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8.1 概述,1. 离散控制系统的特点,2. 离散控制系统的定义,8.1 概述,1. 离散控制系统的特点,A/D：经采样、量化、编码转换把模拟信号变成数字信号。,D/A：经保持、解码(信号恢复)将数字信号转化成模拟信号。,数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。,8.1 概述,1. 离散控制系统的特点,(a) 连续信号,图 8.2 A/D转换过程,(c) 数字信号,(b) 离散信号,A/D转换过程是A/D转换器每隔一个采样周期对输入的连续信号采样一次，使其变为离散时间信号，再通过量化变成以（二进制表示的）数字信号。通常，采用采样周期为常数即等速（单速）采样的采样方式。,8.1 概述,1. 离散控制系统的特点,(b) 连续信号,图 8.3 D/A转换过程,(a) 数字信号,D/A转换过程是将数字信号恢复成连续信号。,8.1 概述,数字控制系统的典型结构图,图 8.4 与图 8.1 等效的离散系统结构图,r(t),e(t),b(t),c(t),uk(t),e*(t),u(t),u*(t),T,T,离散控制系统的特点：从信号上看存在离散时间信号(离散信号、采样信号、脉冲序列或数字序列)；从元件上看有采样开关与信号恢复器。,Gc(s) 数字控制器的等效传递函数,Gh(s) 信号恢复器的传递函数,Gp(s) 被控对象的传递函数,H(s) 测量元件的传递函数,8.1 概述,2. 离散控制系统的定义,离散控制系统的定义：当系统中某处或多处的信号为在时间上离散的脉冲序列或数码形式时，这种系统称为离散控制系统或离散时间控制系统。,8.2 信号采样与恢复,1. 信号采样,2. 采样定理,3. 信号恢复,8.2 信号采样与恢复,1. 信号采样,采样过程：通过采样开关将连续信号变为离散信号(采样信号)的过程。,输入连续信号,输出离散信号,x(t),t,0,T,2T,3T,4T,5T,6T,7T,采样后,T 采样周期,t,0,x*(t),T,2T,3T,4T,5T,6T,7T,8.2 信号采样与恢复,1. 信号采样,离散信号x*(t)为一理想脉冲序列，脉冲仅在采样时刻t=nT(n=0,1,2)出现，而脉冲强度由nT时刻的连续函数x (nT)值来确定。,在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t)为一数字序列，而数字序列可以看作是以数字表示其幅值的脉冲序列，它与上述脉冲序列并没有本质区别。,数学描述：,10,8.2 信号采样与恢复,2. 采样定理,香农（Shannon）采样定理：如果采样器的输入信号x(t)具有有限带宽，并且有直到max的频率分量，如果采样频率满足,则采样信号x*(t)可以完全复现连续信号x(t)。其中，s为采样频率，T为采样周期，max为连续信号中最高次谐波的角频率。,采样定理是从离散信号完全复现原连续信号的必要条件。该定理给出了信号采样的最小采样频率。,8.2 信号采样与恢复,2. 采样定理,采样周期的选择：,工程实践表明，根据表8.1给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。,表 8.1 采样周期的T参考数据,8.2 信号采样与恢复,2. 采样定理,采样周期的选择：,根据工程实践经验，随动系统的采样频率可近似取为,即采样周期可按下式选取为,通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间ts，按下列经验公式选取：,或者,13,信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。 保持器是具有外推功能的元件，保持器的外推作用，表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散 信号的外推。,8.2 信号采样与恢复,3. 信号恢复,时，,3. 信号恢复,工程实践中普遍采用零阶保持器。