第2章控制系统数学模型ppt课件.ppt
2022/11/13,主要内容:,数学模型基础 控制系统的微分方程 控制系统的传递函数 控制系统的结构图 信号流图与梅逊公式,第2章 控制系统的数学模型,2022/11/13,1.数学模型：用数学的方法和形式表示并描述系统中各物理量（或变量）的动态关系。,2.建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是定量分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。不同类型自控系统可能具有完全相同的数学模型，可摆脱不同系统的外部特征，研究内在的共性运动规律。,2.1 数学模型基础,2022/11/13,3.建模方法,微分方程（或差分方程） （时域） 传递函数（或结构图） （复域） 频率特性 （频域） 状态空间表达式（或状态模型）,4.常用数学模型,2022/11/13,5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径,2022/11/13,2.2 控制系统的微分方程,对单输入、单输出的线性定常系统，采用下列微分方程来描述。 y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) + + a0y(t) = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) + + b0 x (t) 其中：y(t)为系统输出量，y(I)表示输出的I阶导数x(t)为系统输入量，x(I)表示输入的I阶导数,2022/11/13,、根据系统情况，确定输入和输出量；、从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定律，列写出各元器件的动态方程，一般为微分方程组；、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；、微分方程标准化。,建立微分方程的一般步骤：,2022/11/13,2.2.1 电气系统,由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想电阻、电感、电容两端电压、电流与元件参数的关系。基尔霍夫电压定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个回路，在任何时刻，沿该回路的所有支路电压代数和等于零。 u=0基尔霍夫电流定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个结点或闭合面，在任何时刻，通过该结点或闭合面的所有支路电流代数和等于零 i=0,2022/11/13,2.2.1 电气系统,例2-1：写出RLC串联电路的微分方程,将代入得：这是一个线性定常二阶微分方程。,2022/11/13,例2-2：求理想运算放大器电路的微分方程,解：理想放大器正、反相输入端的电位相同，且输入电流为零。据基尔霍夫电流定理：,整理后得，这是一阶系统。,2022/11/13,2.2.2 机械系统,机械系统：存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律等。,牛顿第二定律：,牛顿转动定律：,2022/11/13,直线运动物体受到的摩擦力：,转动的物体受到的摩擦力矩：,FB 为粘性摩擦力，Ff 为恒值摩擦力，f 为粘性阻尼系数。,TB 为粘性摩擦力，Tf 为恒值摩擦力，KC 为粘性阻尼系数，为角位移。,2022/11/13,例2-3 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移y(t)。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。y为输出量，F为输入量。,2022/11/13,同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,相似系统： 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1与例2-3为力电荷相似系统。,2022/11/13,思考题：给出双RC电路的微分方程,解答,2022/11/13,连续时间对应的复频域是用直角坐标 表示的复数平面，简称为S平面或连续时间复频域（s域）。,S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 ,整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。,S平面,2.2.3 拉普拉斯变换,2022/11/13,定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域 t0，那么下式即是拉氏变换式：,将一个时间域的函数变换到s域的复变函数，式中s为复数。,记作,F(s) - 象函数，f(t) - 原函数,为反拉氏变换,记,2022/11/13,线性性质：,积分定理：（设初值为零）,性质：,(2)微分定理：,证明,2022/11/13,终值定理：,卷积定理：,初值定理：,位移定理：,实域中的位移定理，当原函数沿时间轴平移T，相应于其象函数乘以,复域中的位移定理，当像函数的自变量s位移a时，相应于原函数乘以,2022/11/13,常用函数的拉氏变换： 单位阶跃函数： 单位脉冲函数： 单位斜坡函数： 单位抛物线函数： 正弦函数： 其他函数可以查阅相关表格获得。,2022/11/13,研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况经典法，拉氏变换法和数字求解在自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。,拉氏变换求微分方程解的步骤： 对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。,2.2.4 线性方程的求解,2022/11/13,例2-4 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求 uc(t),解：,零初始条件下取拉氏变换：,2022/11/13,2.3传递函数,2.3.1 传递函数的定义 在 ，线性定常系统元件输出信号的拉氏变换式Y(s)与输入信号的拉氏变换式X(s)之比。,一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函数，就可以了解系统的重要特性。