概率论与数理统计 第一章ppt课件.ppt

,1,2005 Henan Polytechnic University,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,随机试验、样本空间和随机事件 随机事件间的关系与运算 随机事件的概率及其性质 条件概率、全概公式与贝叶斯公式 随机事件、试验的独立性,第一章 随机事件及其概率,2,2005 Zhang Yongjin,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,两 类 现 象,在一次试验中结果呈现出不确定 性，在大量重复试验中其结果又呈现出一定的规律 性的现象。,确定现象,在一定条件下必然发生的现象。,如：在标准大气压下，水加热至100时沸腾； 上抛一物体必然下落； 同性电荷必然相斥；等等。,随机现象,如：抛一枚硬币可能出现正面，也可能出现反面； 电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数； 测试在同一工艺下生产的灯泡的寿命；等等。,高等数学，线性代数等,概率论，数理统计等,3,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况；,E2：将一枚硬币连抛三次,观察正、反面出现的情况；,E3：将一枚硬币连抛三次,观察正面出现的次数；,E4：掷一枚骰子，观察出现的点数;,随机试验举例,E5：电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数；,E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命；,E7：记录某地一昼夜的最高温度与最低温度。,4,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义2 随机试验E所有可能结果组成的集合称为E的样 本空间(S,)；样本空间的元素称为样本点(e,)。,二、样本空间与随机事件,E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况,S1=H，T,E2：一硬币连抛三次，观察正面、反面出现的情况,S2=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT,例如,显然，样本点是由试验的目的所确定的。,5,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,E3：一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数,S3=0，1，2，3,E4：掷一枚骰子，观察出现的点数,S4=1，2，3，4，5，6,E5：电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数,S5=0，1，2，3，,E6：在一批灯炮中任意抽取一只，测试它的寿命,S6=t|t0,E7：记录某地一昼夜的最高温度与最低温度,S7=(x,y)|T最低xy T最高,6,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义3 样本空间S的子集称为随机事件,简称为 事件。特别的，S称为必然事件；称为不可能事 件；单个样本点组成的单点集e称为基本事件。,试验 E：掷一枚骰子，观察出现的点数。,样本空间 S=1，2，3，4，5，6，,“出现偶数点”的事件A=2，4，6；,例如,“出现不小于3的点数”的事件B=3，4，5，6；,“出现大于6点”的事件为不可能事件；,“出现点数不超过6”的事件为必然事件S，等等。,7,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计, 在一次试验中，事件A发生当且仅当A中的一 个样本点出现；, 必然事件在每次试验中均发生；不可能事件 在每次试验中均不发生；, 基本事件两两互斥，且在每次试验中有且有 一个发生。,说 明,8,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,集合间的关系与运算,意义：事件A发生必导致事件B发生。,2、事件AB称为事件A与事件B的和事件。,意义：“和事件AB发生”“事 件A与事件B至少有一个发生”。,三、事件间的关系与运算,9,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3、事件AB称为事件A与 事件B的积事件。,意义：“积事件AB发生”= “事件A与事件B同时发生”。,4、事件A-B称为事件A与事 件B的差事件。,意义：“差事件A-B发生” “事件A发生，事件B不发生”。,10,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,5、若AB=，则称事件 A与事件B是互不相容的，或互 斥。,意义：“事件A与事件B互斥”= “事件A与事件B不能同时发生”,6、若AB=，且AB=S， 则称事件A与事件B互为对立事件 或互逆。,意义：在每次试验中，事件 A与事件 有且仅有一个发生。,互逆一定互斥,互斥不一定互逆.,11,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例1】用事件A，B，C的运算关系表示下列复合事件:,解,1、A发生，B与C均不发生;,特别注意：,12,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2、A，B，C至少有一个发生；,“A，B，C不会同时不发生”,解,对应于不同的等价说法有多种表示形式：,“A，B，C至少有一个发生”,互斥分解也有各种表示形式，如：,13,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3、A，B，C都不发生；,4、A，B，C不多于两个发生。