小学奥数总复习(上)ppt课件.pptx

（上）,小学奥数总复习,分数百分数应用题单位“1”转换,知识点梳理,基本步骤：1、确定单位“1”， 2、准确找出“量”与“率”之间的对应关系， 3、确定乘除法， 4、统一单位“1”。 在题目中常常出现几个不同的单位“1”，这时需要将它们转化为统一的单位“1”，以便于比较和发现数量关系。,典型例题精讲,例1. 妈妈买来一桶油，第一次倒出全部的 ，第二次倒出余下的 ，还剩下6千克，求这桶油原来共有多少千克？,解 析,整体对应式：6千克+第一次倒的 + 余下的 “1” 第一次倒出 ，单位“1”是这桶油 第二次倒出余下的 ，单位“1”是(1- )= 的 即是全部的 = 解：61 （1 ） =12（千克） 答：这桶油原来12千克。,例2. 甲校人数是乙校人数的 ，乙校人数是丙校人数的 ，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？,解 析,统一单位“1”，抓住中间量“乙”。甲校人数是乙校人数的 ，单位“1”是“乙”，乙校人数是丙校人数的 ，单位“1”是“丙”， 可以转化为，丙是乙的 。 乙：450（ ）=750（人） 甲：750 =600（人） 丙：750 =1050（人）,例3. 商店运来白菜和土豆共630千克，运来白菜的 与土豆的 一样多，商店运来白菜、土豆各多少千克？,解 析,方法一：按比分配解决 白菜 =土豆 白菜 =土豆 白菜 : 土豆=11 : 10 白菜：630（11+10)11= 330（千克） 土豆：630-330=300（千克）,方法二：统一单位“1” 以白菜为单位“1”，土豆是白菜的 = 630（1+ ）=330（千克） 630 -330=300（千克） 答：运来白菜330千克，土豆300千克。,例4.新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班的 ，美术班人数相当于另外两个班的 ，体育班有58人，音乐和美术各有多少人？,解 析,2+5=7 3+7=10解答：58（1 - - ）=140（人） 140 =40（人） 140 =42（人） 答：音乐班40人，美术班42人。,例5. 甲乙两户共养鸡2700只，如果甲卖出所养鸡的 ，乙卖出300只，则两户余下的只数相等，两户各养鸡多少只？,解 析,看图分析,解 答,2700-300=2400（只） 1- = 2400（1+ ）=1500（只) 2700-1500=1200（只) 答：甲户养鸡1500只，乙户养鸡1200只。,甲户养鸡:,乙户养鸡:,例6. 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的 ，老三修了另外三人总数的 ，老四 修了91米，问这条路长多少米？,解 析,统一单位：以总路程为单位“1” 老大修了总路程的 老二修了总路程的 老三修了总路程的 =420（千米） 答：这条路长420米。,例7. 哥哥和弟弟共有人民币108元，哥哥用去自己钱数的75，弟弟用去自己钱数的80，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？,解 析,哥哥的钱（1-75%）=弟弟的钱（1-80%） 哥哥的钱25%=弟弟的钱20% 哥哥的钱：弟弟的钱=4:5 哥哥：10.8（4+5）4=4.8（元） 弟弟：10.8-4.8=6（元） 答：哥哥原来有4.8元钱。,分数百分数应用题抓不变量,解决分数百分数应用题的基本步骤,1.要找准单位“1”2.是要看所给“量”3.要决定乘除法4.是乘法知道“1” 5.要除法求出“1” 6.是“量”“率”要对应 特别提示：画线段图是解题的关键，画图时，要先画单位“1”,典型例题精讲,例1 .小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书总数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3。两人一共有图书多少本？,解析,小强借给小明20本之前； 小强和两人图书的本数比是: 60%=3:5 小强借给小明20本之后； 小强和两人图书的本数比是: 2+3=5 2:5 20（3-2）=20（本） 共有书：205=100（本）,例2. 一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？,解析,刚进来时，100千克葡萄含水量99% ，葡萄干的含量是1-99%=1%， 1001%=1（千克） 过一段时间后，测得含水量为 98%，葡萄干的含量是1-98%=2%，葡萄干的质量不变，12%=50（千克） 答：这时葡萄的质量是50千克。,例3. 某校六年级上学期男生占总人数的54，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人数的48。现在有男生多少人？,解析,方法一：男生人数和女生人数都在变，只有六年级的总人 数不变，本学期转进3名女生，转走3名男生之前，男生占总人数 的54%，转走之后男生占总人数的1-48%=52% 总人数： 3（54%-52%）=150（人） 现在男生：15052%=78（人）,解析,方法二：用比例解决 解设：六年级有学生X人，男生54%X,女生46%X. (54%X-3）：（46%X+3）=52%：48% 200X=30000 X=150 现在有男生：15052%=78（人）,行程问题相遇问题,知识点梳理,解答行程问题的基础，在于正确理解并掌握速度、时间、路程三种量之间的如下关系： 路程 = 速度时间 S= VT 时间 = 路程速度 T=SV 速度 = 路程时间 V=ST相遇问题是行程问题中的一种类型，解答相遇问题要紧紧抓住“速度和”这个关键条件。相遇问题的基本关系是： 速度和相遇时间 = 路程 路程 速度和 = 相遇时间 路程 相遇时间 =速度和 速度和一甲速度 =乙速度,典型例题精讲,例1. 甲、乙两列火车从相距824千米的两城相向出发，6小时以后还相差200千米没相遇，甲车每小时行48千米，求乙车每小时行多少千米？,解析,解：824-200=624（千米）6246 = 104（千米）104-48 = 56（千米）答：乙车每小时行56千米。,例2.甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点32千米处相遇,求A、B两地间的距离是多少千米？