复变函数PPT课件.ppt

1,复变函数与积分变换,授课人戴振宏烟台大学光电信息学院地址：科技馆 1217E-Mail: Tel: 13954524566 （Mobile）6901947 （O),2,为什么要学习这门课程？,目前整个人类知识分为三大学科门类（1）自然科学研究自然界万物基本变化规律的（2）工程技术利用已有科学知识进行技术实用化（3）社会科学研究社会发展变化规律的 实际上，每一门学科都有其研究对象和其内在的变化规律，其研究分为定性研究和定量研究，而要想真正理解研究对象的性质和规律，最终需要定量研究，这就离不开数学。数学的发展 1、数的概念： 自然数，整数，实数，有理数，无理数，奇数，偶数 人类对数学的认识，都是和实际应用联系在一起的，最先掌握的是自然数，当时是为了计数的方便，打猎的时候分配统计猎物。,3,为什么要学习这门课程？,而后在货物交易中发现，有时为了更好表达数量的减少引入了负数的概念。 随着社会发展，发现有些东西无法用整数表示，会出现非完整的一类对象，就引入了小数的概念即将整数扩展为实数，这些都是现实存在的。 随着人类对知识的进一步渴望，就想研究某类对象（即其物理量）随时间和空间的变化规律，为了描述这类物理量的变化情况，就引入了实变函数的概念f(x,t)， 为了获得这个函数,就需要研究此类现象遵循的规律，需要给这个规律赋予一个数学方程来表达，这就引入了数理方程的概念。这些方程往往是偏微分，积分方程或者线性方程和非线性方程。,4,为什么要学习这门课程？,2、函数的概念：function f(x), f(x,t)，初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 sin(x), cos(x) 双曲函数 sinh(x), cosh(x),5,为什么要学习这门课程？,特殊函数，如球谐函数，贝赛尔函数等函数y=f(x)的性质： （1）定义域，值域（2）奇偶性（3）单调性（4）周期性（5）极值性（6）极限和连续性,6,为什么要学习这门课程？,3、方程的概念 函数U(x,y,t) 边界条件 初始条件因此理工科的学生需要具备如下能力：（1）清晰的学科基本思想和概念（2）严密的数学知识，特别是应用数学（3）良好的英语水平（4）熟练的计算机应用知识,7,为什么要学习这门课程？,应用数学分为：初等数学（代数） 研究了数和函数的概念，包括：双曲函数，三角函数，指数函数，对数函数，幂函数，方程式解析几何立体几何高等数学 导数研究变化快慢， 微积分研究求和 级数进行分解 向量算法与场论，微积分方程）线性代数（处理矩阵和行列式，线性变换的）概率论和数理统计复变函数与积分变换数理方程计算方法和群论,8,第一篇 复变函数,第一章： 复数与复变函数 现在引入了复数的概念，为什么呢？ 人们在研究自然科学的时候，发现有些物理量不仅仅与大小有关，还有相位（即前后位置或者时间早晚）有关，比方量子力学中的态，电学中的交流电和通信中的信号，这些物理量不但有大小，还有相位（比方延迟），这就引进了复数的概念。,9,第一篇 复变函数,第一章： 复数与复变函数引入复数的概念后 电阻采用复阻抗表示为 R，电感由于电流比电压落后/2，复阻抗为为RL=iL，电容电流比电压超前/2，复阻抗为RC=- 则交流电下的欧姆定律为 U=I（R+ RC+RL）我们以前的数学中学过的实变函数与现在的复变函数都是以”变量“为研究对象的数学课程。实变函数的变量来自于“实数”集合复变函数中的变量来自于“复数”集合 本章的内容是：复数的概念 复数的运算 复变函数的概念及性质,10,1.1 复数,一、【概念】： 复数最早（十六世纪）是在二次，三次代数方程的求解中引入的。考虑二次方程其解为当 现在定义一个符号i，,复数,11,1.1复数,在以上的处理中，引入了一个虚单位i，并让i2=-1，这是最早复数的引入（所谓虚，就是指自然界中不存在的数）问题： 是否正确？通过以上的介绍，我们知道，一个复数总可以表示为一个实数与某个纯虚数之和也就是说，复数是由一对有序实数（x，y）表示出来的，上式也叫复数的代数式。,12,1.1 复数,二、【复数的几何三角表示】： 实数x：是用数轴上的点表示 复数z=x+yi：是一对有序实数（x，y）唯一确定，可用两个数轴表示出来当然要求两数轴无关（？）（通常用正交的两个数轴）这个双数轴就构成了一个面 复平面如果把x和y当做平面上的点坐标，复数z=x+yi就跟平面上的点一一对应起来。