,“A，B，C至少有一个不发生”,“A，B，C不会同时发生”,解,“A，B，C都不发生”,“A，B，C至少有一个发生的事件 不发生”,解,14,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例2】射击3次，事件 表示第 次命中目标 ， 则事件“至少命中一次”为：,解由事件运算律知：,而 仅表示“恰有一次击中目 标”，故应选A,B,C。,15,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,它表示“甲滞销”与“乙畅销”至少有一个发生，故应 选(D). ,【例3】事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立 事件表示（ ）。 （A) “乙畅销”； (B) “甲乙均畅销”； (C) “甲滞销”； (D) “甲滞销或乙畅销”。,解设事件B：“甲畅销”，C：“乙畅销”，则,从而,16,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,设好事件，并用简单事件的运算关系来表达复 杂事件在解概率题中是基本而重要的。特别，要弄 清“恰有” 、“至少” 、“至多” 、“都发生” 、“都不发生”、不都发生”等词语的含义。,有些文字表达的事件可通过设事件为字母，再 利用事件的关系与运算来表达。此外，要注意同一 个事件的不同表达形式，注意语言表述的准确性。,注 意,利用文图易知：差事件可化为积事件,和事件可互斥分解为,显然，这种互斥分解不一定唯一。,17,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,本节要点提示,四个概念:随机现象,随机试验,样本空间,随机事件;,四个关系:包含,相等,互斥,互逆;,三个运算:和,积,差。,事件运算律。,18,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2、概率及其性质,研究随机事件时，不仅希望了解哪些随机事件可能出现，而且希望知道事件出现的可能性的大小。,我们用0，1中的一个数来表示随机事件A发生的可 能性大小，并称之为该事件的概率，记为P(A)。,一、古典概型,定义1 具有下列特点的随机试验称为古典概型 (等可能概型): ()、试验的样本点只有有限个; ()、试验中每个基本事件发生的可能性相同.,下面沿概率论的发展轨迹介绍概率概念的形成。,19,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,设古典概型的样本空间含有n个样本点，事 件包含k个样本点，则事件的古典概率为,在古典概率计算中，注意掌握一些如“摸球问题” “分房问题”，“随机取数问题”等典型模型中概率的计 算。,20,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例1】袋中有5只红球和6只黑球，现从中任意取出 2只球，试求下列事件的概率： （1）取出的2只全为红球； （2）取出的2只球中一只为红球一只为黑球； （3）取出的2只球中至少有一只黑球。,球是可辨的如编号1-5为 红球，6-11为黑球，以保 证等可能性；,分析理解题意：,不放回抽样；,摸球模型,21,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,“任意取出2只”：如认为是“依次” 取出，则样本 点是有序结果，计数时采用排列；如认为是“一 次”同时取出2只，则样本点是无序结果，计数时 采用组合。,样本空间和样本点:采用不同方法时,样本空间和 样本点有所不同.但计算必须在相同样本空间中进 行.,设好事件：A=“取出的2只全为红球”；B=“取 出的2只中红球、黑球各一”； C=“取出的2只中至少有 一只黑球”。,解,22,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,此时,样本空间是所有的两个不同球的排列，相当于 两不同号码的有序数对。 注意：同色（1，2）和（2，1）是不同的样本点。,正确计数：,方法1依次有序取2只,样本点总数基本事件总数相当于“从编号分别为1- 11的11张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即,（1）A所含的样本点数相当于“从编号分别为1-5的5 张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即,23,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,（2）B所含的样本点分两类：先红后黑相当于“从编号1-5中取1个，再从编号6-11中取1个”，由乘法原理知：共有56个不同样本点；先黑后红相当于“从编号中6-11取1个，再从编号1-5 中取1个”，由乘法原理知：共有65个不同样本点；因此由加法原理知：B所含样本点总数为,故由古典概率计算公式得：,24,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由古典概率计算公式得：,（3）C所含的样本点分两类：一红一黑先红后黑， 先黑后红，有60个；两黑“从编号6-11中取2个”的排 列数有65=30个。因此，由加法原理知：C所含样本 点总数为,故由古典概率计算公式得：,25,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,此时,样本空间是所有的两个不同球的组合，相当于 一次取两不同号码的不同组合。 注意：同色（1，2）和（2，1）是同一个样本点。