[高三数学]复习PPT课件 计数原理排列与组合.ppt

第一章 计数原理,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,狐狸想 从草地逃到小岛，可以走水路,也可以走陆路，走水路有2艘船，走陆路有3辆车子，问：乘坐这些交通工具,一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到小岛,狐假虎威后续,安全地,引例1:,草地,狐狸总共有多少种方法逃到安全地？,草地到安全地,2类,能,2种 3种,2+3=5种,水路2 种,陆路3 种,如果狐狸还有4辆自行车可以选择呢?,2+3+4=9种,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,一般归纳： 完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法.,分类加法计数原理,例1:书架的第一层有6本不同的数学书,第二层有7本不同的英语书,第三层有10本不同的语文书,现想从书架上取一本书,共有多少种不同的方法？,加问：若第四层中还有本不同的物理书，第五层中还有本不同的生物书，又会如何呢？,从书架上拿一本书,有三类方法,能,6种,7种,10种,6+7+10=23种,40种,狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从小岛逃回到自己的房子（安全地）,狐假虎威后续,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到自己的房子（安全地）,狐假虎威后续,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,引例2:,草地到安全地,2步,不能,5种 2种,52=10种,a1a2 a3 a4 a5,b1 b2,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情有 N=m1m2mn种不同的方法.,分步乘法计数原理,例2:书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本不同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现从书架第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种不同的方法？,解：从书架,层各取一本,可以分成三个步骤完成：,第一步从第1层取1本数学书，有6种方法，,第二步从第2层取1本英语书，有7种方法，,第三步从第3层取1本语文书，有10种方法，,根据分步计数原理，得不同的取法有：,N=m1m2m3=6420,答:从书架的第,层个取一本书,有420种不同的方法,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,原理的联系、区别及特点：,分类法：相互独立，每种方法均能独立 完成这件事 分步法：各步骤中的方法相互依存，只 有各个步骤都完成才算完成这件事,：都要有一个确定的标准, 分类时要彻底, 无交叉, 分步时要恰到好处。,:都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。,联系,区别,特点,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,分类加法计数原理与分步乘法计数原理,例：某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？,第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种,1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：,第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6212种，,故共有20种不同的选法,10.2 排列与组合要点梳理1.排列 （1）排列的定义：从n个 的元素中取出m (m n)个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m（mn）个元素的 的个数叫做从n个 不同的元素中取出m个元素的排列数，用A 表示.,不同,顺序,所有不同排列,基础知识 自主学习,（3）排列数公式：A = . （4）全排列：n个不同的元素全部取出的 ，叫 做n个不同元素的一个全排列，A =n (n-1） （n-2）21= .于是排列数公式写成阶乘 的形式为 ，这里规定0！= .2.组合（1）组合的定义：从n个 的元素中取出m（m n）个元素 叫做从n个不同的元素中取出 m（mn）个元素的一个组合.,n(n-1)(n-2)(n-m+1),排列,n！,1,不同,合成一组,（2）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m n）个元素的 的个数，叫做从n个不同的元素中取出m（mn）个元素的组合数，用C 表示.（3）组合数的计算公式： = ，由于0！= ，所以 C = .（4）组合数的性质：C = ；C = + .,所有不同组合,1,1,基础自测1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（） A.9个B.24个C.36个D.54个 解析 选出符合题意的三个数有 =9种方法，每三个数可排成 =6个三位数， 共有96=54个符合题意的三位数.,D,2.已知1，2X1,2,3,4,5，满足这个关系式的集合X共有（） A.2个B.6个C.4个D.8个 解析 由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个. 故有 =8（个）.,D,3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥 运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加， 则不同的选派方案共有（ ） A.25种B.35种C.840种D.820种 解析 若选男生甲，则有 =10种不同的选法；同 理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都不选有 =5种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.,A,4.（2009湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（） A.85B.56C.49D.28 解析 丙不入选的选法有 =84（种）, 甲乙丙都不入选的选法有 =35（种）. 所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种.,C,5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（） A.36种B.48种C.72种D.96种 解析 恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第 三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共 =72种排法.,C,题型一 排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选其中5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻； （6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.,题型分类 深度剖析,思维启迪 无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法. 解 （1）从7个人中选5个人来排列， 有 =76543=2 520种. （2）分两步完成，先选3人排在前排，有 种方法，余下4人排在后排，有 种方法，故共有 =5 040种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.,（3）（优先法） 方法一 甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有 种方法，故共有5 =3 600种. 