两个坐标轴分别叫实轴和虚轴在复平面上，复数z还与从原点O到z=x+yi所引的向量一一对应起来，因此，也可以用向量来表示复数 z=x+yi,13,1.1 复数,复数z=x+yi与“复平面”中的向量一一对应（两个自由度）因而也可改用极坐标和表示，引入复数的三角表示，因为它也给出了复平面上任意一点叫做该复数的模，记为|z|也即矢量的长度（Modulus） MOD(z)，反应了数的大小叫复数的辐角（argument）记做 Arg(z)，它反应了相位,这种表示有个问题，就是辐角的不唯一性,14,1.1 复数,通常约定在一个周期内定义辐角，即（0，2）表示为arg(z)，是Arg(z)的主值，或z的主辐角（注意：有两个点0和，其辐角没有明确的定义）,15,1.1 复数,三、【复数的指数表示】：复数由欧拉公式定义 上式叫复数z的指数表达式，欧拉公式可以利用指数级数展开证明的。我们刚才说了，有两个特殊点无法在复平面上表示出来，为了解决这个问题，扩充了复平面，建立一个测地投影模型,16,1.1 复数,三、【复数的指数表示】：复数平面上有限远点与球面上N点以外的 点一一对应， o点对应南极，无穷远点对应北极,17,1.1 复数,四、【复数的性质】：（1）复数相等 实部和虚部分别相等，但是复数不能比较大小，只有相等和不相等 但复数的模和辐角可以比较大小。（2）特殊的复数： 实数 x，纯虚数 iy， 虚单位i（3）复数的共轭 z*,本书的表示为,复平面,Z*,-,18,1.1 复数,五、【复数的运算】： 虚单位计算 （1.1) 共轭运算,19,1.1 复数,五、【复数的运算】：,20,1.1 复数,五、【复数的运算】：,21,1.1 复数,六、复数的四则运算和几何意义：复数的几何意义复数对应于复平面上的一个点复数等式对应于复平面上的一条曲线复数不等式对应于复平面上的一个面,22,1.1 复数,复数的几何意义（1）（2）（3）（4）（5）（6）,23,1.1 复数,六、复数的四则运算和几何意义：更多的复数不等式表示,24,1.1 复数,25,1.1 复数,26,1.2 复数乘幂和方根,一、【复数的乘幂】： 先前我们讲了复数的加减乘除运算，但是复数的乘除运算最好使用指数形式。原因？,27,1.2 复数乘幂和方根,28,1.2 复数乘幂和方根,二、【复数的方根】称满足 wn=z的复数W为z的n次方根，记做 即 取 复数即可以用实部和虚部表示出，实数的很多运算适合复数运算,29,1.2 复数乘幂和方根,二、【复数的方根】例子：Z8=1,30,1.2 复数乘幂和方根,二、【复数的方根】,31,1.3 平面点集,一、【区域的概念】 在解析函数论中，函数的定义域是满足一定条件的点集，称为区域，用B表示，数学上用不等式表示区域，等式表示曲线。,B,B,B,B,32,1.3 平面点集,一、【区域的概念】下面介绍几个概念（1）邻域：复平面上，以z0为中心，以任意小正实数为半径做一个圆， 内部的点的集合称为以z0为中心的邻域， 叫做去心邻域（2）内点：若z0 及其邻域均属于点集B，则称z0 为该点集的内点（3）外点：若z0 及其邻域均不属于点集B，则称z0 为该点集的外点（4）边界点：在z0 的每个邻域内，即有属于B的点，也有不属于B的点，则z0 为边界点。（5）边界：其全体构成边界,33,1.3 平面点集,（6）开集：全由内点构成的点集B（7）连通性：即点集中任意两点都可以有一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集（8）开区域：联通的开集称为开区域或区域B（9）闭区域：开区域加上边界线一起,34,1.3 平面点集,区域是各种各样的，常用不等式表示，采用大于或者小于表示的是开区域，使用大于等于或者小于等于表示是闭区域（10）区域边界的方向 如果沿着边界走，区域保持在左方，则走向称为边界的正向,35,1.4 复变函数,一、【定义】： 若在复数平面上存在一点集B（复数集合），对于B的每一点，按照一定的规律，有一个单值（或多值）复数值W与之对应则称W为z的函数复变函数f(z)Z为W的宗量（自变量）自变量z的定义域B记做 w=f(z) zB,36,1.4 复变函数,37,1.4 复变函数,以后的讨论中，如无特殊声明，均为单值函数在复变函数论中，着重研究的是解析函数二、【反函数与复合函数】,38,1.5 初等函数,一、【指数函数】： 运算法则与实变函数一样二、【对数函数】 指数函数的反函数 本书中,39,1.5 初等函数,例子：三、【幂函数】 例子：,40,1.5 初等函数,四、【三角函数】五、【双曲函数】,41,复变函数与积分变换,授课人戴振宏烟台大学光电信息学院地址：科技馆 1217E-Mail: Tel: 13954524566 （Mobile）6901947 （O),42,1.1 复数,五、【复数的运算】： 虚单位计算 （1.1) 共轭运算,43,1.1 复数,五、【复数的运算】：,44,1.1 复数,五、【复数的运算】：,45,1.1 复数,六、复数的四则运算和几何意义：复数的几何意义复数对应于复平面上的一个点复数等式对应于复平面上的一条曲线复数不等式对应于复平面上的一个面,46,1.1 复数,复数的几何意义（1）（2）（3）（4）（5）（6）,47,1.1 复数,六、复数的四则运算和几何意义：更多的复数不等式表示,48,1.2 复数乘幂和方根,一、【复数的乘幂】： 先前我们讲了复数的加减乘除运算，但是复数的乘除运算最好使用指数形式。原因？,49,1.2 复数乘幂和方根,二、【复数的方根】称满足 wn=z的复数W为z的n次方根，记做 即 取 复数即可以用实部和虚部表示出，实数的很多运算适合复数运算,50,1.2 复数乘幂和方根,二、【复数的方根】例子：Z8=1,51,1.2 复数乘幂和方根,二、【复数的方根】,52,1.3 平面点集,一、【区域的概念】 在解析函数论中，函数的定义域是满足一定条件的点集，称为区域，用B表示，数学上用不等式表示区域，等式表示曲线。,B,B,B,B,53,1.3 平面点集,一、【区域的概念】下面介绍几个概念（1）邻域：复平面上，以z0为中心，以任意小正实数为半径做一个圆， 内部的点的集合称为以z0为中心的邻域， 叫做去心邻域（2）内点：若z0 及其邻域均属于点集B，则称z0 为该点集的内点（3）外点：若z0 及其邻域均不属于点集B，则称z0 为该点集的外点（4）边界点：在z0 的每个邻域内，即有属于B的点，也有不属于B的点，则z0 为边界点。（5）边界：其全体构成边界,54,1.3 平面点集,（6）开集：全由内点构成的点集B（7）连通性：即点集中任意两点都可以有一条折现连接起来，且折线上的点全都属于该点集（8）开区域：联通的开集称为开区域或区域B（9）闭区域：开区域加上边界线一起,55,1.3 平面点集,区域是各种各样的，常用不等式表示，采用大于或者小于表示的是开区域，使用大于等于或者小于等于表示是闭区域（10）区域边界的方向 如果沿着边界走，区域保持在左方，则走向称为边界的正向,56,1.4 复变函数,一、【定义】： 若在复数平面上存在一点集B（复数集合），对于B的每一点，按照一定的规律，有一个单值（或多值）复数值W与之对应则称W为z的函数复变函数f(z)Z为W的宗量（自变量）自变量z的定义域B记做 w=f(z) zB,57,1.4 复变函数,58,1.4 复变函数,以后的讨论中，如无特殊声明，均为单值函数在复变函数论中，着重研究的是解析函数二、【反函数与复合函数】,59,1.5 初等函数,一、【指数函数】： 运算法则与实变函数一样二、【对数函数】 指数函数的反函数 本书中,60,1.5 初等函数,例子：三、【幂函数】 例子：,61,1.5 初等函数,四、【三角函数】五、【双曲函数】,第二章 导数,本章首先讨论复变函数的极限、连续、导数的概念，最后介绍了解析函数与调和函数。2.1 复变函数的极限定义： w=f(z）在z0的去心邻域内 有确定值 一个复变函数f(z)，其自变量z=x+yi可用一对实数表示，同样，函数本身也可以用两个二元实函数表示例子：即，复变函数可以归结为一对二元实变函数,62,第二章 导数,因此，实变函数的许多定义，公式和定理可以直接移植到复变函数论中定理一： 的充要条件定理二：,63,第二章 导数,2.2 复变函数的连续性定义： w=f(z）在z0的去心邻域内 都有定义则称f(z)在z0点连续如果f(z)在区域B内处处连续，则称f(z)在区域B内连续定理1：在z0处连续的两个函数的和、差、积和商（分母不为零）在该点仍连续定理2： 如h=g(z)在z0连续，w=f(h)在h0=g(z0)连续，那么在z0点连续。,64,第二章 导数,2.3 复变函数的导数定义： 设w=f(z）在区域B上定义的单值函数，若在B上的某点z0极限的去心邻域内存在，并且与 趋近于零的方式无关则称复变函数f(z)在该点可导此极限叫做函数f(z)在z0点的导数，记为复变函数的导数定义，在形式上跟实变函数导数定义一样，因此规则和公式是通用的,65,第二章 导数,注意：复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上是一样的，但是实质上却有很大的不同？