接处的协调条件：,(e),(f),(c) 、(d)、(e)、(f)四式是关于待定未知常数的线性方程组，写成矩阵形式为,方程必须有非零解，故有,运算后得频率方程为：,3. 模态函数的正交性,讨论正交性时，不必涉及振型函数的具体形式，所以我们按一般方程(6.9)的齐次形式来讨论。,(6.14),设(6.14)在一定的边界条件下，任意两个模态的固有频率为w i 、 w j，振型函数为f i(x)、 f j(x) ，于是由 (6.15) 有,(6.15),(6.16),(6.17),(6.18),(6.19),两个积分式相减，得,梁两端的边界条件通常为固定、铰支和自由，对这三种情况任意组合，上式右端都等于零，即,(6.20),由(3.21)和 (3.18) （或(3.19) ），并考虑以上三种边界条件，得,(6.22),(6.21),(6.21)和(6.22)就是振型函数的正交性表达式，具体说：振型函数关于梁的质量线密度正交，振型函数的二阶导数关于弯曲刚度正交。,下面考察梁的一端为特殊边界的正交性：（1）当梁的l端为弹性支承时，边界条件为,当i = j 时，(3.20)自动满足。记下列积分为,分别称为第i阶主质量（模态质量）和主刚度（模态刚度）。也可将模态正则化，正则化后的正交性表达式为,代入(6.20)和(6.19)，可得,（2）当梁的l端有附加质量时，边界条件为,代入(6.20)和(6.19)，可得,(6.24),4. 模态叠加法,现在来求梁的强迫振动解。设,(6.23),(6.25),(6.9),代入方程(6.9)，,(6.26),方程(6.26)的解法已经很熟悉不再赘述。,例6.7 图示简支粱在其中点受到力 P 作用而产生静变形，求当力 P 突然取消后梁的响应。,解：由于简支粱是左右对称结构，且力 P 作用在梁的纵向对称点上，所以它只激发梁的各阶对称模态。于是，该简支粱在初始条件下的响应表达式为,其中,(a),因为 t = 0 时，梁处于静态挠曲线状态，故有,将（a）式的一阶导数代入（c）式，有,由此得,(d),将（d）式代入（a）式、令 t = 0，有,(e),将（b）式代入（e）式，并考虑到模态的对称性，得,(f),将（d）、（f）代入（a） ，即得响应,例6.8 不变的集中力 P 沿梁以匀速度 v 移动，求梁的横向振动响应。设初始时力 P 在梁的左端。,解：梁的振动微分方程为,设方程的解为,(b),(c),其中,方程（c）的解为,利用初始条件,解出 Cn、 Dn 后，可得梁的响应为,6.3 假设模态法,应用模态叠加法需要知道精确的模态，但实际复杂系统很难求出精确的模态，所以在近似法中，广泛采用一些更为实用的函数来构造近似解。这时，不一定要求这些函数满足系统的运动微分方程，但它们必须具备方程中所用到的各阶导数，并且满足适当的边界条件。其中满足全部边界条件的函数称为比较函数（comparison functions）;而那些只满足几何边界条件的函数，称为容许函数（admissible functions）。这时，一维弹性体问题的解可近似地表示为,(6.25),这种处理问题的方法，实际上就是Ritz 缩聚方法。,这样就把无限自由度的分布参数问题转化成了有限自由度问题，因此可以用离散系统的各种建模方法建立系统的运动微分方程。我们用Lagrange方程。梁本身的动能为,写成矩阵形式为,(6.26),当梁上含有集中质量 m时，如图6.13,相应的附加动能为,因此(6.26)中质量矩阵的各元素应写为,梁本身的势能为,写成矩阵形式为,(6.27),当梁上含有弹性支承时，如图6.13，附加的势能为,因此(6.27)中刚度矩阵的各元素应写为,设梁上受到分布力f (x, t)和集中力F (xc, t)，则对应的虚功为,其中：,(6.28),将动能、势能和广义力代入Lagrange方程，得,(6.39),则系统的动能与势能为,解：（1）设系统的振动为,其中,此即 b 的最佳取值。,解：设振型函数为,这个假设振型函数同时满足几何与力边界条件。