,解析,甲、乙两车的速度差：56-48=8（千米） 甲、乙两车的路程差：322=64（千米） 甲、乙两车的相遇时间：648=8（小时） A、B两地间的距离：（56+48）8=832（千米） 答：A、B两地间的距离是832千米。,例3. 甲村，乙村相距6千米，小张和小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一个村后马上返回）。在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇，问小王和小张的速度各是多少？,看图解析,解答,二次相遇，小张和小王一共行了三个全程：63=18千米行驶一个全程用40分钟，行驶三个全程共403=120分=2小时小王行驶的路程是6+2=8千米，用2小时，小王速度是：82=4千米小张2小时行驶18-8=10千米，小张的速度是：102=5千米。 答：小王速度的速度是每小时行驶 4千米，小张的速度是每小时5千米。,例4.甲、乙两人分别同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地120米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距B地150米处再次相遇，求A、B两地之间的距离。,看图解析,甲、乙二人两次相遇一共走了三个全程。第一次相遇距离A地120米，说明甲乙走一个全程时，甲走120米，速度不变，走三个全程，甲共走1203=360米。走一个全程多150米 。 360-150=210米 答:求A、B两地之间的距离是210米。,例5. A、B是圆的直径的两端点，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点有80米，在D点第二次相遇，D点离B点有60米，求这个圆的周长?,看图解析,甲、乙二人走半个圆时，第一次相遇，甲走80米，相遇后，又走一个圆，二次相遇，共走3个半圆，甲走803=240米，走了一个半圆多60米，所以半圆长240-60=180米，圆周长1802=360米,例6.小张与小王分别从甲乙两地同时出发，在两地之间往返行驶（到达另一地后就立即返回），他们在离甲地3.5千米处第一次相遇，在离乙地2千米处第二次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙地多远？（相遇指迎面相遇）,看图解析,解答,二次相遇时，小张行了:3.53=10. 5千米相距:10.5-2=8. 5千米 两人第四次相遇,共行24-1=7个全程 小张行了:3.57=24.5千米 24.58.5=2个全程余7.5千米即第四次相遇时,小张行了两个全程多7.5千米，第四次相遇点与乙的距离:8.5-7.5=1千米,例7. 甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是多少米？,看图解析,甲、丙的路程差：（60+75）4=540米 甲、丙速度差： 90-60=30米甲乙相遇时间： 54030=18分全长：（90+75）18=2970米,练习： 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是5:4，相遇 后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么A、B两地相距多少千米？,行程问题追及问题,知识点梳理,运动的物体或人同向而不同时出发，或不同地点出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发者。这样的问题叫做追及问题。 追及问题的三要素：“追及路程”、“速度差”和追及时间。追及问题的基本关系是： 追及路程速度差追及时间 速度差追及时间追及路程 追及路程追及时间速度差,典型例题精讲,例1. 妹妹以每分钟40米的速度从家步行去学校，哥哥比她晚8分钟骑自行车从家出发去追妹妹，哥哥每分钟骑行200米，哥哥几分钟可以追上妹妹？,解析,路程差：408320（米） 速度差： 200-40=160（米/分钟） 解：320（200-40）2（分钟） 答：哥哥2分钟可以追上妹妹。,例2. A、B两地相距1200米。甲、乙两个人分别从两地同时出发。若相向而行，8分钟相遇；若同向行走，60分钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多长时间？,（和+差） 2=大数,（和-差） 2=小数,解 析,例3.两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南1350米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。同时出发10分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。,解 析,速度和：135010=135（米） 速度差：135090=15（米） 甲的速度：（135+15）2=75（米） 乙的速度：135-75=60（米） 答：甲、乙二人的速度分别是每分钟走75米和60米。,例4.上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几时几分？,解 析解法1,小明8:08从家出发 爸爸8:16从家出发 爸爸的速度是小明的几倍：（48）43爸爸走4千米所需的时间：8（3-1）4（分钟）爸爸的速度：441（千米/时） 解：爸爸所用的时间：（448）116（分钟） 161632（分钟） 答：这时是8时32分。,解 析解法2,图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上：小明走了 ： 8-44（千米）爸爸骑的距离： 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8324（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了41216（千米）.8分钟少骑行24-168（千米），可以得到摩托车的速度是88=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.881632.所以这时是8点32分。,例5. 