,方法2一次无序取2只,样本点总数相当于“从编号分别为1-11的11张卡片中 任意取2张的”不同组合种数，即,（1）A所含的样本点数相当于“从编号分别为1-5的5 张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即,26,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由古典概率计算公式得：,（2）B所含的样本点数相当于“从编号1-5中取1个，再从编号6-11中取1个”的不同组合数，因此，由乘法原理知：B所含样本点总数为,故由古典概率计算公式得：,27,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由古典概率计算公式得：,（3）C所含的样本点分两类：一红一黑 ， 两黑“从编号6-11中取2个”组合数。因此，由加法原理 知：C所含样本点总数为,28,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,从N件产品中任取n件,每种不同取法就是一个样本 点，样本点总数基本事件总数相当于是“从N个相异元 素中取n个元素”的组合数，即为,【例2】设有N件产品,其中D件为次品.现从中作不放 回抽样任取n件,求其中恰有k(kD)件次品的概率.,解N件产品是可辨的。“不放回任取n件”相当于 “一次同时取n件”，因而，试验结果是无序的。,设事件A=“任取n件中恰有k件次品”，则其所含样本 点总数相当于“从D件次品中取k件,再从N-D件正品中取,29,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由古典概率公式得：,许多问题如正品次品,男生女生等与本例属于相同 的数学模型。这种类型概率称为超几何分布。,n-k件”的不同组合数，由乘法原理知为,30,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例3】 将n只球随机地放入N个盒子中去(Nn), 试求“每个盒子至多有一球”的概率(设盒子容量不限).,解由于盒子容量不限, 所以n只球放入N个盒子的每种 放法就是一个样本点.,样本点总数为,(从N个盒子中可重复地取n个的排列数每个球有N种 放法，一共有n只球，由乘法原理知有Nn种),而“每个盒子至多有一只球”的有利场合数知为,分房问题,31,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,（从N个盒子中选n个 出来，再放入n只球n!,由乘法原理）,故所求概率为,许多问题生日问题、住房问题、乘客下车问题等 与本例属于相同的数学模型。,因此，“n人中至少有两人生日相同”的概率为：,例如，生日问题：n（365）个人生日各不相同 的概率为,32,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,n人中至少有两人生日相同的概率,33,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例4】 从0，1，2，9共十个数中随机取4个，求下列事件的概率： （1）A1：4个数中不含1和8； （2）A2：4个数中既含1也含8； （3）A3：4个数中不含1或8。,解显然，基本事件总数十取四的组合 ：,三事件的有利场合数分别为：,除1,8外的八取四的组合,随机取数问题,34,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,1,8必取，再在除1,8外的八取二的组合，乘法原理,不含“1或8”分为互斥的三类：含1不含8，含8不含1，既 不含1也不含8，加法原理,故所求概率分别为：,35,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,小概率事件在一次具体试验中几乎是不会 发生的.统计推断原理,小概率事件在大量重复试验中几乎是必然 发生的.,关于小概率事件的重要结论,下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作 出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验 中是非常有用的。,36,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例4】某接待站在某一周内接待了12次来访者,已知 所有这些来访都是在星期二与星期四进行的,问能否由此 推断该接待站的接待时间是有规定的?,解若接待时间没有规定,且来 访者可在一周内任何一天到接待站, 则“12次来访都在星期二与星期四” 的概率为(千万分之三):,人=“球”,星期几=“盒”,抽象:模型化,37,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,理解题意：分析随机试验的基本事件，构造尽可能 简单的等可能的样本空间，特别是不同方法求解时， 必须在同一样本空间中进行计算；,设好事件: 一般在理解题意前提下，设出一些简单 事件，使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运 算表达出来；,正确计数：计算样本点总数基本事件总数和事件 所含样本点总数有利场合数，避免计数的重复或 遗漏。常用到排列、组合、乘法原理和加法原理等 知识。,计算古典概率的基本思路,38,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,利用公式:常用古典概率计算公式、对立事件概率 公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式、乘法 公式等。,注意模型：解题时注意模型化，抓住问题本质。