原因所以复变函数 的可导是一种严格的多的要求现在特别考虑 的两种特殊方式，即沿平行于实轴方向趋近于零和沿虚轴趋近于零（1） 先沿实轴趋近于零，此时,66,第二章 导数,（2）沿虚轴趋近于零，此时 如果函数在z0点可导，则上述两个极限都存在且相等，否则违背可导的定义了，所以这个方程叫科希黎曼方程（CR条件）但是cR条件只是复变函数可导的必要条件，不是充分条件原因：此条件只能保证沿着两条特殊的路线逼近零时候，函数逼近同一极限，不能保证别的路径,67,第二章 导数,定理：函数可导的充要条件是 (1) 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的四个偏导数 都存在且连续，即在点（x,y)可微， (2) 满足C-R条件证明：见课本,68,第二章 导数,2.4 解析函数 一、定义：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z)在此点解析 如果在区域B上每一点都解析，则称函数在区域B上的解析函数，即f(z)求导后，在z0邻域内存在（无奇点）可见：函数在某一点解析，则比可导，反之却不一定成立例子：由CR条件可知，它仅仅在z0点是可导的，而在其它点均不可导由解析性的定义可知，它在z0点并且在整个复平面上处处不解析。,69,第二章 导数,这表明，函数在某点可导与解析不是等价的。 但是函数在某区域B上解析，则处处可导 因此，函数在某区域上可导 等价于 解析 由导数的运算法则可知，在某区域上解析的函数，经过加减乘除（分母不等于零）运算得到的函数在该区域上仍解析。二、函数解析的必要与充分条件 定理：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域B内解析的充要条件是 u(x,u)和 v(x,y)在B内可微分，并且满足C-R条件解析函数是一类具特殊性质的复变函数，在物理学中又在主要的用途。,70,第二章 导数,例子（1）讨论函数 的解析性以上四个偏导数都存在，并且满足由CR条件。故此函数在整个复平面上处处解析 （2） 四个偏导数都存在，且处处连续，但只是在x=0,y=0处CR条件才成立，因此由定义可知，该函数在整个复平面上处处不解析。,71,第二章 导数,例子（1）讨论函数 的解析性以上四个偏导数都存在，并且满足由CR条件。故此函数在整个复平面上处处解析 （2） 四个偏导数都存在，且处处连续，但只是在x=0,y=0处CR条件才成立，因此由定义可知，该函数在整个复平面上处处不解析。,72,第二章 导数,2.5 调和函数 定义：设二元实变函数H(x,y)在区域B内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程则称H(x,y)为区域B上的调和函数定理：若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u和v均为B上的调和函数 证明：在某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数【下一章证明】 因此f(z)的二阶导数存在且连续，并且CR条件成立 前一个式子对x求导，后一个式子对y求导，并且相加可以得到,73,第二章 导数,同理，前一个式子对y求导，后一个对x求导，可以得到即，u和v都是调和函数由于它们是同一个复变函数的实部和虚部，所以又特别叫做共轭调和函数。这得到一个结论：解析函数的实部和虚部都是调和函数，并由CR条件联系起来。推论： 设给定的二元调和函数，u(x,y)是解析函数的实部或者虚部，则可以求得其虚部，甚至整个复变函数方法：由v(x,y)的全微分式子 和CR条件得到,74,第二章 导数,（1） 曲线积分法：全微分的积分与路径无关，故可以选择特殊的积分路径，使积分容易计算例子：选择如下路径,75,第二章 导数,（2） 凑全微分法：把微分式子的右端凑成全微分显式，v(x,y)自然求出例子：如上,76,77,第二章 导数,（3） 不定积分法：此法是普适的例子：将上面第2式对y积分，x视为参数,78,第二章 导数,79,第三章 积分,积分在复变函数的研究中极为重要，本章将介绍复变函数的积分的概念、性质、和一个关于解析函数积分的柯西定理和柯西公式。