,初始条件为零时,2022/11/13,例2-5 求下图的传递函数：,进行拉氏变换,2022/11/13,整理得：,2022/11/13,传递函数的性质,适用于线性定常系统与线性常系数微分方程一一对应与系统的动态特性一一对应。不能反映系统或元件的学科属性和物理性质物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。忽略了初始条件的影响。,2022/11/13,传递函数的性质,仅与系统的结构和参数有关，与系统输入无关只反映了输入和输出之间的关系不反映中间变量的关系。主要适用于单输入单输出系统若系统有多个输入信号，求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。是复变量s的有理分式，对实际系统，传递函数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，此时称为n阶系统。,2022/11/13,传递函数的几种表达形式：,有理分式形式：,式中： 为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。,2022/11/13,零点、极点形式：,式中： 称为传递函数的零点， 称为传递函数的极点。零点、极点可为实数，也可为共轭复数。, 传递系数,2022/11/13,零、极点分布图,零点，在s平面上用“O”表示极点，在s平面上用“”表示,例,2022/11/13,例2-6: 已知传递函数 ,试画出系统的零、极点分布图。,其中，零点为，极点为，j，j。,S平面,2022/11/13,时间常数形式：,2022/11/13,称为时间常数，K称为放大系数。,显然： ，,若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 为共轭复极点，则：,或,其系数 由 或 求得；,2022/11/13,例2-7：将传递函数，用时间常数形式表示，并求出 。,由此，可得,解：,2022/11/13,2.3.2 典型环节及其传递函数,环节：组成一个复杂的控制系统的若干元部件构成 基本环节（典型环节）：从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节 常见典型基本环节比例积分惯性振荡微分延迟环节,2022/11/13,K为放大系数实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。,（一）比例环节（放大环节）：,时域方程：,传递函数：,2022/11/13,比例环节实例：,电位器,2022/11/13,（二）惯性环节（非周期环节）,时域方程：,传递函数：,T 为惯性环节的时间常数，若，该环节就变成了放大环节。,2022/11/13,R,拉氏变换得：,2022/11/13,其中T=RC,拉氏变换得：,2022/11/13,（三）积分环节：,时域方程：,传递函数：,2022/11/13,积分环节实例：,2022/11/13,（四）振荡环节：,传递函数：,时域方程：,为该环节的时间常数，称为无阻尼自振角频率，而且 ， 称为阻尼比。只有当 时，该环节才能称为振荡环节，因为这时它的输出信号具有振荡的形式。,2022/11/13,如果 时，可分为两个惯性环节相乘，两个惯性环节串联。,传递函数有两个实数极点：,可得,2022/11/13,（五）微分环节：包括纯微分，一阶微分和二阶微分环节，对应时域形式：,相应的传递函数为：,微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若 ）在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节,2022/11/13,一阶微分环节,一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又称比例微分环节。,2022/11/13,（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号，如图所示。,动态方程：,其传递函数为：,2022/11/13,（七）其他环节：还有一些环节如 等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的，称为不稳定环节。,2022/11/13,例2-8：已知传递函数，分析其组成环节。,因此，该系统由4个环节，比例，惯性，振荡，和一阶微分环节构成。,2022/11/13,2.3.3 电气网络的运算阻抗与传递函数,求取传递函数步骤列写微分方程式进行拉氏变换对于电气网络：采用电路理论中的运算阻抗的方法，直接求出相应的传递函数。,2022/11/13,2.3.3 电气网络的运算阻抗与传递函数,电阻的运算阻抗：,电容的运算阻抗：,电感的运算阻抗：,各个元件的运算阻抗，可以当作普通电阻来运算。,2022/11/13,例2-9、求RC及CR电路的传递函数,2022/11/13,例2-10、求如图所示无源网络的传递函数,并联阻抗,则,2022/11/13,思考题：用运算阻抗的方法求出下面双RC网络的传递函数。,2022/11/13,2.4 方块图和传递函数,方块图是用元件（或子系统）传递函数的组合来表示系统的一种图形。方块图由函数方块、信号线、相加点、分支点等构成。函数方块（方框）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数。 信号线：表示信号传递通路与方向。 相加点（比较点）：对两个以上的信号进行加减运算，“+”表示相加，“”表示相减。 分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。,2022/11/13,例：某系统的各传递函数如下：C(s) = G(s)E(s) F(s) = H(s)C(s) E(s) = R(s) F(s),2022/11/13,绘制方块图的根据是系统各环节的动态微分方程式（它们组成系统的动态微分方程组），及其拉氏变换。整理方程组的方法：每个方程式左边只有一个量以系统输出量作为第一个方程左边的量从第二个方程开始，每个方程左边的量为前面方程右边的中间变量输入量至少出现在一个方程的右边；除输入量外，在方程右边出现的中间变量一定要在某个方程的左边出现列写方程尽量用已出现的量,2022/11/13,例2-11 绘出RC电路的结构图,绘图详解,2022/11/13,例2-12 绘出图示双RC网络的结构图。,解：列写系统方程式，可得：,2022/11/13,2022/11/13,动画演示,2022/11/13,二、方块图的变换：,定义：用方块图求系统的传递函数时，对其进行的简化。