,39,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,二、几何概率,定义2 设试验E的样本空间为一几何区域，其 测度长度、面积或体积等 m()为有限值,若任意事 件A发生的概率与A的测度m(A)成正比,则称该试验为几 何概型.,设E为几何概型,A为事件,则A发生的概率为:,40,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,以x，y分别表示两人到达的时刻，则能会面的充要条件为,【例5】两同学相约7点到8点在南大门会面，先到者 等候另一人20分钟，过时离去，求两人能会面的概率。,解,这是几何概率问题：可能结果的点(x,y)构成边长60的正方形；能会面的点(x,y)构成会面区域，故所求概率为,41,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例6】从区间（0，1）中随机地取两个数，求下列事 件的概率： （1）两数之和小于1.2; （2）两数之和小于1，且两数之积大于0.09.,解,设所取两数分别为x，y，样本点（x，y）为正 方形区域S=0，1；0，1，即样本空间为该正方形S。,故由几何概率计算公式得：,（1）事件A=“两数之和小于1.2”对应的平面区域为：,42,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由几何概率计算公式得：,（2）事件B=“两数之和小于1，积大于0.09”对应的平 面区域为：,注意:利用定积分计算平面区域面积.,43,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,将几何概型的结果转化为某个可度量是几何区域S 直线、平面或空间等中随机点来确定，找出事件 A发生相应的区域SA；,计算样本空间S和随机事件SA的几何测度长度、面 积、体积等；,利用几何概率公式计算A的概率。,计算几何概率的基本思路,44,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义3 设在相同条件下进行的n次试验中事件A发生 nA(频数)次，称比值,（1） ；,（2）,（3）若 是两两互斥事件组，则,为事件A在n次试验中发生的频率。,1、频率,频率具有下列性质：,三、统计概率,45,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,表1：抛一枚硬币观察正面H出现的频率,46,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,表2：438023个字符中英文字母频率,Dewey.G:Relative Frequency of English Spellings,1970.,练习：利用word统计功能确定一篇文章中单词的频率。,47,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由上述可知，频率具有下列特点：,随机波动性对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小；,在第五章将证明贝努里大数定理:,从理论上保证了利用频率稳定值 量度事件 发生的 可能性大小(概率)的可行性.,频率稳定性随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。,48,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2、统计概率,事件A发生的频率的稳定值p称为A的统计概率，即,当试验次数n相当大时，可以用频率作为概率的近 似值：,事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的统 计规律性.,49,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,至此，我们根据不同背景给出了三种概率定义，即 古典概率、几何概率和统计概率，不难看出，它们均具 有下面三条性质：,、非负性,、规范性,、可列可加性 设 为两两互斥事件组,则有,前苏联数学家科尔莫戈罗夫在1933年将上述三条性 质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小 的概率的公理化定义.,50,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义4 设S为随机试验E的样本空间，对E的每个事 件A，称满足下列公理的实数(集合函数)P(A)为事件A的 概率:,四、概率公理化定义,、非负性,、规范性,、可列可加性 设 为两两互斥事件组,则有,51,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,五、概率的性质,由概率的公理化定义可得概率的性质:,性质1 P()=0.,证在可列可加性中取所有的AK=得:,再由非负性得:,性质2 设 为两两互斥事件组,则有,有限可加性,证在可列可加性中取AK=(k=n+1,n+2,), 再利用性质1即得.,52,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,证将事件B分解为互斥事件的和事件得：,性质3 若 , 则,由有限可加性得:,即得:,由非负性得:,减法公式有条件,53,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,性质4 对任意事件A, 总有,证由于,所以由减法公式得：,再由概率的非负性、规范性知：,即得：,注意： 减法公式是需要“包含”条件的,54,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,证因为,即,注意：公式 在计算概率时是非常 有用的.