,零阶保持器：将离散信号转换成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号。,常值外推,x(nT+)=x(nT),(0T),8.2 信号采样与恢复,3. 信号恢复, T取得越小，xh(t)与x(t)的差别越小；, 相位滞后，xh(t)比x(t)平均滞后半个采样周期；, 时域特性(单位脉冲响应)为 gh(t)=1(t)-1(t-T)；, 零阶保持器的传递函数为,8.3 Z变换与Z反变换,1. Z变换的定义,2. Z变换的基本定理,3. 求Z变换,4. 求Z反变换,8.3 Z变换与Z反变换,1. Z变换的定义,离散信号x*(t)表示为,作拉氏变换可得,令z=eTs，则得离散信号x*(t)的Z变换，并记为,Z变换的定义：上式中的X(z)称为x*(t)的Z变换。, Z变换是对离散信号(采样脉冲序列)进行的一种变换；, z=eTs， z是一个复变量；, X(z)=Zx*(t)=Zx(t) ，同一信号不同表示形式对应的脉冲序列的Z变换。,8.3 Z变换与Z反变换,2. Z变换的基本定理,设x1(z)=Zx1(t)，x2(z)=Zx2(t)，x (z)=Zx(t)。,在Z变换中有一些与拉氏变换类似的基本定理，应用这些定理可使Z变换的运算变得简单方便。,1) 线性定理：离散信号线性组合的Z变换等于它们的Z变换的线性组合。,2) 滞后定理(负偏移定理、右偏移定理),上式表明时域信号滞后k个采样周期，其Z变换需乘以z-k。,式中a1、a2为常数。,8.3 Z变换与Z反变换,2. Z变换的基本定理,4) (复数)位移定理,5) 初值定理,如果,存在，那么,6) 终值定理：如果(z-1)X(z)在z平面的单位圆上和单位圆外均无极点，那么x(t)的终值为,3) 超前定理(正偏移定理、左偏移定理),式中a为常数。,8.3 Z变换与Z反变换,3.求Z变换,1) 级数求和法,一种直接从Z变换的定义出发的Z变换方法。,Z变换的定义式,例 8.1 求单位阶跃函数x(t)=1(t)的Z变换。,x(t)=1(t),x(nT)=1 (n=0,1,2,3, ),X(z)=1+z-1+z-2+z-n+,若|z|1，上式的无穷级数是收敛的，那么可得,利用Z变换的定义式及Z变换的基本定理，得到常用函数的Z变换表，如附录1所示。,解,8.3 Z变换与Z反变换,3.求Z变换,2) 部分分式法,当给定连续函数x(t)的拉氏变换X(s)时，欲求其Z变换，则先将拉氏变换式X(s)进行部分分式分解，然后查Z变换表，求得其对应的Z变换X(z)。,例 8.5 已知函数X(s)=a/s(s+a)，求对应的Z变换X(z)。,解 将X(s)表示为部分分式之和,对应的Z变换为,8.3 Z变换与Z反变换,3.求Z变换,3) 留数法,已知连续函数x(t)的拉氏变换X(s)及其极点si(i=1,2, ,n)时，则x(t)的Z变换X(z)可通过留数计算式求得。,式中，ri为重极点si的个数；n为彼此不等的极点个数。,8.3 Z变换与Z反变换,3.求Z变换,例 8.8 连续函数x(t)的拉氏变换为,求对应的Z变换X(z)。,解,8.3 Z变换与Z反变换,4. 求Z反变换,1) 幂级数(展开)法长除法,已知象函数X(z)，求原函数x*(t)(离散信号、离散时间信号)的运算，称为Z反变换，记为Z-1X(z)=x*(t)。,设象函数X(z)是z的有理函数,将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式，则可以直接用分母去除分子，得到无穷幂级数的展开式,对应的离散信号x*(t) 为,8.3 Z变换与Z反变换,4. 求Z反变换,例 8.10 已知象函数,试求其Z反变换。,解 将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式,应用长除法得,对应的离散信号x*(t) 为,x(t)在各采样时刻的值为,x(0)=0； x(T)=10； x(2T)=30； x(3T)=70；,8.3 Z变换与Z反变换,4. 求Z反变换,2) 部分分式法,先将X(z)/z展开成部分分式,的形式，然后再,乘以z，化成,的形式，通过查Z变换表求得离散,信号x*(t)或x(kT)或x(k)。