清华大学物理ppt课件力学第7章波动.ppt

1,第七章 波动,2,7.1 机械波的形成和特征,7.2 行波，简谐波,7.4 波动方程,7.3 物体的弹性形变,7.6 惠更斯原理,7.5 波的能量,7.7 波的叠加和驻波,7.8 声波,7.9 多普勒效应,*7.10 复波，群速度,*7.11 孤子,第七章 波动,3,7.1 机械波的形成和特征,一. 机械波的形成,t = T/4,t = T/2,t = 3T/4,t = T,t = 0,弹性绳上的横波,质元振动方向,4, 弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时， 媒质各部分间的弹性联系，会使振动传播， 这就形成了波动 机械波。, 波动是振动状态的传播，不是媒质的传播， 振动质元并未“随波逐流”。, 形成机械波的条件：波源 弹性媒质, “上游”质元依次带动“下游”质元振动。, 某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻 在“下游”某处出现。,5,二. 波的几何描述,波线：表示波的传播方向的射线（波射线）,波面：媒质中振动相位相同的点组成的面 （等相面）,波阵面：某时刻波到达的各点所构成的面 （波前）,6,三. 波的分类,按波的性质：机械波，电磁波等,按波线与振动方向关系：横波，纵波,按波面形状：平面波，球面波，柱面波,按复杂程度：简谐波，复波,按持续时间：连续波，脉冲波,按波形是否传播：行波，驻波,.,7,水的流动性和不可压缩性,水表面的波既非横波又非纵波：,横波模型、纵波模型、细弹簧纵波,【演示】,8,1. 波速 u ：,振动状态传播的速度,一般由媒质的性质和波的类型决定，在色散媒质中，还与频率有关。,2. 周期 T ：,一个完整波通过波线上某点所需时间，由波源决定（波源、观测者均不动时）。,频率,角频率,四. 波的特征量,注意：波速 u 不是媒质质元运动速度。,9,3. 波长 ：,波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离，由波源和媒质共同决定，反映波的空间周期。, 波数,方向：波的传播方向,大小：,10,7.2 行波，简谐波,某种物理量的扰动的传播称为行波。,一. 行波,11, 具有沿 +x 方向传播的性质。,同理 具有沿 x 方向传播的性质。,是行波波函数。,即, t 时刻 x 处的扰动在 t+t 时刻传到 x+x 处。,12,二. 简谐波,如果波传播的扰动是简谐振动，这样的波称为简谐波（余弦波，单色波）。,1. 一维平面简谐波的波函数,以在均匀、无限大、无吸收的（振幅不变）媒质中的机械横波为例，设：, 波沿 +x 方向传播, 波速为 u, x = 0 处质元振动方程,13,波函数为：,14,（复振幅）,（Re）,沿 -x 方向传播的波函数是什么？,【思考】,注意：上面波函数都假设了 x = 0 处质元振动 的初相位为0。,15,波在某点的相位反映该点质元的“运动状态”，,所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。,设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到 x +dx 处，有：, 简谐波的波速就是相速度。,相速度 up,16,2. 波函数的意义, x 一定，y t 给出 x 点的振动方程。, t 一定，y x 给出 t 时刻空间各点位移分布。,17,3. 如何求一维简谐波函数,波沿传播方向每增加 的距离，相位落后2：, 相位关系：某时刻某质元的相位（振动 状态）将在较晚时刻于“下游”某处出现。,18, 还需 3 条件：, 波的传播方向, 波长 （或 k, 或 u）, 某参考点 p 的振动方程：,19,【例1】,对 a 点左方的上游点，上式成立吗？,波长 ，沿 +x 方向传播，,已知 x = d 处的参考点 a 的振动方程为,波函数,【思考】, 任一点 x 的振动方程：,20,【例2】,求：反射波函数 y(x, t),解：,全反射， A 不变。,21,相位落后：,再考虑在反射壁 S 处，反射波相位突变 ，,l + (l x) = 2l x,波由 0 点经壁反射到 x 点传播的距离为：,22,【例3】,已知：沿 +x 方向传播的波在 x = 0点,解：,0点初相位为 -/2,的振动曲线如图示。