当直接计算某事件概率比较困难时,可以转 而计算其对立事件的概率，进而利用上述公式所需 的概率.,性质5,所以由有限可加性及规范性得:,55,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,证将AB互斥分解得:,又,故由有限可加性与减法公式得:,加法公式,性质6,注意：虽然AB=(A-B)B,但P(A-B)不能用减 法公式,而A-B=A-AB,且P(A-AB)可用减法公式!,56,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,加法公式可推广至有限个事件的和事件.,例如，三个事件的加法公式:,n个事件的加法公式请看教材,掌握其规律.,在应用文图的直观性时，可以把事件A的概率 视为该平面集合A的面积，注意P(S)=1。利用此观 点容易理解和记忆一些概率公式（例如，减法公式， 加法公式，乘法公式等）。,57,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例7】设A,B两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问 1、在什么条件下,P(AB)取得最大值,并求最大值? 2、在什么条件下,P(AB)取得最小值,并求最小值?,解由概率的加法公式得:,由0P(A)P(B)知:A,B,且AB,故A 与B相容,且应有 保证和事件概率最小,于是， ,故,1、当 最小时, 才能最大.,否则P(A)=P(B) =P(AB)=0矛盾,note,58,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由于AB,故P(AB)0。,易知:当 时,有,2、当 最大时,P(AB)才能最小.,否则P(AB)=P(A)+P(B)1,59,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例2】设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=0.25, P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=0.125.求A,B,C至少有一个发生的 概率.,解由于 ,故利用概率非负性与减法 公式得:,即,由三事件的加法公式得“A,B,C至少有一个发生” 的概率为:,注意：选择 有助于解题,但若从 无法确定 的值.,60,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3、条件概率,一、条件概率的概念与计算,解易知：,【引例】将一枚硬币连抛两次,观察正反面出现的情 况。设事件A:“至少有一次正面”，事件B：“两次同面”， 求“在事件A发生的条件下事件B发生”的概率P(B|A)。,在“至少有一次正面”发生的条件下计算B发生的概率时， 可取A为样本空间（缩减样本空间），此时，B只含一个 样本点HH，故,61,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,此外,在样本空间S中易计算得:P(A)=3/4,P(AB)= 1/4,且有,显然，P(B|A)P(B)=1/2。,定义1 设A,B为两个事件,且P(A)0,称,为“在事件A发生的条件下事件B发生”的条件概率。,由此，一般可定义条件概率。,62,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：,在原样本空间S中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。,63,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解方法1在原样本空间S中计算,【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到一 等品”，求条件概率P(B|A)。,因为“不放回依次取两只”有序，排列的每种不同 结果就是一个样本点,所以样本点总数为,A所含样本点均为“第一次取一等品的两产品”，故其 所含样本点总数有利场合数为,64,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,而AB的样本点均为“两次均取一等品”，故其所含样本点总数有利场合数为,由古典概率公式得:,从而,由条件概率公式得:,方法2在缩减样本空间A中计算,65,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点, 共有 故由古典概率公式得:,S,AB,A,66,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,1、条件概率也是概率。因而也满足概率的三条公 理及其各个性质。,对立事件概率公式:,等等,此处不一一列举.,二、条件概率的性质,例如，加法公式:,此外,概率P(A)就是条件概率P(A|S),即 P(A)=P(A|S)。,67,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,注意：当P(A)0时,乘法公式与条件概率定义式是等价的; 当P(A)0,P(B)0时,有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B); 乘法公式可以推广到多事件情形.例如,三事件的 乘法公式为P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)P(AB)0。