线性控制系统的能控性和能观测性ppt课件.ppt
2022/11/15,1,线性连续定常系统的能控性线性连续定常系统的能观测性对偶原理能控和能观测标准型线性系统的结构分解传递函数的最小实现传递函数（SISO）和能控（观测）性的关系,第三章 线性控制系统的能控性与能观测性,2022/11/15,2,能控性和能观测性基本概念：,状态空间描述的两段性：,20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。,状态方程：描述了输入引起的状态变化 输入能够控制状态（控制问题）,输出方程：描述了状态变化引起的输出改变 状态能否由输出反映（估计问题）,背景：,2022/11/15,3,能控性：,指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题,有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。受u(t)控制的状态为能控状态，不受u(t)控制的状态为不能控状态,2022/11/15,4,指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。,能观测性：,有些状态能通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能。能通过y(t)反映的状态为能观状态，不能通过y(t)反映的状态为不能观状态,2022/11/15,5,第一节 线性连续定常系统的能控性,状态能控性严格定义状态能控性判别准则（3种）,2022/11/15,6,一、状态能控性定义,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始状态 转移到任一终端状态 ，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能控的。,不失一般性，常选择终止状态为状态空间原点。即：,2022/11/15,7,二、状态能控性判别准则,1、判据一（能控性判别矩阵）,证明：,2022/11/15,8,已知：线性定常非齐次状态方程的解为：,2022/11/15,9,（4）,将（3）式代入（2）式得：,2022/11/15,10,由以上可以看出式(6)中各参数维数如下：,说明：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质,式(6)是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：,2022/11/15,11,例 判别如下系统的能控性,故系统状态完全可控,2）求能控性判别矩阵的秩,2022/11/15,12,例 判别如下线性连续定常系统的能控性,解：,故系统状态不完全能控。,2022/11/15,13,2、判据二（标准型法）,前提条件：线性变换不改变系统的能控性。,则有：,2022/11/15,14,由于P为非奇异满秩阵，则 也为满秩阵。根据矩阵和一个满秩的乘积其秩不变的性质有：,证毕,2022/11/15,15,说明：定理2说明,设2阶系统的对角线标准型为：,则根据定理1有：,要使系统能控，则必有：,由于 互异，故：,说明：对角线标准型形式下，各变量间没有耦合关系，从而影响每一个状态的唯一途径是通过输入。B中的某一行元素全为0，就意味着此输入对状态没有影响。,推广到n阶系统就有定理2（注：系统有重根，但仍能变成对角线标准型，则定理2不成立。例如，当上面说明中 时，此时Qc的行列式为0，Qc为奇异阵。）,2022/11/15,16,1）,例：考察如下系统的能控性：,状态完全能控,2022/11/15,17,中， 阵中与每个约当小块 最后一行所对应的元素不全为零。,定理3：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：,2022/11/15,18,说明：定理3说明,设2阶系统的约当标准型为：,根据定理1：,要使系统能控，则必有：,2022/11/15,19,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能控，否则状态不能控。,如果 行线性无关，则状态能控,2022/11/15,20,推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系统状态必不能控。此时，如果某个特征值对应的约当块最后一行所对应的B中的行，有一行为0，则此行对应状态必不能控，如果这些行都不为0，则此时这些行必线性相关，所以状态不能控。,2022/11/15,21,状态不完全能控,X2 状态不能控,2022/11/15,22,对于单输入系统，此时A不变，B变成如下：,2022/11/15,23,定理4：SISO线性系统 ， 则其状态完全能控且能观测的充分必要条件是：传递函数 的分子分母间没有零、极点对消。,3、判据三（S平面分析法）,说明：关于SISO情形，在传递函数和能控能观测性关系中讲。对于MIMO系统，以上定理不再成立。对于MIMO系统，即使有零极点对消，系统仍有可能能控且能观测。