3.1 积分的概念和性质 3.1.1 不定积分： 原函数：定义：在区域B上， 则称F(z)为f(z)在区域B内的原函数，且 F(z)+c也是f(z)的原函数 不定积分：区域B内， F(z)+c为函数f(z)的不定积分，即 复变函数的计算公式和实变函数是一样的，例如,80,3.1.2 定积分： 定义：设在复数平面上的某段光滑曲线上定义了连续函数f(z) f(z)沿曲线L从A到B的积分记为 将曲线L分段，每一小段上任取一点，做和为 则 称为沿此曲线的积分，即路径积分如果把复变函数用实部和虚部表示为这样复变函数的路径积分可归结为两个实变函数的线积分,第三章 积分,81,第三章 积分,这样所有的实变函数的线积分的性质也对路径积分成立从表面上看，复变函数的积分和实变函数是一样的，所以实变函数的积分公式完全适用于复变函数差别：复变函数积分是路径积分，沿着L路径走 实变函数的是线积分，沿着实数轴走所以，复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。例子： 计算积分如取I3 反方向积分为I4 ，结果为,82,第三章 积分,3.2 柯西定理： 本节讨论复变函数的积分值与积分路径的关系，主要介绍复变函数积分的重要定理柯西定理【1】单通区域情形 柯西定理：如果函数f(z)在闭单通区域 上解析，则沿着区域上任一分段光滑闭合曲线L有 证明：由于f(z)在区域 上解析,83,第三章 积分,对上式右端实部和虚部分别应用格林公式 将回路积分化成面积分，有由于u和v满足CR条件推出 推广：如果f(z)在单通区域B上解析，在边界上连续（表示可导满足CR条件）则,84,第三章 积分,【2】复通区域情形 有时，所研究的函数在区域B上并非处处解析，而是在某些点或者区域上不可导，即存在奇点。为了排除这些点，就要挖去，形成带孔的区域 所谓的复通区域柯西定理：如果函数f(z)在复通区域 内单值解析，则沿着区域内部任一分段光滑闭合曲线L有如下式子 积分均沿着境界线的正方向进行证明：由单连通柯西定理,85,第三章 积分,AB和BA, CD和DC对消于是有 总结起来：柯西定理说的是（1）闭单通区域上解析的函数沿境界线积分0（2）闭复通区域上解析函数沿所有境界线的正方向的积分和0（3）外境界线积分所有内境界线反方向积分的和结论：对解析函数来说，复变函数积分与积分路径无关，只决定初末点的值这与实变函数是一致的,86,第三章 积分,3.3 柯西积分公式定理：若f(z）在闭单通区域上解析，L为区域的境界线，z0为区域内任一点，则此公式将解析区域内的值与边界上的环路积分联系在一起证明此公式前，先证明一个积分 解：若围路不包括z0点，函数是解析的，则按照柯西定理，积分0 讨论L包围z0的情况 若n=0。，函数仍是解析的，积分0,87,第三章 积分,若n0，被积函数 在L所包围的区域内有一个奇点Z0我们把L变形为以该点为圆心而半径为R的圆周C，R是任意的，在C上,88,第三章 积分,证明柯西公式 与公式比较，只需要证明以z0点为圆心， 为半径做一个小圆按照柯西定理 上式右端令趋近于零，则由f(z)的连续性，因而有,89,第三章 积分,由于式左端与无关，故必有证明完毕结论：柯西公式将解析函数在区域内任一点的值用沿着边界线L的积分表示出来其中区域内的点是任意取的，如果把边界线积分变量改为 ，则,90,第三章 积分,3.4 解析函数的导数 一、定理：f(z)在区域内处处解析， z0为区域内任一点，那么简单证明： 由于z0是区域内部的点，积分变量是边界线上的点，所以 因此积分号下的函数 在区域上处处解析可导因此 对上式积分号内的函数依然是解析函数，当然原因还是 在边界点上这样反复求导，得到,91,第三章 积分,推论：如果一个函数在某点解析，那么它的各阶导数在该点仍然解析例子：计算 c是绕点i的正方向的闭合曲线解：cosz在复平面上处处解析由公式得到,92,第四章 级数,本章主要讲述复数序列，常数项级数，复平面上的函数项级数，幂级数，罗朗级数。为何学习这一章？原因： （1）自然规律数理方程积分方程，偏微分方程，微分积分方程。 解方程求解，往往比较复杂，如果将函数 展开为级数，如 的形式则微积分变得简单的，而边界条件往往限制了求和的项数，这样可直接得到解当然也可取前几项做为方程的近似结果这样复杂的函数的微积分变成了简单函数xn 的微积分了（2）有些函数往往比较复杂，这有将其分解为简单函数的级数和，便于对其性质进行直观的研究。,93,4.1 收敛序列和收敛级数： 定义：复数项级数每一项 wk=uk+ivk 复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题4.1.1 收敛序列 若对任意给定的0，总存在正整数N，当nN时， 成立则称复数序列 收敛于复数Z，记为 也称z为zn在 时候的极限否则称 是发散的。