从时针指向4点开始，在经过多少分钟时针正好与分针重合？,看图分析,解析：指向4点时,时针和分针角度差：430-0=120度可以当做行程问题分针每分走360125=6度,时针每分走3060=0.5度速度差为6-0.5=5.5度1205.5=240/11分钟再经过240/11分重合,例6. 马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为18千米/小时。马路边的人行道上有甲、乙两个人在练长跑、甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一刻，汽车追上了甲，6秒后汽车离开了甲。半分钟后，汽车遇上了迎面跑来的乙，又过了2秒，汽车离开了乙，问，再多少秒后，甲乙两个人相遇。,看图解析,解析,先把“车速”化为每秒1810003600=5（米）甲的速度为每秒：5-156=2.5（米）乙的速度为每秒：152-5=2.5（米）汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（5-2.5）（0.5602）=80（米） 甲、乙相遇时间：80（2.52.5）=16（秒）,例7. 如图,一个圆周长为90厘米，3个点把这个圆周三等分，3只爬虫A、B、C分别在这3个点上，它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？,解 析,A第一次和B相遇时间：30(10-5)=6秒， 以后每次相遇时间间隔为 ：90(10-5)=18秒， 所以A、B相遇的时间6,24,42,60,78,96,114,132,。 B第一次和C相遇时间：30(5-3)=15秒, 以后每次相遇时间为 90(5-3)=45秒, 所以B、C相遇的时间为15,60,105。 所以3只爬虫出发后60秒第一次到达同一位置。,例8.快、中、慢三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每分钟行400米，中车每分钟行320米，那么，慢车每分钟行多少米？,看图分析,2400,3200,骑车人4分钟 800米,行程问题-流水行船,知识点梳理,（一）基本概念 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。古语：“逆水行舟不进则退” 船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程 。水速：是指水在单位时间里流过的路程 。顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。,(二）计算公式,流水行船问题，是行程问题中的一种 。三个量（速度、时间、路程）流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（1） 逆水速度=船速-水速.（2） 由公式（1）得：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2） 得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）2。,典型题,例1. 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。,解 析,顺水速度：2088=26（千米/小时） 逆水速度：20813=16（千米/小时）船速：（26+16）2=21（千米/小时） 水速：（2616）2=5（千米/小时） 答：船在静水中的速度和水流速度。,例2. 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？,解： 从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/时）， 甲乙两地路程：188=144（千米）， 从乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小时）， 返回时逆行用的时间：1441212（小时）。 答：从乙地返回甲地需要12小时。,例3.甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？,解： 轮船逆流航行的时间：（35+5）2=20（小时）顺流航行的时间 ：（355）2=15（小时）轮船逆流速度：36020=18（千米/小时）顺流速度：36015=24（千米/小时）水速：（2418）2=3（千米/小时）帆船的顺流速度：12315（千米/小时）帆船的逆水速度：123=9（千米/小时）帆船往返两港所用时间：36015360924+40=64（小时）。,河流中相遇问题,车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。 路程=时间速度和 在河流中甲、乙两船速度和。推导：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速） =甲船船速+乙船船速。结论：两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。,水上追及问题,车辆同向：路程差=速度差时间 两船同向：路程差=船速差时间推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。结论：水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。,如果两船逆向追赶时，也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。,例4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？,解 析,速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度解：路程差船速=追及时间24=0.5（小时） 答：他们二人追回水壶需用0.5小时 。,例5.甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？,解 析,解：相遇时用的时间336（24+32）=33656 =6（小时）。