,定理5：SI线性系统 ， ，则其状态完全能控的充分必要条件是：函数 的分子分母间没有零、极点对消。,2022/11/15,24,状态完全能控,例：考察如下的MIMO系统的能控性：,有零极点相约,解：,2022/11/15,25,本节小结：,1、线性定常系统状态能控性的概念,2、线性定常系统的状态能控性判据,判据1：能控性判别矩阵法，能控性判别阵满秩,判据2：标准型法（对角线标准型、约当标准型）,判据3：S平面分析法，传递函数无零极点相约,2022/11/15,26,第二节 线性连续定常系统的状态能观测性,状态能观测性定义(估计问题)状态能观测性判别准则（3种）,2022/11/15,27,一、能观测性定义,如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间 ，使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，即能观测状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能观测的。,1、能观测性是研究输出反映状态向量的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u恒等于0,说明：,2022/11/15,28,3、能观测性规定为初始状态的确定。任意状态可在输入作用下由状态转移矩阵得到。,2、需要定义观测时间。目的是为了唯一地求出n个状态变量，多量出几组输出。,2022/11/15,29,二、能观测性判别准则,1、判据一（能观测性判别矩阵）,证明：略（证明思路同能控性，用CH定理）,2022/11/15,30,例 判别如下系统的能观测性,解：,1）构造能观测性判别矩阵：,2022/11/15,31,故系统不是状态完全能观测的,例 判别如下系统的能观测性：,故此系统是状态完全能观测的,解：,构造能观测性判别矩阵，并判断其秩：,2022/11/15,32,2、判据二（标准型法）,前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性,2022/11/15,33,由于P为非奇异满秩阵，根据矩阵和一个满秩的乘积其秩不变的性质有：,证毕,2022/11/15,34,定理2：设线性系统 具有两两相异的特征值 则其状态完全能观测的充分必要条件是：系统经线性非奇异变换后的对角线标准型,中， 不包含元素全为0的列。,2022/11/15,35,说明：定理2说明,设2阶系统的对角线标准型为：,则根据定理1有：,要使系统能观测，则必有：,说明：对角线标准型形式下，各变量间没有耦合关系，从而反映每一个状态的唯一途径是通过输出。C中包含全为0的列，就意味着此输出不能反映状态。,2022/11/15,36,例：考察如下系统的能观测性：,2022/11/15,37,中， 阵中与每个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。,定理3：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是：系统经线性非奇异变换后的约当标准型,2022/11/15,38,说明：定理3说明,设2阶系统的约当标准型为：,则根据定理1有：,要使系统能观测，则必有：,2022/11/15,39,推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量是否是列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。,2022/11/15,40,推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SO系统，系统状态必不能观测。此时，如果某个特征值对应的约当块首列对应的C中的列，有一列为0，则此列对应状态必不能观；如果这些列都不为0，则此时这些列必列线性相关，所以状态不能观。,2022/11/15,41,状态不完全能观测第一个约当块首列对应的C中列为0,2022/11/15,42,2022/11/15,43,定理5：SO线性系统 ， 。则其状态完全能观测的充分必要条件是：函数 的分子分母间没有零、极点对消。,定理4：SISO线性系统 ， 。则其状态完全能控和能观测的充分必要条件是：传递函数 分子分母间没有零极点对消。,3、判据三（S平面分析法）,说明：关于SISO情形，在传递函数和能控能观测性关系中讲。对于MIMO系统，以上定理不再成立。对于MIMO系统，即使有零极点对消，系统仍有可能能控且能观测。