,第四章 级数,94,第四章 级数,4.1.2 收敛级数 称为级数和 复数项级数收敛的充要条件【一】柯西收敛判剧对于任一给定的小正整数，必有N存在，使得当nN时，式中p为任意正整数则称此级数式收敛的，即【二】绝对收敛 复数项级数各项的模组成的级数收敛 叫绝对收敛 原因：,95,第四章 级数,【三】函数项级数 其余各项都是z的函数如果在某个区域B上的所有点，级数都收敛 叫在区域B上收敛表述：如果N跟z无关，就把级数叫做在B上一致收敛如 收敛叫区域B上绝对一致收敛,96,4.2 幂函数：【概念】：如果级数各项都是幂函数，即这样的级数叫做以z0为中心的幂级数【收敛问题】 （1）达朗贝尔判别法则 收敛即（1）式绝对收敛引入记号就可说如 则幂级数（1）绝对收敛,第四章 级数,97,第四章 级数,(2)收敛半径 由上式可知，以z0为圆心，R为半径做一个圆则幂级数在圆内部绝对收敛，圆外发散这个圆叫做幂级数的收敛圆，R就叫收敛半径至于收敛圆上（R1）各点，幂级数是否收敛，需要根据具体情况判断。（3）根式判别法 如则（1）式绝对收敛此时 结论：幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛证明：R1是圆内任一点,98,第四章 级数,【三】幂级数和函数的性质定理：幂级数 的和函数f(z)在它的收敛圆内是解析的，且收敛圆内可以逐级求导，逐次积分证明： 在收敛圆内任取一点 ，取一个以z0为圆心的圆，半径为R1，稍小于R用有界函数 遍乘上式，z为边界上的点这级数仍在CR1上一致收敛，可以沿CR1 逐项积分应用柯西公式得到即幂级数的和可以表示为连续函数的回路积分，安柯西公式导数法则，必可以任意阶求导。因为收敛圆的内部是单通区域，所以幂级数在收敛圆内可以逐项积分。,99,第四章 级数,4.3 泰勒级数 任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，既然解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展开为复变项的泰勒级数定理： 设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内任意z点，函数可以展开为幂级数其中 CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆（目的是为了避开级数在CR上边界发散的问题）,100,第四章 级数,证明： 根据柯西公式，对圆内任一点z，有 上式对上式逐项积分利用导数形式的柯西公式，得到,101,第四章 级数,定理：若f(z)在 |z-z0|R内解析，那么它在该圆盘内的泰勒级数展开对以z0为中心是唯一的。应用：在同一点展开的两个泰勒急速相等，则可以逐项比较系数由此可见，泰勒级数跟解析函数有着不可分的联系证明：假定有别的的展开方式,102,第四章 级数,例子： 求函数 以z00为中心的展开式可直接利用公式由于 可以直接得到结果 注意：一个解析函数展开为级数形式，一定要注明成立的条件，即解析函数只有在此收敛圆内才与展开级数等价例子： 记住几个常见的泰勒级数展开式，便于计算,103,第四章 级数,可以利用常见的公式进行级数展开 例子： 取z1幂展开，即展开中心为1,104,第四章 级数,4.4 罗朗级数 当所研究的区域上存在函数的奇点时，就不再能够将函数展开为泰勒级数这就需要考虑在除去奇点的环域上展开即本节所要讨论的洛朗级数【1】概念：什么是洛朗级数先考虑正幂项部分，它必有收敛半径R1，即|z-z0|R1再看负幂项部分引入一个新的变量则负幂项部分变为上式收敛也必须有个收敛圆 如果 R2R1则在 R2|z-z0|R1内绝对且一致收敛。,105,第四章 级数,其和为一解析函数此时R2R1则，级数处处发散，下面讨论环域上的级数展开【2】解析函数的罗朗展开 定理：设f(z)在环域的内部单值解析，则对环域上任意一点z其中积分路径L为位于环域内按逆时针绕内圆一周的任一闭合曲线。,106,第四章 级数,证明： 应用复通区域上的柯西公式，有 对CR2的积分可以直接利用以前的结果对于CR2上的积分,107,第四章 级数,令k=-n-1，则把两部分合并起来C为环域内沿逆时针方向内圆周的任一闭合曲线，这个结果称函数在环域内的洛朗展开,108,第四章 级数,几点说明：（1）尽管级数中含有（z-z0）的负幂项，而这些项在z=z0时候都是奇异的 但是z0点可能也可能不是函数的奇点（2）尽管展开形式如同泰勒级数，但是 无论z0是否是f（z）的奇点（3）如果只有环心z0是函数的奇点，内圆半径可以任意小，这时称为函数在 孤立奇点z0的邻域内的洛朗展开（4）如同泰勒级数一样，展开中心一定，则展开式唯一的,109,第五章 留数,本章主要介绍解析函数的孤立奇点的分类，留数的定义及其基本原理，留数的应用。