,8.3 Z变换与Z反变换,4. 求Z反变换,例 8.11 已知,，试求其Z反变换。,查Z变换表得,那么,x(kT)或x(k)=10(-1+2k) (k=0,1,2, ),解,8.3 Z变换与Z反变换,4. 求Z反变换,3) 留数法,留数法是求Z反变换的一种普遍方法。x(kT)等于函数X(z)zk-1在其全部极点上的留数和。,8.3 Z变换与Z反变换,4. 求Z反变换,例 8.13 已知,，试求其Z反变换。,那么,解,8.4 离散系统的数学模型,4. 开环系统的脉冲传递函数,5. 闭环系统的脉冲传递函数,3. 脉冲传递函数的推导,2. 脉冲传递函数的定义,1. 差分方程,8.4 离散系统的数学模型,1. 差分方程,离散系统各变量之间的动态关系可以用下列n阶后向差分方程描述：,式中，ai(i=1,2, ,n) 和bj(j=1,2, ,m) 为常系数。上式称为n阶线性常系数差分方程。,也可以用下列n阶前向差分方程描述：,8.4 离散系统的数学模型,1. 差分方程,求解差分方程常用的方法有迭代法和Z变换法。,1) 迭代法,已知线性定常离散系统的差分方程式，并且给定输出序列的初值，则可以递推计算出输出序列。,例 已知下列二阶差分方程,输入序列r(k)=1，初始条件c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法求输出序列c(k) (k=0,1,2, ,10) 。,8.4 离散系统的数学模型,1. 差分方程,解 由给定的差分方程可得递推关系,根据初始条件及递推关系，求得,8.4 离散系统的数学模型,1. 差分方程,2) Z变换法,例 8.14 用Z变换法解下列二阶差分方程,初始条件为c(0)=0，c(T)=1。,解 设c*(t)的Z变换为C(z)，由超前定理知,对差分方程求Z变换，可得,对C(z)求Z反变换，得到,或,8.4 离散系统的数学模型,2. 脉冲传递函数的定义,脉冲传递函数(z传递函数)：在线性定常离散系统中，当初始条件为零时，系统(或环节)输出离散信号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比，即 。,8.4 离散系统的数学模型,3. 脉冲传递函数的推导,在大多数情况下，系统的输出是连续信号c(t)，而不是离散信号，这时可在输出端虚设一个与输入采样开关同步的采样开关得到离散信号c*(t)，从而推导出系统的脉冲传递函数。,脉冲过渡函数：脉冲信号 作用于线性环节G(s)上时，该环节的输出信号称为其脉冲过渡函数,为g(t)。,8.4 离散系统的数学模型,3. 脉冲传递函数的推导,假设当n=-1,-2,-3, 时， c(nT)=g(nT)=r(nT)=0，即当nk时， g(kT-nT)=0。则有,输入脉冲序列,根据叠加原理，输出量c(t)为一系列脉冲响应之和，即,8.4 离散系统的数学模型,3. 脉冲传递函数的推导,根据Z变换的定义，输出量c(t)的Z变换C(z)为,8.4 离散系统的数学模型,3. 脉冲传递函数的推导,那么脉冲传递函数,上式可以写为,脉冲传递函数的物理意义：脉冲传递函数G(z)是系统脉冲过渡函数g(t)经采样后g*(t)的Z变换。,8.4 离散系统的数学模型,3. 脉冲传递函数的求取,例 8.15 已知开环离散系统连续部分的传递函数为G(s)=k/(s+a)(s+b)，试求对应的脉冲传递函数G(z)。,解 将G(s)展开为部分分式,对应的Z变换为,脉冲响应g(t),级数求和法,脉冲传递函数G(z),传递函数G(s),部分分式法或留数法,差分方程,Z变换,脉冲传递函数G(z),脉冲传递函数G(z),8.4 离散系统的数学模型,4. 开环系统的脉冲传递函数,1) 串联环节的脉冲传递函数, 环节间有采样开关隔开的情况,两个环节相串联，且环节之间有同步采样开关隔开时，串联环节的脉冲传递函数等于两个环节各自的脉冲传递函数的乘积。,8.4 离散系统的数学模型,4. 开环系统的脉冲传递函数,1) 串联环节的脉冲传递函数, 环节间无采样开关隔开的情况,两个环节相串联，而环节之间无采样开关隔开时，串联环节的脉冲传递函数等于两个环节传递函数乘积所对应的Z变换。,8.4 离散系统的数学模型,4. 