,2022/11/15,44,例：已知系统状态空间描述如下，试判断其能控性与能观测性,解：系统状态空间描述的矩阵形式为：,2022/11/15,45,故系统为状态完全能观测,故系统不是状态完全能控,2022/11/15,46,本节小结：,1、线性定常系统状态能观测性的概念,2、线性定常系统的状态能观测性判据,判据1：能观测性判别矩阵法，能观测性判别阵满秩,判据2：标准型法（对角线标准型、约当标准型）,判据3：S平面分析法，传递函数(SISO)无零极点相约,2022/11/15,47,第三节 对偶原理,线性定常系统的对偶关系对偶原理,2022/11/15,48,一、线性定常系统的对偶关系,线性定常系统1、2如下：,如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶的：,有的教材定义成这种形式：,2022/11/15,49,1、线性定常系统对偶关系示意图：,输入r维，输出m维,输入m维，输出r维,2022/11/15,50,2、互为对偶关系的系统之间的性质：,1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。,2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。,2022/11/15,51,设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性； 的能观测性等价于 的能控性。,二、线性定常系统的对偶原理,2022/11/15,52,所以 能观测。,说明：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。,反之亦然。,证毕,2022/11/15,53,本节小结：,2、对偶原理,沟通了能控性（控制问题）和能观测性（估计问题）,2022/11/15,54,第四节 SISO系统状态空间表达式的能控和能观标准型,能控标准型（第一、第二能控标准型）能观标准型（第一、第二能观标准型）,2022/11/15,55,标准型：,在一组特定的基底下，状态空间表达式所具有的某种特定形式。,能控标准型：状态反馈系统设计能观测标准型：状态观测器的设计,前提：线性非奇异变换，不改变系统能控性和能观测性,2022/11/15,56,1、第一能控标准型,选取原则：直接以能控判别矩阵的列向量为基底。,其中：,2022/11/15,57,推导过程：,由凯莱哈密顿定理有：,代入有：,写成矩阵形式：,2022/11/15,58,所以：,2022/11/15,59,定理1说明：,2）只有状态完全能控时，才能写成能控标准型。所以，在求系统的能控标准型时，首先要判断系统的能控性，不能控则不能写成能控标准型。,3）将系统化为能控标准型的非奇异变换矩阵，就是能控性判别矩阵Qcb,Ab,A2b,An-1b,1）其中 是系统的不变量，即特征多项式的系数,例 试将下列状态空间表达式变换为第一能控标准形。,2022/11/15,60,解：,1）判断系统能控性,2）计算特征多项式,3）化为第一能控标准型,2022/11/15,61,2、第二能控标准型（常用能控标准型式）,其中：,选取原则：以能控判别阵列向量的组合为基底，化A为友矩阵,2022/11/15,62,非奇异变换阵为：,是 相乘的结果,2022/11/15,63,推导目的：要得出,2022/11/15,64,2022/11/15,65,根据式（1）有：,所以，写成矩阵形式，就是我们在推导目标中所说的：,2022/11/15,66,2022/11/15,67,所以,2022/11/15,68,定理2说明：,2）只有系统是状态完全能控时，才能写成第二能控标准型。在求系统的第二能控标准型时，首先要判断系统的能控性，不能控则不能写成能控标准型。,3）当传递函数阵没有零极点相约时， 和 是系统传递函数分母和分子多项式系数。直接得到第二能控标准型。,1）其中 是系统的不变量，即特征多项式的系数,2022/11/15,69,例：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为第二能控标准型。 注意：非特别标明，能控标准型指的是第二能控标准型。,解：,1）判断系统能控性,2022/11/15,70,2）计算特征多项式,3）计算变换阵，并化为第二能控标准型,2022/11/15,71,例：写出以下传递函数的第二能控标准型。,所以：,第二能控标准型为：,2022/11/15,72,二、能观测标准型,n维线性定常系统 如果状态完全能观测，必有：上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关的，可取n个线性无关的行向量或其某种组合构成状态空间的一组基底。所谓能观测标准型，就是系统在上述基底下所具有的标准形式。要使行向量取法唯一，则m=1。故能观测标准型仅讨论SO系统。对于MO系统，由于线性无关的行向量取法不唯一，导致其能观测标准型不是唯一的。,2022/11/15,73,1、第一能观测标准型（对偶于第一能控标准型）,选取原则：直接以能观测判别阵的逆为基底,其中：,2022/11/15,74,结论：变换阵和对偶系统化为第一能控标准型 的变换阵互为转置逆,非奇异变换阵为：,2022/11/15,75,定理3说明：,2）只有系统是状态完全能观测时，才能写成能观测标准型。所以，在求系统的能观测标准型时，首先要判断系统的能观测性，不能观测则不能写成能观测标准型。,3）将系统化为第一能观测标准型的非奇异变换矩阵，就是能观测性判别矩阵Qo的逆。