,由条件概率定义即可得:,乘法公式 设A,B为两个事件,且P(A)0,则,2、乘法公式,68,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,乘法公式的几何解释：若将事件A的概率看作“A 在S中所占的面积比”几何概率，则显然成立：,其中 表示A的面积.,应用乘法公式求多事件积事件概率的两种情形:,、积事件是其中各事件相继影响而形成;,、积事件中各事件或都发生、或都不发生、或其 中部分发生部分不发生，但事先并不知确已发生与否。,69,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例2】据以往资料表明,某一3口之家患某种传染病 的概率有以下规律:P孩子得病=0.6,P母亲得病|孩子 得病=0.5,P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4.求“母亲 及孩子得病但父亲未得病”的概率。,解设A,B,C分别表示孩子、母亲、父亲得病的事 件。由题意知:,现求,由乘法公式得:,70,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,注意 由于本例中 都是地位平 等的随机事件,没有一个事先知道确已发生,所以所求 概率是积事件概率 ,而不是条件概率,71,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例2】设某透镜第一次落下打破的概率为1/2,若第 一次未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次均 未打破,第三次落下打破的概率为9/10,试求该透镜落下 三次而未打破的概率.,解设事件Ai=“透镜第i次落下打破”(i=1,2,3), B=“透镜落下三次而未打破”。,因为 ，且前次事件对后次事 件有影响，故由乘法公式得：,方法1,由已知条件知：,72,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,于是，,方法2,因为事件“透镜三次落下打破”为,且 两两互斥,故由可加性得:,73,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,其中,由乘法公式得：,故得：,再由对立事件概率公式得：,74,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义2 设S为随机试验E的样本空间,B1,B2,， Bn为E的满足下列条件的事件组：,则称 B1,B2,Bn 为样本空间S 的一个完备事件组划分.,3、全概率公式与贝叶斯公式,（i）BiBj=(ij,I,j=1,2,n);,(ii),例如，在掷一枚骰子观察出现的点数试验中，,B1=1，2，3，B2=4，5，B3=6 就是样本空间S的一个完备事件组。,75,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定理1 设S为试验E的样本空间, B1,B2,Bn为S的 一个完备事件组，且P(Bi)0(i=1,2,n),则对任意事 件A有全概率公式：,【证】因为A可互斥分解为,所以由有限可加性与乘法公式得：,76,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【证】由条件概率、乘法公式与全概率公式得,定理2 设S为试验E的样本空间, B1,B2,Bn为S的 一个完备事件组,A为E的事件,且P(Bi)0(i=1,2,n), P(A)0,则有贝叶斯公式：,77,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需 要弄清楚：,当事件的发生与相继两个试验有关时，从第一试验 入手寻找完备事件组；,当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的， 可以这些“原因”为完备事件组。,2、如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式,1、如何确定完备事件组,一般，可从下列两个方面来寻找完备事件组：,“由因求果”用全概率公式,“执果求因”用贝叶斯公式.,78,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例3】设工厂A和工厂B的产品次品率分别为1%和2%, 现从A与B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取 一件,发现是次品,则该次品属A厂生产的概率是多少?,解由于产生次品的“原因”是“A厂生产”和“B厂 生产”,因此,完备事件组可设为:,事件A为“随机抽取一件为次品”.,由全概率公式得:,79,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由贝叶斯公式得:,80,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例4】设在12只乒乓球中有9只新球和3只旧球,第一次 比赛取出3只,用后放回去;第二次比赛又取出3只,求第二 次取到的3只球中有2只为新球的概率.,【解】这里有两个相继“试验”:“第一次取出3只” 和 “第二次取出3只”.