开环系统的脉冲传递函数,2) 有零阶保持器时的开环脉冲传递函数,式中,，则,若W(s)所对应的Z变换为W(z)，则(1-e-Ts)W(s)所对应的Z变换是(1-z-1)W(z) 。,44,8.4 离散系统的数学模型,4. 开环系统的脉冲传递函数,3) 连续信号进入连续环节的情况,当开环离散系统的输入端无采样开关时，连续的输入信号就直接进入连续环节，将求不出开环脉冲传递函数G(z)=C(z)/R(z) ，而只能求得系统的输出表达式C(z)。,8.4 离散系统的数学模型,5. 闭环系统的脉冲传递函数,在离散系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，结构形式就不一样，因此系统的闭环脉冲传递函数就没有一般的计算公式，只能根据系统的实际结构具体地求取。,闭环脉冲传递函数：闭环离散控制系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比，即,当连续的输入信号直接进入连续环节时，将求不出闭环脉冲传递函数，而只能求得系统的输出表达式C(z)。,46,采样开关的输入和系统的输出 分别为：,47,消去 ，得,于是闭环系统的脉冲传递函数为,Z变换，得：,8.4 离散系统的数学模型,5. 闭环系统的脉冲传递函数,求闭环脉冲传递函数的方法,方法一：选择系统输出变量和采样开关输出端的变量(中间变量)，用z域象函数列写方程组，消去中间变量，得到闭环脉冲传递函数或输出表达式。,方法二：选择系统输出变量和采样开关输入端的变量(中间变量)用s域象函数列写方程组，然后对方程组中的各变量进行采样后取Z变换，消去中间变量，得到闭环脉冲传递函数或输出表达式。,s域象函数采样的公式,Y(s)X*(s)*=Y*(s)X*(s),Y*(s)X*(s)*=Y*(s)X*(s),Y(s)X(s)*=YX*(s),8.4 离散系统的数学模型,5. 闭环系统的脉冲传递函数,例 8.23 设有图8.31所示离散控制系统，在误差信号传递通道上无采样开关。试求系统的输出表达式C(z)。,解 方法一：列写方程组,X(z)=RG1(z)-G1G2H(z)X(z),C(z)=G2(z)X(z),8.4 离散系统的数学模型,5. 闭环系统的脉冲传递函数,消去中间变量，得,方法二：列写方程组,X(s)=R(s)- X*(s)G2(s)H(s)G1(s),C(s)=X*(s)G2(s),8.4 离散系统的数学模型,5. 闭环系统的脉冲传递函数,消去中间变量，得,对以上两式离散化,X*(s)=RG1*(s)- X*(s)G1G2H*(s),C*(s)=X*(s)G2*(s),以上两式取Z变换,X(z)=RG1(z)- X(z)G1G2H(z),C(z)=X(z)G2(z),8.5 离散系统的分析,1. 稳定性,2. 稳态误差,3. 动态性能,8.5 离散系统的分析,1. 稳定性,1) 稳定的充要条件,线性离散系统的闭环脉冲传递函数,k - 闭环极点 zl 闭环零点,M(z) 分子多项式 D(z) 分母多项式、特征多项式,单位阶跃输入时的系统输出：,假设C(z)无重极点，可展开为：,8.5 离散系统的分析,1. 稳定性,线性定常离散系统稳定的充要条件：全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即|pk|1，相应的线性定常离散系统是稳定的。对有重极点的情况同样适用。,Z反变换得单位阶跃响应,稳定条件,55,从s平面到z平面的映射关系,由Z变换的定义,若令,则有,返回子目录,1. 稳定性,2) Z域的稳定条件,56,2) Z域的稳定条件,从z平面到s平面的映射,（1）z平面上单位圆上的点，映射到s平面虚轴上（2）z平面上单位圆内的点，映射到s平面左半平面对应的点（3）z平面上单位圆外的点，映射到s平面右半平面对应的点,57,2) Z域的稳定条件,判定方法：,劳斯判据：系统特征方程的根是否在左半平面,超越函数：不能直接应用Routh判据,稳定性判别转化为判断系统代数方程的根是否全在左半平面,8.5 离散系统的分析,2) 双线性变换与稳定判据,通过一种双线性变换，使z平面的单位圆内映射到一个新平面的左半平面。