5.1 孤立奇点：定义：设函数f(z)在z0的去心邻域内解析，而在z0点不解析则称z0为该函数的孤立奇点上节已经证明了，挖去孤立奇点而形成的环域上的解析函数可以展开为洛朗级数洛朗级数的正幂项部分解析部分 负幂项部分主要部分（无限部分）其中（z-z0）的负一次幂的系数 a-1具有特别重要的地位，因为专门起了一个名字叫函数在奇点z0点的留数。,110,奇点的分类： 在洛朗展开的负幂项部分分三种情况（微扰孤立奇点）（1）没有负幂项可去奇点（2）有限个负幂项极点（3）无限个负幂项本性奇点（1）如果z0是函数的可去奇点，则展开级数为 这个值是有限的，就是说函数在可去奇点的邻域上是有界的，可去奇点不作为奇点看待 例子： 可见 0/0型的函数对应的是可去奇点（2）如果z0是函数的极点，则 显然 m叫着z0点的阶，一阶的极点称为单极点。,第五章 留数,111,第五章 留数,（3）如果z0是函数的本性奇点则此时函数在z0点的极限值随z趋近于z0的方式而定如果函数在无限远点的邻域上是解析的则上式中负幂项叫着解析部分正幂项是主要部分但函数在无限远点的留数却定义为z的负一次z-1幂项的系数的反号，即 a-1,112,第五章 留数,5.2 留数定理 柯西定理指出，如果被积函数在回路L所围区域上解析，则如果L包围着函数的一个孤立奇点z0，则在去心环域上，可以展开函数为由以前的关系可知上式两边除k=-1项外均为零即留数（或残数）记为 这样上式积分如果L包含n个孤立奇点,113,【1】这样我们得到留数定理 设函数在回路L所围的区域B上除有限个孤立奇点外都是解析的，在边界上连续，则 以上讨论限于有限远点，如果包含无限远点，可得到函数在全平面上的各点的留数之和等于零这里奇点包括无限远点和有限远的奇点。,第五章 留数,114,第五章 留数,【2】留数的计算 一般原则来讲，把函数在环域上展开为洛朗级数，取它的负一次幂的系数即可但是，如果能不做展开，而直接计算留数更方便（1）如z0是函数的单极点 则 上述可计算单极点留数，也可判断z0是否是函数的单极点若P(z),Q(z)都在z0点解析，但z0是Q（z）的一阶零点 p(z0)不等于零则,115,第五章 留数,（2）如果z0是m阶极点利用上式可以判断z0是否是m阶极点以上介绍了留数的计算方法总结：利用留数定理计算回路积分的步骤（1）判断极点类型（2）计算留数（3）利用留数定理计算积分,116,第五章 留数,例子：计算留数（1） （2）,117,第五章 留数,5.3 留数定理对定积分的应用： 留数定理的一个重要应用时计算实变函数的定积分要点如下： 定积分 可以看做是复平面上实轴上的一段L1 （1）利用自变量变换，把L1变换为某个新的复数平面上的路径 （2）另外补上一段L2，构成围路积分 （3) 把f（x）解析延拓到闭区域B，将 f(x)f(z）下面介绍一种特殊类型的实变函数定积分,118,第五章 留数,类型1： 被积分函数是三角函数的有理式做变量代换 这样，x由0到2Pi，相当于z绕着|z|=1逆时针走一圈实变函数积分化为复变函数回路积分，可以使用留数定理dz=exp(ix)idx izdxdx=(1/iz)dz,119,第五章 留数,例子： 求积分两个单极点,120,第五章 留数,类型2： 被积分函数f(x)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外都是解析的，则当z趋近于无穷时，zf(z)趋近于零如果f(x)可以写成有理分式意味着分母无实零点，分母的幂次至少高于分子两次幂，以保证z趋近于无穷时候，函数f(z)是收敛的证明：,121,第五章 留数,例子： 求积分,122,第五章 留数,类型3： 函数F(x)是偶函数，G(x)是奇函数，且在实轴上无奇点，以保证被积函数是偶函数，当满足z趋近于无穷时，F(z)和G(z)趋近于零则证明右边第二个积分做代换，x=-y，考虑F(x)是偶函数，得到,123,第五章 留数,从上式看到，所求积分化为类型2，本来要求z趋近于零时，zF(z)exp(imz)和zG(z)exp(imz)趋近于零。但是由于被积函数有三角函数，所以引用约当引理后，条件可以放宽，只要求F(x),G(x)在z趋近于无穷时候趋近于零即可。