第一课同济大学高等数学上预备知识ppt课件.ppt

预备知识,1. 集合的概念,在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称,否则，记为,一、集合,如果元素 在集合 中，记为,为一个集合. 集合中的事物称为该集合的元素.,只有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.,常用数集:,自然数集:,整数集:,有理数集:,复数集:,2.集合的运算,集合的交:,集合的并:,集合的差:,设 是两个集合，由此定义如下几个集合：,集合的运算满足如下运算率：,交换率:,结合率:,分配率:,3.区间和邻域,开区间:,闭区间:,设 是实数，且,半开半闭区间:,无穷区间:,注意：无穷端不能写成闭的记号,设 是实数，且 则定义点 的 邻域为集合：,邻域：,如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点 的空,心邻域：,1. 映射的概念,二、映射,设 是两个非空集合，如果存在一个法则 使得,而元素 称为 的象，记作 ， 即,对 中的每个元素 按此法则在 中有唯一的元素,与之对应，那么称 为从 到 的映射，记作,例 设,则 是 到 的映射.,例 设,则 是 到 的映射.,2. 几类重要映射,一一对应：既单又满的映射称为一一对应.,例 在前面的两例中，例2是一一对应，而例1则不是.,设 是 到 的映射.,满射：若 即 使得,单射：若 则必有,3. 逆映射与复合映射,则：,逆映射：设 是 到 的一一映射，则对 中任一元素,例 设,可以确定 中的唯一元素 满足 称此对应,关系为映射 的逆映射，记为,复合映射：设有映射 其中,称此映射为由 构成的复合映射，记为,由此可以确定一个从 到 的映射,例：设,则复合映射 为,1.概念,三、一元函数,从数集 到实数集 的任一映射 称为定义在 上的,称为 的图象. 而数集 则称为函数,一元函数，通常记为 而 中的集合,的定义域.,注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的,例 则定义域为,例 则定义域为,方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数.,以下例中函数的定义域均为实数集。,例3 符号函数,例 取整函数,2. 函数的几种特性,有界,无界,有界性 设函数 的定义域为 数集,如果 都有 就称,在 上有界, 否则称为无界函数.,例 在 上是有界函数，,在 上无界.,域内是无界函数.,例 试说明函数 在 的任何空心邻,现设 ，取 ，,其中取 的正整数，,解 只要证明在 的任何空心邻域内，无论对怎样的,正数 ，总是存在该邻域内一点 ，使得,并且使得 在空心邻域内，,则,所以 无界.,单调性 设函数 的定义域为 区间,如果对任意的 当 时，总有,则称函数 为区间 上的单调增加函数；,如果 时，总有,则称函数 为区间 上的单调减少函数.,图形特征：,单调增加函数图形,单调减少函数图形,奇偶性 设函数 的定义域为 关于原点对称，,如果对任意的 都有,就称 为偶函数；,如果对任意的 都有,就称 为奇函数.,图形特征：,偶函数,奇函数,使得对任意的 当 总有,通常我们说的周期指的是最小正周期.,周期函数 设函数 的定义域为 如果存在数,就称 为周期函数， 称为 的周期.,例如， 的最小正周期是,例：狄利克雷函数,则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期.,3. 反函数和复合函数,反函数 设函数 是一一对应， 则其逆映,注：习惯上用 表示为自变量，所以函数 的,射 为 的反函数.,的反函数 仍表示为,注：函数 与它的反函数 的图形,关于 对称.,复合函数 复合函数本质上是复合映射在函数上的推广.,当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合,函数的定义.,4. 基本初等函数,幂函数 （ 是常数）,指数函数,对数函数,三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,反三角函数,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数,5.初等函数,由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和,有限次的复合运算所得到的函数称为初等函数.,6.双曲函数,最后再简单介绍在工程技术中经常用到的一类函数,双曲正弦函数,双曲余弦函数,双曲函数.,