因此,可根据“第一次试验”的各种情 形确定完备事件组.,第一次取出3只球有4种情况:没有新球、有一只新 球、有两只新球和全是新球，分别用事件表示为：,设A为事件：“第二次取出2新1旧”，则由古典概率计 算公式超几何分布得：,81,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,注意：第二次取球时12只球的新旧组成是随第一 次取出的3球组成的变化而变化,易得:,从9新3旧中取3旧,从9新3旧中取1新2旧,从9新3旧中取2新1旧,从9新3旧中取3新,82,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,从9新3旧中取2新1旧,从8新4旧中取2新1旧,从7新5旧中取2新1旧,从6新6旧中取2新1旧,由全概率公式得:,83,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由全概率公式得:,84,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,4、独立性,一、事件的独立性,定义1 设A,B为两个事件,如果,则称A,B为相互独立的事件.,定理 设A,B为两个事件,且P(A)0,则,A,B相互独立,由条件概率可得,85,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,即 相互独立.,解因为A,B相互独立,所以,从而,【例1】设事件A,B相互独立,证明事件 也相互独立.,可以证明:在 中,只要有一组 独立,则其余各组均独立.,86,2005 He Xianzhi,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,独立性的概念可以推广到多事件.,定义2 设A,B,C为三个事件,如果,则称A,B,C为相互独立的事件.,如果只满足前三个条件,则称A,B,C为两两独立的事件.,相互独立一定两两独立, 反之不然.,87,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例2】三人独立地去破译一份密码,已知各人能译 出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将 此密码译出的概率是多少?,【解】设三人各自译出的事件分别为A,B,C;则“三 人中至少有一人能将此密码译出”的事件为,已知P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4。,方法1 由加法公式和独立性得:,88,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,方法2 由对偶律、逆事件概率公式和独立性得:,在实际问题中,常常可根据实际意义来判断与应用 事件的独立性.,89,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【解】设事件AK:“第K个开关 闭合”(K=1,2,),且每个开关闭 合的概率为p=0.90.,【例3】,【例3】借用一个由两个或多个开关并联如图来改 善报警电路的可靠性，这样当危险发生时，这些开关中 至少有一个闭合，发出警报。假设每个开关的可靠性均 为0.90，且各开关闭合与否相互独立。 （1）两开关并联时电路的可靠性为多少？ （2）至少需要多少只开关并联，才能保证电路的可 靠性至少为0.9999,90,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,(1) 两个开关并联,由概率加法公式和事件独立性知:系 统可靠性为,(2) n个开关并联,由对立事件概率公式、对偶律和事件 独立性知:系统可靠性为,91,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解得:n4.故至少需要4个开关并联.,92,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例4】设事件A,B独立，事件C满足条件,证明P(AC)P(A)P(C)。,证因为 且,所以,由事件关系与运算知：,从而,互斥分解,93,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,独立性,可加性,故,即证得： P(AC)P(A)P(C)。,94,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义3 设将试验E重复进行n次,且各次试验结果 互不影响,则称这n次试验是相互独立的,也称为n重独 立试验,记为En.,特别的,对只有两个可能结果 的试验E,称其 n重独立试验为n重贝努里试验.,二、试验的独立性,例如，一枚硬币连抛三次观察正反面的试验就是一 个三重贝努里试验。,思考题 设试验E只有两种结果: ,试求n 重贝努里试验En中事件“A发生k次”的概率.,95,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,其中,不难推得：n重贝努里试验中“事件A恰好发生k次” 的概率为,本节要点提示,两事件、三事件相互独立的定义；,计算积事件概率时，想到有无独立性：有，概率积 无，乘法公式；,计算和事件概率时，想到有无互斥性：有，概率和 无，加法公式。,96,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,本章要点提示,四个公式:条件概率公式,乘法公式,全概率公式,会计算条件概率原样本空间与缩减样本空间;,会正确应用乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式。,贝叶斯公式;,能区分积事件与条件事件，会利用完备事件组“化,整为零”地计算概率，,97,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,本章要点提示,四种概率定义:古典概率、几何概率、统计定义、 公理化定义；,六个概率性质:特别是加法公式，减法公式，对立 事件概率公式等；,概率的计算:古典概率、几何概率；利用概率性质 与公式。,作业1：P.29:2;3;4;P.30:6;7;13;14.,