,画 t = 0 时的波形图。,几何法,23,7.3 物体的弹性形变,自学中着重搞清：线变、切变和体变的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。,24,7.4 波动方程,一. 1 维波动方程,u 波速,它是线性方程，所以由若干一维简谐波线性叠加组成的任一平面波也是解。,25,二. 机械波波速 u 与媒质性质的关系,26,27,因为 G E，所以固体中,举例：地震波传播（P 波颠，S 波晃） 沙漠蝎子捕食,28,7.5 波的能量,一. 波的能量,振动有能量，振动的传播将导致能量的传播。,重要问题：, 媒质质元能量是如何变化的？ 能量传播的规律如何？,以弹性棒中的简谐横波为例来分析：,29,“质元”能量 = 形变势能 Wp + 振动动能 Wk,定性分析：形变大的地方，质元的形变势能和振动动能都相对较大。,30,“质元”的形变势能 Wp,31,“质元”的振动动能 Wk,32,质元总能量,振动系统：,系统与外界无能量交换。,波动质元：,每个质元都与周围媒质交换能量 能量传播。,33,能量密度,特征,上面各结果也适用于弹性棒中简谐纵波。“动能与势能同相位”对弦上的波、声波等也成立。,平均能量密度,34,平衡位置处（y = 0），能量密度 w 最大，最大位移处（y = A），能量密度 w 为零。,能量的传播,35,二. 波的强度,单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量。,波的强度 I ：, 媒质的 “特性阻抗”,等于平均能流密度，,（单位：W/m2）,平均能流密度 ：,36,平面波,球面波,柱面波,37,*三. 波的吸收,由于内摩擦、热传导、分子碰撞不可逆因素，波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。,定义吸收系数,设 = const. ， 对平面波：,38,空气：,钢：,空气中，低频波吸收弱，传播距离长， 超声波吸收强，传播距离短。,超声波探伤,对 的声波，强度如果要衰减到1，,只需通过 4.6mm 的空气，而钢则需 1.15m。,39,7.6 惠更斯原理,波在传播中，其传播方向、频率和振幅都可能改变。惠更斯原理给出的方法（惠更斯作图法）是一种处理波传播方向的普遍方法。,一. 惠更斯原理（1690）,媒质中任意波面上的各点，都可看作是发射子波（次级波）的波源（点源），其后的任一时刻，这些子波面的包络面（包迹）就是波在该时刻的新的波面。,40,惠更斯原理应用,由 t 时刻波面导出 t + t 时刻波面，进一步给出波的传播方向。,t +t 时刻波面,t 时刻波面,平面波,球面波,例如，均匀各向同性媒质内波的传播：,41,二. 波的衍射,衍射指波传播遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象。,相对波长而言，障碍物线度越小，衍射现象越明显，线度越大越不明显。,42,（声音强度相同的情况下）,43,三. 波的折射, 折射定律,若 n1 n2 ，n1 光密媒质，n2 光疏媒质。,44,从光密媒质到光疏媒质，折射角r 入射角 i ，,当入射角 i 临界角 iC 时，产生全反射。,iC 临界角,45,全反射应用：光导纤维,46,对 X 光，玻璃的折射率 1，故 X 光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。,光的色散,同一种介质对不同频率（或波长）的光具有不同的折射率，称为光的色散现象。,47,应用毛细的 X 管束可制成 X 光透镜。,四. 惠更斯原理的局限性,惠更斯原理可以解释波的衍射、反射和折射，但存在不足： 不能解释波为何不能倒退； 波的强度及其分布； 不能正确说明某些波动现象，如干涉等。,48,7.7 波的叠加和驻波,一. 波的叠加原理,波传播的独立性：,两不同形状的正脉冲,大小形状相同的正负脉冲,49,现象：红、绿光束空间交叉相遇，红仍是红、绿仍是绿；听乐队演奏，仍可辨出不同乐器的音色、旋律。,波的叠加原理：在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。,波传播的独立性：几列波可以保持各自特点（传播方向、振动方向、振幅、波长、频率）同时通过同一媒质，不受其它波的影响。