,双线性变换,或,双线性变换的映射关系：,令z=x+jy，则,8.5 离散系统的分析,1. 稳定性, z平面的单位圆内部：x2+y21,u0，即w平面的左半平面。, z平面的单位圆外部：x2+y21,u0，即w平面的右半平面。, z平面的单位圆上：x2+y2=1,u=0，即w平面的虚轴。,利用劳斯判据判定离散系统的稳定性：, 通过双线性变换将特征方程D(z)=0变为新的特征方程D(w)=0； 对于新的特征方程D(w)=0，利用劳斯判据判定系统的稳定性。,8.5 离散系统的分析,1. 稳定性,解,例 8.23 已知离散系统的特征方程为,将 代入上面的特征方程，得,Routh阵列表,Routh表中第一列元素均为正，故离散系统稳定。,试判定离散系统的稳定性。,61,8.5 离散系统的分析,2. 稳态误差,离散系统的稳态响应特性与连续系统类似，它是用稳态误差来表征的，且稳态误差的大小取决于系统的特性(结构和参数)和输入信号的形式，仍然与系统的无差度(或系统的型别)有关。下面介绍计算线性离散系统稳态误差的终值定理和静态误差系数法。,62,8.5 离散系统的分析,2. 稳态误差,1) 终值定理,误差脉冲传递函数,误差,当系统稳定，即e(z)的全部极点都位于z平面的单位圆内时，应用终值定理可得稳态误差,63,8.5 离散系统的分析,2. 稳态误差,2) 误差系数法,系统的型别：若系统的开环脉冲传递函数G(z)含有个z=1的开环极点，则称之为型系统或系统的无差度为 。, 阶跃输入信号,r(t)=r01(t),式中,- 静态位置误差系数,64,8.5 离散系统的分析,2. 稳态误差, 速度输入信号,r(t)=v0t,式中,- 静态速度误差系数,65,8.5 离散系统的分析,2. 稳态误差, 加速度输入信号,r(t)=a0t2/2,式中,- 静态加速度误差系数,66,8.5 离散系统的分析,2. 稳态误差,表 8.3 在给定输入作用下离散系统的稳态误差,67,8.5 离散系统的分析,2. 稳态误差,例 8.25 已知离散系统的结构如图 8.40 所示，采样周期T=1秒，求在 r(t)=3+4t 作用下系统的稳态误差。,解 开环脉冲传递函数为,68,8.5 离散系统的分析,2. 稳态误差,系统特征方程为,即,解得特征根,特征根均位于平面的单位圆内，故系统稳定。,静态误差系数分别为,则系统的稳态误差为,69,8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,由阶跃响应求性能指标的步骤如下：,1) 时域响应与动态性能指标,(1) 由闭环脉冲传递函数(z) ，求输出量的z变换：,(2) 利用长除法将上式展开成幂级数，通过z反变换求得c*(t)。,(3) 由c*(t)在各采样时刻的值，得到p%、tr、tp、ts等性能指标。其中p%为最高采样值的超调量； tr为第一次等于或接近稳态值所对应的采样时刻； tp为最高采样值所对应的采样时刻； ts为进入允许误差范围时采样点所对应的采样时刻。,70,8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,解 开环脉冲传递函数为,例 已知离散系统如图所示，T=1(s)，r(t)=1(t)，试求系统的性能指标。,闭环脉冲传递函数为,71,8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,单位阶跃响应的z变换为,用长除法将C(z)展成幂级数：,72,8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,z反变换得,73,8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,根据上述各时刻采样值c(nT)(n=0,1,2, )可以绘出离散系统的单位阶跃响应如图所示，由图可以求得给定离散系统的近似性能指标为：,p%=40%、tr=2(s)、tp=4(s)、ts=12(s),8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的分布对系统的动态响应具有重要影响。