追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336（3224）42（小时）。,例6.一只小船从A地到B地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米，求AB两地间的距离。,看图解析,解 析,例7.一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？,解 析,平时 ： T逆:T顺=2：1，所以, V逆:V顺=1：2， 设平时水流速度为V水，所以平时逆水航行速度为8-V水， 平时顺水航行速度为 8+V水， （8-V水）：（8+V水）1：2，所以V水8/3km/h， 暴雨时：水流速度为：2V水=16/3km，所以逆水航行速度为：8-2V水=8/3km/h，顺水航行速度为：8+2V=40/3km/h，V逆:V顺=1：5，T逆:T顺=5：1， T逆=9（1+5）5=7.5小时， 8/37.5=20千米 答：甲乙两港相距20km。,例8. 有甲、乙两船，甲船和漂流物同时从河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？,看图解析,解 析,因为漂流物的速度就是水流的速度，甲船顺水航行，速度=船速+水流的速度，4小时相距100千米，就是船在静水中的速度，就是船速。而乙船12小时与漂流物相遇，乙船是逆水行驶，与漂流物的速度和就是乙船的速度。乙船在静水中行驶的路程就是河长。 解：船速：1004=25(千米) 河长：2512=300(千米) 答：河长是300千米。,工程问题一般工程问题,知识点梳理,1、计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。2、工程问题中有整数应用题和分数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。 3、分数工程问题的特点：一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位“1”表示。 4、工程问题的基本数量关系式： 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率,典型例题精讲,例1. 生产一批零件，甲单独做需要15天，乙单独做需要12天，丙单独做需要10天，如果甲、 乙、丙三人合做，多少天可以完成？,解 析,把一批零件看成单位“1” 甲工作效率： 乙工作效率： 丙工作效率： 三人合做需要的天数： 答：甲、 乙、丙三人合做4天可以完成。,例2. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。 乙需要做几天可以完成全部工作？,解析,甲工作效率：乙工作效率：甲做3天完成的工作量：余下的由乙做需要的天数： （天） 答：乙需要做4天可以完成全部工作。,例3.一房屋由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成，现由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，共盖了这间房屋的 ，如果这间房屋由甲队单独盖，需要多少天完成？,解 析,工效和： 1 24=合盖2天： 2= 甲队的工作效率 ：（ - ）（6-2）=甲队单独盖所用的天数：1 =60天,例4. 某工程先由甲单独做40天，再由乙做28天就可以完成。现在甲乙合作35天就完成了，如果先由甲单独做30天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？,解 析,甲乙工作效率和：甲的工作效率： 乙的工作效率：甲做30天完成的工作量：剩下由乙做需要的天数： 答：乙还要工作42天才能完成。,例5.一项工程甲单干50天完成，乙单干75天完成，两人一起合作，中间乙休息了几天，这样从开工到完成共用了40天，求乙休息了几天？,解析,甲的工作效率：乙的工作效率：甲40天完成的工作量：乙完成的工作量：乙工作的天数：乙休息的天数：40-15=25（天）,例6.一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需30天完成，两队合作期间甲队休息了3天，乙队也休息了若干天（两个队不能同时休息），结果用16天完成任务，乙队休息了多少天？,解 析,甲的工作效率：乙的工作效率：甲工作的天数：16-3=13（天）甲13天完成的工作量：,乙完成的工作量： 乙工作的天数： 乙休息的天数：,例7.有甲乙两项工作，张明单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李亮单独完成甲工作要用8天，单独完成乙工作要用20天。如果每项工作都可以由两人合做，那么这两项工作都完成最少要多少天？,解 析,张明完成甲的工作效率：张明完成乙的工作效率：李亮完成甲的工作效率：李亮完成乙的工作效率：共同完成甲工作效率和：共同完成乙工作效率和：,张明和李亮完成甲工作：张明和李亮完成乙工作：共需要的天数：李亮完成甲工作，张明完成乙工作张明8天完成的工作量：剩下的工作共同完成：需要的天数：8+4=12（天）,方案一,方案二,例8. 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的 ，乙只能完成原来的 。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？,解 析,甲的工作效率：乙的工作效率：合做时甲的工效：合做时乙的工效：甲乙合做时的工效：,解设：甲乙合做X天。 答：甲乙合做5天。,例9. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？,解 析,甲的工作效率：乙的工作效率：丙的工作效率：把整个工作量看做“2”完成需要的时间：,甲8小时完成的工作量：丙帮助甲用的时间：丙帮乙所用的时间：8-3=5（小时）,答：丙帮助甲3小时，帮助乙5小时。,速算与巧算-分数拆分,识点梳理一、简便计算方法：,二、裂项求和的规律：,典型例题精讲,例1.,解 析,例2.,解 析,例3.,解 析,例4.,解 析,例5.,解 析,例6.,解析,例7.,解 析,例8.,找规律,例1.,的积中有多少个奇数字，多少个偶数字？,思路分析：如此大的因数，不可能按一般方法列竖式去乘，一定存在着某些规律，使问题得到简化。 