,50,波的叠加原理由波动方程的线性所决定，当波的振幅、强度过大时，对机械波，媒质形变与弹力的关系不再呈线性；对电磁波，介质不再是线性介质，叠加原理不再成立。,二. 波的干涉现象,波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布叫波的干涉。,相干条件：, 频率相同 振动方向相同 相位差固定,水波的干涉,51,三. 驻波,设两列行波分别沿 +x 方向和 x 方向传播，,1. 驻波的描述,两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，就形成驻波，是一种常见的重要干涉现象。,在 x = 0 处，两列波的初相位均为 0：,+x 方向：,x 方向：,52,为简单，令,如图，各点都做简谐振动，振幅随位置 x 的不同而不同。, 不具备传播特征,53,波节,波腹,54,各处不等大，出现了波腹（振幅最大处）和波节（振幅最小处）。相邻波节间距离 /2，测量波节间距可得行波波长。,没有x 坐标，故没有了相位的传播。驻波是分段振动 驻振动，两相邻波节间为一段。同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反。, 振幅：, 相位：,2. 驻波的特点,55,合能流密度为, 能量：,没有单向能量传输 驻波不传播能量。驻波能量被“封闭”在相邻波节和波腹间的/4的范围内，在此区间质元间有能量交换：,能量由两端向中间传，,瞬时位移为0，,能量由中间向两端传，,势能 动能。,动能 势能。,势能为0，动能最大。,56,3. 的情形,设,此时仍可称“驻波”，但波节处有振动。,马达激励绳索弦驻波,水波盘演示衍射、干涉,【演示】,圆环弦驻波,57,四. 波在界面的反射和透射，“半波损失”,入射波,反射波,透射波,58, 界面两侧应力相等（牛III定律）, 界面两侧质元位移相同（接触）,机械波入射时，波函数满足界面关系：,将 y 表达式代入界面关系可得：,59,透射波：,（2）若 z1 z2 ，则 1 = 1 ,（1）若 z1 z2 ，则 1 = 1,反射波：,1. 相位关系,即波密波疏，在界面处反射波和入射波同相,即波疏波密，在界面处反射波有相位突变 , 半波损失,不论 z1 z2 还是 z1 z2 ， 2 = 1,即在界面处透射波总是与入射波同相,60,正脉冲由轻绳到密绳，反射成为负脉冲，透射仍为正脉冲。,正脉冲由密绳到轻绳，反射、透射都为正脉冲。,61,忽略透射波，入射波和反射波的波形：,62,由 得,反射比,透射比,2. 振幅关系：, z1 、z2 互换， R、T 不变。, z1 z2 或 z1 z2 时，R 1，T 0，全反射。, z1 z2 时，R 0（无反射），T 1，全透射。,63,要使声波进入钢，不能有气隙。通常在钢表面涂一层油（保持“声接触”的过渡层），以增加透射率。,实际的波发射和接收装置都需要设置过渡层，以保证声阻抗的“匹配”。（B超）,64,2）S1 面反射波 y1， 设振幅为A1,求：,1）1区入射波 y1,4）使反射波 y1 和 y1 在 1 区干涉相消的 Dmin,3）S2 面上反射回 1 区的波 y1，设振幅为 A1,65,解：,1）,2）,66,3）,67,4）如何使 y1 和 y1 产生相消干涉：,令,令,y1 和 y1 合成的波仍是行波，,其振幅 A1合 由 1 1 决定。,68,相长干涉：,相消干涉：,1 1 = 2k (k = 0, 1, 2),1 1 = (2k +1) (k = 0, 1, 2),使 y1 和 y1 产生相消干涉应满足：,媒质 2 可作为隐形涂层。,消声器原理也是利用波的干涉相消。,69,五. 简正模式,驻波可以通过界面的反射叠加产生。实际上，任何有边界的系统内都可以存在驻波。驻波本质是振动，是多自由度系统的集体振动。,类比弹簧振子系统可知：驻波系统也存在特定的振动频率，而且不止一个。一个频率对应一个稳定振动方式，称作系统的简正模式，相应频率称作简正频率或固有频率。,固有频率完全由驻波系统（包含边界条件）决定，与外界因素无关。,70,波在固定点的反射,入射波和反射波在固定点引起的振动反向，叠加后相消，所以固定点是波节。,波在自由点的反射,入射波和反射波在自由点引起的振动同向，叠加后加强，所以自由点是波腹。