确定它们之间的关系，对分析和设计离散系统具有指导意义。,2) 闭环极点分布与瞬态响应的关系,线性离散系统的闭环脉冲传递函数,8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,单位阶跃响应,- 稳态分量,- 暂态分量,8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,77,实数极点位于右半z平面。输出动态响应为单向正脉冲序列。实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛；实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。实数极点位于左半z平面。输出动态响应为双向交替脉冲序列。实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛；实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。,3. 动态性能,8.5 离散系统的分析,3. 动态性能,8.6 数字控制器的设计,1、线性离散系统的设计方法,2、最少拍系统的设计,8.6 数字控制器的设计,1）间接设计法,先按连续系统进行设计，然后将所设计的模拟控制器离散化得到数字控制器。,2）根轨迹法和频率法,根轨迹法和频率法在离散系统中的推广。将控制对象离散化，并用离散系统理论在z平面或w平面上进行设计的两种直接设计方法。,3）直接数字设计法,直接根据离散系统理论在z域进行综合的解析方法。,1、线性离散系统的设计方法,81,8.6 数字控制器的设计,2 数字控制器的脉冲传递函数,闭环脉冲传递函数,为数字控制器（数字校正装置）的脉冲传递函数， 为保持器与被控对象的传递函数。,误差脉冲传递函数,82,8.6 数字控制器的设计,2 数字控制器的脉冲传递函数,离散系统的数字校正问题是：根据对离散系统性能指标的要求，确定闭环脉冲传递函数 或误差脉冲传递函数 ，然后根据下式确定数字控制器的脉冲传递函数 ，并加以实现。,或者,8.6 数字控制器的设计,通常把采样过程中的一个采样周期称为一拍。若在典型输入信号作用下，经过最少采样周期，系统的采样误差信号减少到零，实现完全跟踪，则此系统称为最少拍系统，又称最快响应系统。,3 最少拍系统的设计,最少拍系统是针对典型输入作用进行的。,其中， 是不含 因子的 的多项式,84,设计原则：要求选择闭环脉冲传递函数 ，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定数字控制器的脉冲传递函数 。,3 最少拍系统的设计,误差的Z变换,利用幂级数展开可得,如果ak=ak+1= ak+2 =0，则稳态误差从t=kT起为零，最小过渡过程时间为ts=kT 。,85,根据Z变换的中值定理，离散系统的稳态误差为：,将 代入上式，便可确定所需要的数字校正装置的脉冲传递函数 。,为使 为零的条件是 中包含 的因子,为不含 因子的多项式，为使 简单，阶数最低，取 ：,8.6 数字控制器的设计, 阶跃输入 r(t)=1(t),设,即,，那么,过渡过程时间为ts=T，系统过渡过程只经过一拍就结束，从t=T起稳态误差为零。,2 最少拍系统的设计,则,8.6 数字控制器的设计, 斜坡输入 r(t)=t, 加速度输入 r(t)=t2/2,则 (z)=2z-1-z-2,设计 e(z)=(1-z-1)2,那么过渡过程时间为ts=2T，系统过渡过程只经过二拍就结束，从t=2T起稳态误差为零。,即 (z)=3z-1-3z-2+z-3,设计 e(z)=(1-z-1)3,那么过渡过程时间为ts=3T，系统过渡过程只经过三拍就结束，从t=3T起稳态误差为零。,2 最少拍系统的设计,8.6 数字控制器的设计,表 8.4 最少拍系统闭环脉冲传递函数的形式,数字控制器的脉冲传递函数,3 最少拍系统的设计,8.6 数字控制器的设计,例 8.30 已知离散系统的结构如图 8.50 所示，采样周期T=0.1秒，输入 r(t)=t ，求数字校正装置Dc(z)，使系统成为最少拍系统。,3 最少拍系统的设计,