,1）其中 是系统的不变量，即特征多项式的系数,4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异矩阵互为转置逆。,2022/11/15,76,2、第二能观测标准型（常用能观测标准型）,以能观测判别矩阵行向量的组合为基底，对偶于第二能控标准型,其中：,2022/11/15,77,非奇异变换阵为：,2022/11/15,78,定理4说明：,2）只有系统状态完全能观时，才能写成能观测标准型,3）当传递函数阵没有零极点相约时， 和 分别是系统传递函数阵分母和分子多项式的系数。,1）其中 是系统的不变量，即特征多项式的系数,4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异变换阵互为转置逆。,2022/11/15,79,例：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为第二能观测标准型。 注意：非特别标明，能观测标准型指第二能观测标准型,解：,1）判断系统能观测性,2022/11/15,80,3）计算变换阵，并化为第二能观测标准型,2）计算特征多项式,2022/11/15,81,例：写出以下传递函数的第二能观测标准型。,所以：,第二能观测标准型为：,2022/11/15,82,本节小结：,1、SI系统的能控标准型,1）化标准型的条件：状态完全能控,2）标准型的形式：第一、第二能控标准型,2、 SO系统的能观测标准型,注意：1）传递函数没有零极点对消，直接写出第二能控（观）标准型2）非特殊指定，标准型指的是第二能控（观）标准型,3）化标准型的变换阵,1）化标准型的条件：状态完全能观测,2）标准型的形式：第一、第二能观测标准型,3）化标准型的变换阵,2022/11/15,83,第五节 线性系统的结构分解,能控性分解能观测性分解能控能观测性分解,2022/11/15,84,分解目的：,除了对角线和约当标准型可能明显识别外，其它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性地表示出来。1）最小实现的理论依据：本质上反映状态空间描述的特性2）状态反馈的基础：能控部分极点可任意配置。3）状态重构的前提：不能观测部分设计降维状态观测器。,2022/11/15,85,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵：前n1列为Qc中n1个线性无关的列，其余列保证Rc非奇异任选,矩阵形式为：,2022/11/15,86,能控性分解示意图：,其中 是n1维能控部分：,其中 是n-n1维不能控部分：,u不能直接控制 ，然而 未来信息中又不含 的信息。,2022/11/15,87,请判断其能控性，如果状态不完全能控，请按能控性进行分解。,例1：线性定常系统动态方程如下：,2）按能控性进行分解,2022/11/15,88,取Qc中线性无关的前两列为Rc中的前两列，构造变换阵如下：,由此可求出 ：,2022/11/15,89,二、按照能观测性分解,目的：将系统显性地分解为能观测和不能观测两部分。 观测器设计基础。,定理2：如果线性定常系统： 状态不完全能观测，,它的能观测性判别矩阵的秩：,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,2022/11/15,90,非奇异变换阵：前n1行为Qo中n1个线性无关的行，其余行保证Ro的逆非奇异任选,矩阵形式为：,2022/11/15,91,能观测性分解示意图：,能观测部分,不能观测部分,其中 是n1维能观测部分,其中 是n-n1维不能观测部分,对y没有直接影响，而 中又不含 的信息。,2022/11/15,92,判断其能观测性，如果状态不完全能观，请按能观测性进行分解。,例2：线性定常系统动态方程如下：,2）按能观测性进行分解,2022/11/15,93,取Qo中线性无关的前两行为Ro逆中的前两行，构造变换阵如下：,由此可以求出Ro ：,2022/11/15,94,三、同时按照能控和能观测性分解,目的：将系统显性地分解为能控能观测、能控不能观测、不能控能观测、不能控不能观测四部分。,定理3：如果线性定常系统： 状态不完全能控和不完全能观测，,2022/11/15,95,其中：,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,2022/11/15,96,矩阵形式：,2022/11/15,97,能控能观测性分解示意图：,2022/11/15,98,非奇异变换阵的构造：逐步分解法,原系统,2022/11/15,99,（1）能控性分解：原系统 分解为能控、不能控,2022/11/15,100,（2）不能控部分 进行能观性分解,2022/11/15,101,（3）能控部分 进行能观性分解,2022/11/15,102,状态不完全能控和不完全能观，请按能控能观性进行分解。,例3：已知系统：,2022/11/15,103,（2）不能控子空间的能观性分解：显然，不能控子空间是1维的，明显是能观的，无须再分解。