方法二 排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有 种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有 种方法，共有 =3 600种. （4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有 种方法，再将4名女生进行全排列,也有 种方法,故共有 =576种.,（5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有 种方法，故共有 =1 440种. （6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有 种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有 种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有 种方法，故共有 =720种.,探究提高 排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子.,知能迁移1 用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数： （1）奇数；（2）偶数； 解 （1）先排个位，再排首位，共有 =144（个）. （2）以0结尾的四位偶数有 个，以2或4结尾的四位偶数有 个，则共有 =156（个）.,题型二 组合问题【例2】 （12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.,思维启迪 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可用间接法.（4）分类.解 （1）第一步：选3名男运动员，有 种选法.第二步：选2名女运动员，有 种选法.共有 =120种选法.3分（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为 =246种.6分,方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.所以“至少有1名女运动员”的选法为 =246种. 6分（3）方法一 可分类求解：“只有男队长”的选法为 ；“只有女队长”的选法为 ；“男、女队长都入选”的选法为 ；所以共有2 + =196种选法.9分,方法二 间接法：从10人中任选5人有 种选法.其中不选队长的方法有 种.所以“至少1名队长”的选法为 - =196种.9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 - 种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有 + - =191种. 12分,探究提高 解组合题时，常遇到“至多”、“至少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.,知能迁移2 在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ （1）A，B必须当选； （2）A，B必不当选； （3）A，B不全当选； （4）至少有2名女生当选； （5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.,解 （1）由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有 =120种.（2）从除去的A，B两人的10人中选5人即可，有 =252种.（3）全部选法有 种，A，B全当选有 种，故A，B不全当选有 - =672种.,（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，有 =596种选法.（5）分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为 ；第二步：选2男1女补足5人有 种；第三步：为这3人安排工作有 .由分步乘法计数原理共有 =12 600种选法.,方法与技巧1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.3.对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误.,思想方法 感悟提高,一、选择题1.（2009辽宁理，5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（） A.70种B.80种 C.100种D.140种 解析 对此问题可分类：男2女1和男1女2，故总共有 =70种不同的组队方案.,A,定时检测,2.（2009北京理，7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A.324B.328 C.360D.648 解析 若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：当个位上是0时，共有98=72种情况；当个位上是不为0的偶数时，共有488=256种情况. 综上，共有72+256=328种情况.,B,3.高三（一）班学生要安排元旦晚会的4个音乐节目，2个 舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节 目不连排，则不同排法的种数是（） A.1 800 B.3 600C.4 320D.5 040 解析 4个音乐节目和1个曲艺节目的排列共 种. 两个舞蹈节目不连排，用插空法，不同的排法种 数是 =3 600.,B,4.摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排， 2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（） A.1 440种B.960种 C.720种D.480种 解析 2位老师作为一个整体与5名学生排队，相当于6个元素排在6个位置，且老师不排两端，先安排老师，有 种排法，5名学生排在剩下的5个位置,有 种，所以共有 =960种排法.,B,5.（2009广东理，7）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A.36种B.12种C.18种D.48种 解析 小张和小赵选派一人参加有 =24种方案，小张和小赵都参加有 =12种方案， 共有不同的选派方案24+12=36种.,A,6.2008年北京奥运会期间，计划将5名志愿者分配到 3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至 少分配一名志愿者的方案种数为（） A.540B.300C.150D.180 解析 每个场馆至少一名志愿者，相当于将5人分成三组，然后排列，三组的人数分别为3，1，1或2，2，1，这样,分组方法共有 种，然后三组进行排列，有 种. 所以共有 =150种方案.,C,二、填空题7.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 种. 解析 甲、乙排在一起，用“捆绑”排列，丙丁 不排在一起，用插空法，不同的排法共有 =24种.,24,8.宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为 .（用数字作答） 解析 可以先将五盏灯排列，然后将3盏将要熄灭的灯分成三组插空，共有20种不同的熄灯方法.,20,9.（2009浙江理，16）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）. 解析 当每个台阶上各站1人时有 种站法，当两个人站在同一个台阶上时有 种站法，因此不同的站法种数有 =210+126 =336（种）.,336,三、解答题10.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中 （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？ （3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ （4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解（1）只需从其他18人中选3人即可， 共有 =816（种）；,（2）只需从其他18人中选5人即可，共有 =8 568（种）；（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 =6 936（种）；（4）方法一 （直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有=14 656（种）.方法二（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 =14 656(种）.,11.已知平面 ，在 内有4个点,在 内有6个点. （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？ 解 （1）所作出的平面有三类： 内1点， 内2点确定的平面，有 个； 内2点， 内1点确定的平面，有 个； ， 本身. 所作的平面最多有 +2=98（个）.,（2）所作的三棱锥有三类： 内1点， 内3点确定的三棱锥，有 个； 内2点， 内2点确定的三棱锥，有 个； 内3点， 内1点确定的三棱锥，有 个.最多可作出的三棱锥有 =194（个）.（3）当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,且平面 ，体积不相同的三棱锥最多有 =114（个）.,