,71,两端固定的弦中的简正模式,（u 是弦中波速）,固定点为波节：,72,一端固定，一端自由,两端自由,73,74,鼓皮上的二维驻波（简正模式）,75,圆环弦上的驻波（简正模式）,此模型在量子力学早期是重要物理图像,76,驻波系统的激发,驻波系统中的任何波扰动一般由若干个，甚至无穷多个简正模式线性叠加而成。,不同的波扰动，所包含的每种简正模式的成分的“多少”不同，有些模式可能不出现：,从中间拨动琴弦，则中点必为波幅，所以中点为波节的那些模式不出现。（控制音色）,通过共振可激发单个简正模式。（调音准）,77,求：声波在空气中的声速 u 。,解：,发生共鸣时形成驻波，,管口为波腹，水面为波节。,空气柱长度满足条件：,78,声速：,两次共鸣的频率不变 两次激发模式相同，,波长满足：,用横波示意声音的位移纵波,对声音的压强纵波，需把波节和波幅调换（为何）,79,气体或液体中的声波是疏密波，是纵波。,7.8 声波,一. 声压定义,有声波时的压强 p 和无声波时的压强 p0 之差：, 0 媒质稠密区p 0 媒质稀疏区,80,声压振幅：,二. 声压表达式,设传播的是简谐声波：,y 气体或液体质元纵向振动的位移。,则声压为：,三. 声强,实验上常通过测压强幅值变化得到声波强度。,相位差 /2,81,四. 声强级,正常说话 60dB，噪声 70dB，炮声、摇滚乐 120dB。,规定标准声强：,声强级：,人的听觉不仅和声强有关，也与频率有关。,例如：强度同为 50dB，1000Hz 的声音很响，而 50Hz 的声音还听不到。,82,图中每条曲线表示：相同响度下，不同频率声音对应的声强级。,83,声域图,84,超声波： 20000Hz 的声波,超声喷泉,次声波： 20Hz 的声波,可闻声波：20 20000Hz,特点：频率高，波长短，能量集中，有良 好的束射性和方向性。,应用：超声清洗，水下定位与通讯、体外 碎石、B超，D超等。,【演示】,常见于地震、火山爆发、风暴、核爆炸等，穿透力极强，某些对人体伤害极大。,85,7.9 多普勒效应,一. 机械波的多普勒效应,多普勒效应：由于波源或观察者的运动，使接收到的频率不同于波源频率的现象。,波源频率S ：波源在单位时间内振动的次数， 或发出的完整波的数目。,波的频率 ：单位时间内，媒质质元的振动 次数，或通过媒质中某点完整波的数目。,86,运动方向：在波源 S 和接收器 R 的连线方向。,接收频率R ：接收器（观察者）在单位时间 内接收的振动次数或完整波的数目。,参考系和速度：参考系是媒质，波源速度 vS 和接收器速度 vR 是相对媒质的速度。,符号规定：波源向着接收器运动 vS 0，背着 接收器运动 vS 0，背着波源运动 vR 0 。,87,R 接近 S ：,R 远离 S ：,1. 波源静止 vS = 0，接收器运动 vR 0,波源静止，所以：,接收器运动，单位时间内接收的完整波个数发生变化：,88,波源运动前方波长缩短,2. 波源运动 vS 0，接收器静止 vR = 0,接收器静止，所以：,89,水波的多普勒效应，波源向左运动,90,3. 波源运动 vS 0，接收器运动 vR 0,这种情况下：,考虑接收器对媒质的运动，应有：,考虑波源对媒质的运动，应有：,（接收波的数目变）,（媒质中的波长变）,91,无相对运动情形：,横向运动情形：,机械波不存在横向多普勒效应,92,电磁波不同于机械波，不需要媒质。,二. 电磁波的多普勒效应, 横向多普勒效应,由相对论可导出：,注意：“波源向接收器运动”和“接收器向波源运动”结果是一样的，起作用的是波源和接收器间的相对运动（相对速度 ）。,93,纵向多普勒效应,光源和接收器相对接近时，,多普勒红移（宇宙“大爆炸”论）,光源和接收器相对远离时，,频率增大,频率减小,频率变化与机械波的情形一样。,94,三. 激波,波源速度 vS 波速 u 时，后发出的波面将超越先发出的波面，形成锥形波面 冲击波。,马赫数：,对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。,95,超音速子弹在空气中形成激波，马赫数 2,96,97,多普勒测速仪,超声多普勒效应测血流速,98,【例】一静止声源 S 的频率S = 300Hz，声速 u = 330m/s，观察者 R 以速度 vR = 60m/s 向右运动，反射壁以速度 v = 100m/s 也向右运动。,解：,R 收到的声源发射波的频率：,求：R 测得的拍频?,（各量为绝对值，下同）,反射壁收到的声源发射波的频率：,99,R 收到的反射壁反射波的频率：,拍频：,100,*7.10 复波，群速度,简谐波频率单一（单色波），在时间、空间上无限延续（波列无限长），除了频率和振幅外不携带任何信息，称为载波。