,截面惯性矩为,为了求第一和第二阶固有频率 w1、 w2 ，取 i = 1, 2，有,所以，离散系统质量矩阵元素为：,离散系统刚度矩阵元素为：,离散系统的自由振动方程为：,所以，特征方程为,将矩阵元素代入上式，可得频率方程为,解得,解：系统的动能为（注意 xy 为平动坐标系）,其中,系统的势能为,其中,将动能和势能代人 Lagrange 方程，得系统的振动方程为,6.4 模态法综合法,从原理上说，假设模态法也适合于复杂结构的振动分析，问题是很难找到整个结构的假设模态。为了克服这一困难，人们设法将一个复杂结构分解成若干个较简单的子结构，对于这些子结构，比较容易找到它们的假设模态。然后根据对接面上保持位移协调（或者再加上内力协调）的条件，把这些子结构装配成总体结构。也就是说，我们利用各个子结构的假设模态来综合总体结构的振动模态，因此这一方法称为模态综合法。模态综合法已形成比较完整的理论体系，其中演变出了多种处理方法。下面用一个简单例子说明这一方法的基本思想。图6.14为一直角梁结构，由两根完全相同的细直梁焊接而成。现在将结构分割为两根简单梁，一根为悬臂梁，另一根为自由梁。分别取坐标系 O1x1y1 和 O2x2y2 ，梁的振动位移用u1 (x1, t), y1 (x1, t), u2 (x2, t)和y2 (x2, t)表示，利用每根梁的假设模态，这些振动位移可表示为,(6.40),其中各个假设模态取为,(6.41),其中 f 1(x1) 、 f 2(x2)是悬臂梁弯曲振动的容许函数； f 3(x2)是自由梁纵振刚体模态， f 4(x2)是铰支自由梁的刚体转动模态，而f 5(x2)则是悬臂梁的弯曲振动的容许函数。,系统的动能为,因为对接面上要满足位移协调（或者再加上内力协调）的条件，因此各个广义坐标z i(t) 是不独立的。约束条件为,(6.42),(6.43),代入(6.40)、 (6.41)，得,因此，5个坐标中只有两个是独立的，取 z1 、 z2 作为独立变量，并令,则得老坐标（不独立）与新坐标（独立）之间的变换（约束）关系为,系统的动能和势能用独立坐标表示为,(6.44),现在我们已经得到了用独立广义坐标表示的、整体结构的动能和势能，应用Lagrange方程，得,(6.45),(6.46),数值计算结果如下：,(6.47),固有频率、振型为,再用(6.44)式可回到子结构坐标，进一步用(6.40)式可算出原结构各处的振动位移。,6.5 有限元法,假定结构被分割成只在有限个节点处相互连接的离散单元体系，通过计算每个单元的特性并将它们适当地叠加，就可求得整个结构的特性。实际上，有限元法的基本思想与模态综合法是一样的，只是有限元法所取的子结构为单元，而单元可取得比较小，取法也更灵活，单元还可以分类，因此一个结构往往只要取几类（甚至一类）单元就可将其离散。由此可以编制出大型通用有限元程序。本节只给出杆、梁结构的相关结果。（1）杆的纵振动,单元形函数的选取原则和方法，可参考有限元法专著。对于杆的纵振动，形函数取为,(6.48),形函数假设好后，可以有多种途径来建立单元刚度和质量矩阵，我们直接借用假设模态法中思想方法。,(6.49),图6.15,对应于单元节点位移的广义力阵（节点力阵）由虚功来计算：,(6.50),有了单元特性后，再按一定原则将所有 单元特性装配成整体结构的特性。可以用虚功方程、Hamilton原理或Lagrange方程进行装配，不再赘述。,(6.51),（2）梁弯曲振动的单元特性单元的节点位移列阵为：,如图所示。位移插值模式,图6.16 梁单元的形函数,可以算得单元质量、刚度矩阵为,对应于单元节点位移的广义力阵（节点力阵）：,(6.52),(6.53),(6.54),6.6 梁弯曲振动的一些特殊影响因素 1. 轴力的影响,轴力作用下的梁微元 dx如图6.17。,(6.55),轴力对梁横向振动的影响表现在对梁的刚度的影响，我们先用有限元特性来说明这一点 （在后面例6.12中再作准确的理论解释）。对轴力作用的等截面均质梁，其单元质量、刚度矩阵与前面推出的(6.52)、(6.53)式相同，唯一的差别是现在轴力要产生广义力，参见图6.18，可知对应的虚功为,（请同学们完成以上方程的推导！）