我们可以从“简单”入手去寻找规律：,不难发现：积中有数字1、0、8、9，其中1和8的个数相同，比左边因数中1的个数少1，积中0和9只有1个。 所以,积中有700个奇数字，有700个偶数字。,例2. 一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，那么1997第1次出现在第几项？,思路分析：这个数列中1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，1996就有1996个。 11996这些自然数中一共的个数是：,利用等差数列求和公式：,可得,说明1996这个自然数结束后，这个数列中已有1993006个数，1997第1次出现在它后面，所以1997第1次出现在第1993007项。,例3. 计算,思路分析：,根据这个规律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法进行简算。,例4. 已知最简分数可以表示成：,试说明分子m是1993的倍数。,思路分析：此题所有加数的分母是个自然数列，调整一下写，可以是,从这个结果看，无论括号中的结果是一个什么样的分数，根据分数乘以整数的计算法则，知道积的分子m一定是质数1993的倍数。,例5. 在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上 和 ，如图（1）。第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点所标两数的和，如图（2） ，。第三次把4段圆弧再二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图（3）， 。如此继续下去，当第八次标完数之后，圆周上所有已标的数的总和是多少？,思路分析：第一次等分和是,第二次等分和是,第三次等分后，和是,第四次等分，,各次总和分别是,每一次总和都是上一次的3倍，因此和是一个公比是3的等比数列。,例6. 如下图,虚线框中的9个数的和恰好是162，请你像这样用一个长方形框出9个数，其和恰好是1998，其中最大的数是多少？,思路分析：,作业：1. 把自然数中的偶数2，4，6，8依次排成5列（如下面所示），把最左边的一列叫做第一列。 第1列第2列第3列第4列第5列 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26问：数“1986”出现在第几列？,所以1986出现在第2列。,数论问题,知识点梳理,我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。,一、 整除的特征：（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.（3）5的倍数特征：末位数是0或5.（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.（6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.,二、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。 唯一分解定理：那么N的因数个数n=（1+p1）(1+p2) (1+pn) 三、辗转相除法 辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。 就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。,典型例题精讲,例1. 9600共有多少个因数？,解 析,9600= 因数个数=（7+1）（1+1）（2+1） = 48（个）,例2. 七位数A1994BC能被9, 5和8整除，试确定数字A、B、C的值。,解 析,（1）此七位数可被5整除,则个位必须为0或5; 此七位数又可被8整除,则个位数C一定是0. （2）七位数可被8整除,则后三位数4B0可被8整除, 故B只能为0、4或8。 （3）七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除. 故当B=0时,A=4; 当B=4时,A=9; 当B=8时,A=5. 所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。,原数：A1994BC,例3. 求2821和1519的最大公因数。,解 析,辗转相除法求最大公因数28211519=1130215191302=12171302217=6（2821,1519）=217,例4.有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个数最小是多少？,解 析,设这个数为X, X4=A1 X5=B4 X7=C2 每个算式中，每次商减一，余数就增加一个除数，这样可以得到同余是“9”，再求4、5、7的最小公倍数是140，再加9等于149。,例5. 要使1858413552（ ）乘积的末五位数都是0，（ ）中应填入的自然数最小值是多少？,解 析,要使乘积末五位都是0，就要使这五个因数中有5个2和5个5。所以要把这四个数分解质因数，看缺少几个5和几个2，括号里就填出它们的乘积。 解: 185=537 共有4个2和2个5 135=527 缺少3个5和1个2 84=2221 5552=250 52=2213 答：括号里填250。,例6. 有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？,解 析,把三个数加起来的和减去50，把所得的差分解，可以求出这个整数。 70+110+160-50=290 290=2910 这个整数就是29。,例7. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?,解 析,每个瓶子称3次，所以把称量的结果之和除以3得到各称量一次的和。 8+9+10+11+12+13=63（千克）， 633=21 （千克）， 21= 19+2， 所以油重19千克，四只瓶子共重2千克， 每只瓶重25=0.5千克， 最重的是13-0.52=12千克。,例8. 商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？