,一. 复波,可按某种规律对作为载波的简谐波进行调制，有调幅、调频、调相等方式。被调制的简谐波是复波，可以携带和传递信息。,复波是非简谐波，由有限多或无限多个不同频率的简谐波叠加而成。,101,例如，把传播方向相同、振幅相同、频率相近、波速相近的两个简谐波叠加可得调幅波：,特点：质元振幅缓慢变化、相位迅速变化的 调幅波（Amplitude-Modulated wave）,102,调幅波又称波群或波包，波群整体移动速度（或波包移动速度）称为群速度。,103,104,在同一种介质中，如果不同频率的简谐波的波速不同，则这种介质称为色散介质，这种现象称为色散。不产生色散现象的介质称为无色散介质。色散会引起波包的不稳定性。,二. 色散,注意：对线性介质，当波从一种介质进入另一种介质后，频率不变，波速或波长变：,105,色散规律由色散关系描述。色散关系是指对同一种介质，频率 对波数 k 的依赖关系 (k) ，其形式取决于波与这种物质相互作用的具体机制。色散关系也常表示为 u(k) 或 u() 的关系。,例如，深水表面重力波的色散关系：,或,例如：光从空气进入玻璃，频率不变，波速 或波长变。,106,正常色散：,而1维刚性棒的横波：,传播于1维刚性棒的横波的色散关系：,或,或,反常色散：,或,例如对上面的深水表面重力波：,正常色散,反常色散,107,三. 波的单色性,由傅立叶分析可知，构成波包的各简谐波的频率（波数或波长）相差很小，频率（波数或波长）分布在狭窄的范围内 准单色波。,设波的中心频率为0，频率分布宽度为 ：, 0,准单色波满足条件：, 谱密度,108,109,四. 群速度,可证明群速度，相速度，及它们之间关系为：,在介质中，群速度、相速度的求解都有赖于知道色散关系 (k) 或 u(k) 或 u() 。,110,例如，对于前面的深水表面重力波：,色散关系：,相速度：,群速度：, 对中心频率为 0 的波包，其相速度和群速度分别为 ：,111, 群速度是能量和信号传播的速度，是真实 的物理速度，不能超过真空中的光速，相 速度可以超过真空中的光速。, 对无色散介质，相速度为常数，du/dk = 0， 或 du/d = 0，波包的群速度等于相速度， 波包在传播过程中波形保持不变。, 对简谐波，不论是否是色散介质，群速度 总等于相速度。,对群速度几点说明：,112, 对色散介质， du/dk 0，或 du/d 0， 波包的群速度不等于相速度。 |du/dk| 越大，色散越严重，波包越不稳定。 只有在 |du/dk| = 0 或 |du/dk| 很小的情况下， 波包才稳定。 色散较大时，波包会扩散直到消失，此时 群速度将失去意义。,113,*7.11 孤子,在非线性介质中，相速度和振幅有关，非线性效应有可能使波包被挤压，从而与色散引起的波包扩散相抵消，形成形状不变的孤立波，称做孤立子或孤子。,孤子在信号传播中有重要应用。,（自学）,114,机械波 mechanical wave波线 wave line波面 wave surface波阵面 wave front横波 transverse wave纵波 longitudinal wave平面波 plane wave球面波 spherical wave柱面波 cylindrical wave简谐波 simple harmonic wave,中英文名称对照表,115,复波 compound wave连续波 continued wave脉冲波 pulsating wave行波 traveling wave 驻波 standing wave波长 wave length惠更斯原理 Huygens principle波的衍射 wave diffraction反射、折射 reflection & refraction波的叠加原理 superposition principle of waves简正模式 normal mode,116,波节、波腹 node & antinode冲击波 shock wave马赫数 Mach number多普勒效应 Doppler effect色散 dispersion调幅波 amplitude-modulated wave波群 wave group 波包 wave packet群速度 group velocity孤子 soliton,第七章结束,