类型4 如果实轴上有单极点,124,第五章 留数,例子：求 的上半平面的留数 两个奇点，在上半平面只有一个z=i例子： 在上半平面无奇点，在在z=0上有，利用类型4，可求的,125,第二篇 积分变换,积分变换：通过积分运算把一个函数变成另一个函数目的（1） 可能将微积分运算转化为初等代数运算 （2） 利用已知函数来分析一个函数内在的特征信息 （3） 便于解数学物理方程 本书主要介绍两种： （1）傅里叶积分变换 （2）拉普拉斯积分变换第一章： 傅里叶变换本章将介绍：傅里叶级数，傅里叶积分，傅里叶变换及其性质，函数的傅里叶变换,126,第一章 傅里叶积分变换,1.1 傅里叶级数 上一篇第四章介绍了幂函数，可以对一个函数做展开 但如果某一函数具有周期性，则幂函数展开将体现不出周期性，这样希望用一种周期性函数对其展开傅里叶级数展开【一】周期函数的傅里叶展开 若函数f(x)以2L为周期，即 f(x+2L)=f(x)则可以取三角函数族 周期为2L，将函数展开为级数,127,第一章 傅里叶积分变换,为什么要用三角函数族，原因是，其为正交的，即利用三角函数的正交性，得到展开系数,128,1.1傅里叶级数,关于傅里叶级数收敛性问题，有如下定理狄里希利定理：若函数f(x)满足 （1） 处处连续或在每一个周期中只有有限个第一类间断点 （2）在每个周期中，只有有限个极值点第一类间断点 （1） 可去间断点 （2） 跳跃间断点第二类间断点：（1） （2） 不存在，且点x0邻域内振荡变化振荡间断点,129,1.1傅里叶级数,【二】定义在有限区间上的函数的傅里叶展开如果函数f(x)只定义在 （0，L）区间上可采用延拓的方法，使其成为某种周期函数g(x)而在区间（0，L）上，g(x)=f(x)然后再对g(x)做傅里叶展开其级数和在区间（0，L）上代表f(x)区间以外呢？到底采用那种延拓，要看f(x)在（0，L)上的边界条件一般情况下：如f(x)在边界上无定义，则可有无数种延拓方法，他们在（0，L)区间上均代表f(x).,【三】复数形式的傅立叶级数 由于 可以用复数给出，如因此可用 作为函数族，周期也是2L,（1）,1.1傅里叶级数,利用复指数函数族的正交性，,求得证明 乘（1）式，并积分,1.2 傅立叶积分与傅立叶变换,（一）实数形式的傅立叶变换 设f(x)为定义在区间 一般来说，它是非周期的，不能展为傅立叶级数 为了研究这样的饿函数的傅立叶展开问题采取如下办法： 将非周期的函数f(x)看作是某个周期函数g(x)于周期 的极限情况-,即为非周期的函数f(x)的傅立叶展开 引入不连续参量 （n=0,1,2),傅立叶系数为,1.2 傅立叶积分与傅立叶变换,将 代入 然后取 的极限,对于系数a0，有 有限，则a0 =0余弦部分为,1.2 傅立叶积分与傅立叶变换,正弦部分为于是 式在 时的极限形式是,傅立叶积分,傅立叶变换,上式还可以写成,称为f(x)的振动谱 称为f(x)的相位谱,1.2 傅立叶积分与傅立叶变换,（二）傅立叶积分定理 若函数f(x)在区间 满足条件（1）f(x)在任一有限区间上满足狄里希利条件 （2）f(x)在 上绝对可积（收敛） 则f(x)可以表示成傅立叶积分，如果x为间断点时，傅立叶积分值为,（三）复数形式的傅立叶积分 很多情况下，复数形式的傅立叶积分比实数形式使用起来更方便,1.2 傅立叶积分与傅立叶变换,1.2 傅立叶积分与傅立叶变换,代入,复数形式傅立叶积分,1.2 傅立叶积分与傅立叶变换,其中 F()=对于 将 代入得对于,为任意值 复数形式的傅立叶变换式,1.2 傅立叶积分与傅立叶变换,上述公式写成对称的形式 原函数 像函数 通常用 表示这种变换逆变换 表示变换 如,例子：由2N个正弦波组成的有限正弦波列 是奇函数，展开有 项,可以看出，有限长的正弦波列并非频率为 的单色波，而是集中在 左右， 范围的多种频率成分的波。波列越长（N越大），圆频率分散的范围 越小，即噪音越少,（2）求高斯分布函数 的谱频分析,1.2.2傅立叶变换的基本性质,为叙述方便，以下假定f(x)的傅立叶变换存在，且记 1线性性质 2微分性质 （n=0,1,2.）,证明：,依次类推可得到n阶微分算符,3 积分定理证明 记 对 应用微分定理以上两条定理很重要，它告诉我们，原函数的求导和积分运算，经傅立叶变化后，变成了像函数的代数运算,例子,根据基尔霍夫定律 方程为,4相似定理证明 取,【5】延迟定理 证明: 取 【6】位移定理 证明：,【7】卷积定理 若 则 其中 称为 与 的卷积重叠程度,证明：做代换 则【8】功率定理【9】自相关定理,例子：解微分方程,例解：,1.3 函数,（一）定义：积分表达式将自变量x平移到x0得到（二）函数的一些性质：（1） 是偶函数其导数是奇函数其积分？（2）称为阶跃函数，是 的原函数,（3） 函数的挑选性： （ 函