,由梁微元的力平衡、矩平衡方程，以及弯矩与挠度的关系，可以推得梁的控制微分方程为,而由图6.18所示的位移相似三角形关系，可得,由此得,将此代人虚功表达式，并应用梁单元的形函数，得,所以，广义力向量为,因此，对于有轴力作用的梁，其总的单元刚度矩阵可用组合单元刚度矩阵表示：,(6.56),(6.57),由推导过程可知，当 NT 0 时， KG 半正定，由此根据(6.57)推知，当梁受轴向压力时，梁的整体刚度下降，反之则增加。,例6.12 一直梁置于连续的弹性基础上，两端简支，受常压轴向力作用。梁单位长度的质量为 rl ，抗弯刚度为 EI，弹性基础的分布刚性系数为 k 。导出梁的振动微分方程，并求固有频率。,(1),设方程的解为,代入方程（1），得,令,(2),(2) 式变为,(3),其解为,(4),其中,利用边界条件：,得,由此得,写成矩阵形式为,(8),(5),由非零解条件，得,(9),将（9）式代入（6）或（7）式，得,(10),将（5）、（10）代入（4）式，得到梁的振型函数为,由（9）式解得,(11),所以，梁的振型函数和固有频率为,(12),下面对这一结果进行分析。,2. 剪力和转动惯量的影响,Bernoulli-Euler梁理论中忽略了截面剪力和转动惯量。忽略截面剪力便产生平截面假设，而忽略转动惯量将使梁中的,梁的振动波传播速度可以随波动频率的增大而达到无穷大，因此在分析高频振动时，会使结果严重失真。下面介绍考虑截面剪力和转动惯量的Timoshenko梁理论。图6.19表示横截面在剪力作用下，发生翘,曲的定性分析。我们取图6.20所示的梁微元 dx 进行分析。Timoshenko梁微元的受力与Euler 理论相同，但变形,后的截面已不垂直于挠曲线，截面的法线与未变形挠曲线的夹角用一个新的独立参量 y 来表示，而变形后挠曲线的转角仍为 y / x ，如图6.20(b)所示。因此，现在描述梁的弯曲变形有两个独立变量 y 和y 。由图6.20(b)有,(6.58),g0 为截面与挠曲线交点处的剪应变。在平截面假设中， g0 的影响可以忽略，这表明实际中 y y / x，即 g0 与 y 相比要小得多，可认为 y 主要是由截面弯矩引起的，进而 Timoshenko 假设,下面来推出截面剪力与挠度的关系。设截面上任一点的剪应力为 t ，剪应变为 g ，则,另一方面，已经证明，在横向力作用下，截面上的剪应力分布规律为,前面已指出， g0为截面与挠曲线交点处的剪应变，因此,(6.61),代入(6.61)得,(6.62),(6.62)代入(6.60)，得,(6.63),其中 A ( z 2 ) 是一个只与截面形状、大小有关的函数。,k 只取决于截面形状，称为截面剪切系数。因此 (6.63) 式的物理含义是，截面剪力等于将中性轴上的剪应力均布到整个截面得到的剪力乘以剪切系数。将(6.58)代入(6.63)，得,(6.64),再来考虑梁微元的平衡关系。y方向应用Newton定律，得,(6.65),再对梁微元应用动量矩定理，得,(6.66),其中 d J 为梁微元对上述矩心的转动惯量，它为,于是(6.66)式变为,(6.67),将(6.59)、(6.64)代入(6.65)和(6.67)，得Timoshenko梁的控制微分方程为,(6.68),(6.69), 当为等截面均质梁时，两式可合并。从(6.68)解出,将(6.69)对 x 求导，同时将上式代入，得,(6.70),下面分析一下无穷长梁中简谐波的传播。设,代入(6.70)并令 f = 0，得,代入(6.70)并令 f = 0，得,(6.71),c0 为梁中的纵波传播速度。,解(6.71)，有四个实根，略去两个负根，得,因此，对于 Timoshenko 梁模型，波传播速度不会随波数的无穷增大而变成无穷，这就克服了 Bernoulli-Euler 梁模型的缺陷。图6.21给出了圆截面梁用几种模型算出的 曲线（这种曲线称为频散曲线），可见Timoshenko梁模型的精度和适用范围已足够高。,Timoshenko梁的有限元格式已经建立，可在一些专著和手册中查到，不再讲述。,