,（3）能控子空间的能观性分解：,2022/11/15,104,综合(2)(3)两步，有：,2022/11/15,105,本节小结：,1、线性系统结构分解,1）能控性分解：变换阵,2）能观测性分解：变换阵,3）能控能观测性分解：变换阵,2022/11/15,106,第六节 传递函数阵的实现,实现的基本概念第二能控标准型和第二能观测标准型实现最小实现,2022/11/15,107,一、实现的基本概念,对于给定的传递函数阵 ，如果有一个状态空间描述：,1、定义：,使得下式成立：,则称该状态空间描述是该传递函数阵的一个实现。,2022/11/15,108,例,解,求 和D,2022/11/15,109,二、第二能控标准型和能观测标准型实现,1、SISO系统第二能控标准型实现(无零极点相约)：,2、SISO系统第二能观测标准型实现(无零极点相约)：,2022/11/15,110,3、MIMO系统第二能控标准型实现：,4、MIMO系统第二能观测标准型实现：,2022/11/15,111,说明：,1、当mr时，输出维数小于输入维数，用能观测标准型实现较简单；反之，用能控标准型实现较简单。,2、对于SISO系统，能控和能观测标准型中各阵互为转置；对于MIMO系统则不成立。,2022/11/15,112,求最小实现的步骤：1、先任意求出能控标准型或能观测标准型。原则同以上说明。2、对能控（观测）标准型，判断能观测（控）性，若为能控且能观测，则为最小实现，否则进行能观测（控）性分解。找出能控且能观测部分的状态空间描述，则为最小实现。,例题：求以下传递函数的最小实现。,2022/11/15,113,所以：,第二能观测标准型实现：,第二能控标准型实现：,2022/11/15,114,例题：求以下传递函数阵的最小实现。,2022/11/15,115,2022/11/15,116,本节小结：,1、实现的基本概念,1）定义2）可实现条件,2、第二能控标准型和能观测标准型实现,1）SISO系统的实现2）MIMO系统的实现,3、最小实现,1）能控且能观测的实现。,2022/11/15,117,第七节 传递函数（SISO）和能控（观测）性的关系,传递函数和能控、能观测性的关系能控（观测）性判据（频域法）不能控（观测）与对消的零极点位置的关系,2022/11/15,118,一、传递函数和能控、能观测性的关系,系统的传递函数：仅反映系统中能控且能观测的那一部分系统的动力学行为。,2022/11/15,119,2、按照能观测性分解时：,能观测：,不能观测：,2022/11/15,120,3、按照能控、能观测性分解时：,令：,能控能观测：,能控不能观测：,不能控能观测：,不能控不能观测：,2022/11/15,121,另一种求法：,2022/11/15,122,结论：,例：,解：能控且能观测部分：,1、系统不能控和不能观测的部分，不会出现在传递函数中，所以，传递函数仅是系统的部分描述。,2、状态空间描述则既包含能控、能观测部分，也包含不能控、不能观测部分，所以是系统的完全描述。,2022/11/15,123,验证：,2022/11/15,124,二、能控（观测）性判据（S平面分析法）,定理：SISO线性系统 ， 则其状态完全能控和能观测的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零、极点对消，或传递函数不可约。,注：当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。,2022/11/15,125,定理分析1：A特征值 互异,2022/11/15,126,一定出现零、极点对消,例：,无零、极点对消,2022/11/15,127,定理分析2：A具有重特征值,分析同A特征值互异情况,2022/11/15,128,出现零、极点对消,结论：如果存在零极点对消，系统能控不能观测、不能控能观测、不能控不能观测三者必居其一。具体是哪一种，要看状态变量的选择。,2022/11/15,129,模拟结构图：,状态空间描述：,1、,2022/11/15,130,能观测性判别阵,状态空间描述,2022/11/15,131,能控性判别阵：,结论1：若串联的排列次序中，被消去的零点在前一个传递函数中，则系统不能控，但能观测。,则：,2022/11/15,132,状态空间描述,能控性判别阵,2022/11/15,133,结论：经典控制中，用校正器消去传递函数因子，破坏了能控性或能观测性。（这就是一个传递函数无论有无零极点相约，都可以写出第二能控或能观的原因）,结论2：若串联的排列次序中，被消去的零点在后一个传递函数中，则系统能控，但不能观测。,能观测性判别阵,则：,2022/11/15,134,本节小结：,1、传递函数和能控、能观测性的关系,1）传递函数仅能反映系统能控且能观测部分,2、能控（观测）性判据（S平面分析法）,1）系统能控且能观测的充要条件。传递函数无零极点相约。,3、不能控（观测）与对消的零极点位置的关系,1）若串联的排列次序中，被消去的零点在后一个传递函数中，则系统能控，但不能观测。,2）若串联的排列次序中，被消去的零点在前一个传递函数中，则系统不能控，但能观测。,3）经典控制理论中，用校正器消去传递函数因子的做法，破坏了系统的能控性和能观测性。,