,解 析,因为拿走的一定是3的倍数，把所有的数加起来，再减去20才是3的倍数，所以，剩下的是20千克。 15+16+18+19+20+31=119千克 1+1+9=11 11不是3的倍数， 11-2=9 ， 9是3的倍数。 答：剩下的是20千克。,例9. 两个自然数的积是5766，这两个数的最大公因数是31，求这两个数。,解 析,两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积，所以，用它们的积除以最大公因数等于最小公倍数，再用最小公倍数除以最大公因数，将得数分解质因数，再乘以最大公因数就是所求的这两个数，注意讨论符合条件的数可能不止一组。 57663131=6 6=23=16 131=31, 631=186; 231=62, 331=93 答案有两组：31,186和62,93，,例10. 某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？,解 析,设2012有学生 人，2013年有学生 人， （y+x)(y-x)=101 101=1011 y=51 x+y=101 x=50 y-x=1 5151=2601（人）,最值问题,知识点梳理,一、积最大的规律（一）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相 等时，它们的积最大。用字母表示，就是： 如果a1+a2+an=b（b为一常数）， 那么，当a1=a2=an时，a1a2an有最大值。,由“积最大规律”，可以推出以下的结论：,结论（1）： 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n 边形）的面积为最大。 结论（2 ）：在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为 最大。（二）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然 数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大，而且不要出现1。,例如：当和是14时 （1） 14=2+2+2+2+2+2+2 2222222=128 （2）14=3+3+3+5 3335=135,（3）14=3+3+3+3+2 33332=162 （4）14=5+5+2+2 5522=100,二、和最小的规律,几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达就是：如果a1a2an=c（c为常数）， 那么，当a1=a2=an时，a1+a2+an，有最小值。 例如：面积为64的长方形和正方形 88=64 322=64 164=64推论： 由“和最小规律”可以推出，在所有面积相等的封闭图形中，以圆 的周长为最小。,典型例题精讲,例1. 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、 乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级 决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民 警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙 丁相距4000米，那么至少要增加_位民警,解 析,现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。 由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（500080004000）5001=35（名）。,例2. 如图所示，在一个正方体表面上，三 只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上， 它们爬行的速度相等。若要求它们同 时出发会面，那么，应选择哪点会 面最省时？ (小学数学奥林匹克预赛试题）,解 析,我们可将正方体表面展开，如图，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。 所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。故，O点即为三只蚂蚁会面之处。,例3. 有三条线段a、b、c，并且abc。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？,解 析,三个图的面积分别是： 三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（abc）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（ab）c这组数的值最接近。 故图（3）的面积最大。,例4. 某商店有一天，估计将进货 单价为90元的某商品100元 售出后，能卖出500个。已 知这种商品每个涨价1元，其 销售量就减少10个。为了使 这一天能赚得更多利润，售 价应定为每个_元。,解 析,卖价110时，利润为110-90=20元，售出500-1010=400个，盈利20400=8000元； 卖价120时，利润为120-90=30元，售出500-2010=300个，盈利30300=9000元； 卖价130时，利润为130-90=40元，售出500-3010=200个，盈利40200=8000元； 卖价150时，利润为150-90=60元，售出500-5010=0，可以盈利600=0； 综上所述得，当售价为120时，获得最大利润9000元。,例5. 有10个人各拿一只水桶，同时到 一个水龙头下接水。水龙头注满 第一、第二、九、十个人的 桶，分别需要1、2、3、9、 10分钟。问：如何安排这10个人 的排队顺序，可使每个人所费时 间的总和尽可能少？这个总费时 至少是多少分钟？,解 析,第一个人接水时，包括他本人在内，共有10个人等候，第二个人接水时，有9个人等候；第三个人接水时有8个人等候 第10个人接水时，只有他1个人等候。可见，等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少。因此，应当