类型：环节的合并； -串联 -并联 -反馈连接 信号分支点或相加点的移动。原则：变换前后环节的输入量、输出量及其数学关系都保持不变。,2022/11/13,串联环节的简化：,2022/11/13,并联环节的简化：,2022/11/13,反馈回路的简化：,前向通道传递函数：G(s)反馈通道传递函数：H(s)正反馈负反馈闭环传递函数开环传递函数,闭环传递函数推导过程,2022/11/13,例,2022/11/13,2022/11/13,信号相加点和分支点的移动和互换,信号相加点的移动： 把相加点从环节的输入端移到输出端（相加点的后移）,2022/11/13,把相加点从环节的输出端移到输入端（相加点的前移）：,2022/11/13,相临的信号相加点位置可以互换，或者是进行合并；,2022/11/13,信号分支点的移动： 分支点从环节的输入端移到输出端(分支点的后移),2022/11/13,分支点从环节的输出端移到输入端(分支点的前移)：,2022/11/13,相加点和分支点在一般情况下，不进行互换。,同一信号的分支点位置可以互换,2022/11/13,例2-13 结构图化简,结构图化简详解,2022/11/13,(1)结构图化简方案（分支点前移）,2022/11/13,(2) 结构图化简方案:（分支点后移）,2022/11/13,结构图化简方案-相加点前移并于合并，然后分支点后移）,(a),2022/11/13,1. 等效为单位反馈系统,（三）其它等价法则,2022/11/13,（三）其它等价法则,2. 负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)C(s) =R(s)+-H(s)C(s),2022/11/13,反馈回路的简化原则总结,反馈回路进行简化，最重要做到等价等价：保持输入输出的关系不变，简言之，即保持传递函数不变进行等价变换时，请注意考察简化支路的传递函数是否保持不变,2022/11/13,例 双RC网络的结构图简化。,2022/11/13,例 双RC网络的结构图简化。,动画演示,2022/11/13,解：结构图等效变换如下：,例系统结构图如下，求传递函数 。,2022/11/13,2022/11/13,三、典型的闭环控制系统的传递函数,闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：,R(s)：输入信号C(s)：输出信号E(s)：系统偏差N(s)：系统扰动（不希望的输入量）R(s)-C(s): 系统误差,由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求R(s)对C(s)和N(s)对C(s)的传递函数，然后叠加得出总的输出量C(s),2022/11/13,（一）给定输入作用下的闭环系统,令N(s)=0，则有,前向通道传递函数：前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道开环传递函数：前向通道和反馈通道的乘积，是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号B(s)之间的传递函数,2022/11/13,（一）给定输入作用下的闭环系统,输出对参考输入的闭环传递函数：,系统输出：,2022/11/13,偏差对参考输入的闭环传递函数（将偏差看作输出）,2022/11/13,2022/11/13,此时输入R(s)=0,结构图如下：,（二）扰动作用下的闭环系统,2022/11/13,一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为 0-C(s)= -C(s)，偏差E(s)=0-B(s)= -H(s)C(s)，偏差对扰动输入的传递函数为：,（二）扰动作用下的闭环系统：,2022/11/13,根据线性迭加原理：,输出：,偏差：,提示：各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。,(三）输入和扰动输入同时作用下的闭环系统的总输出,2022/11/13,信号流图的基本性质： 1) 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“”表示； 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。,2.5 信号流图及梅逊公式,信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,2022/11/13,信号流图中常用的名词术语： 源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。,阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。,混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。,2022/11/13,前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。,回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。,不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。,2022/11/13,2.5.1 信号流图的绘制,1. 由系统微分方程绘制信号流图 1）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程； 2）每个变量指定一个节点； 3）将方程按照变量的因果关系排列； 4）连接各节点，并标明支路增益。,2022/11/13,例2.5.1,绘制详解,2022/11/13,信号传递流程：,2022/11/13,结构图变换为信号流图：信号流图的节点数等于结构图的“主干道”上：分支点+相加点+2（2为一个输入一个输出）结构图中的方框变为信号流图的线段，方框中的传递函数变为支路增益。信号流图中的线段数大于或等于结构图中的方框数信号流图的节点只表示变量的相加。,2. 由系统结构图绘制信号流图,2022/11/13,2. 由系统结构图绘制信号流图,2022/11/13,例 绘制结构图对应的信号流图(1) 。,动画演示,2022/11/13,结构图变换为信号流图步骤：“化简”结构图（将可合并的分支点和相加点合并）由结构图“主干道”上分支点、相加点和输入输出的数量画出节点，并将其用线段连接起来标出每个节点所代表的变量标出每个线段上的支路增益将结构图上的“反馈”或“顺馈”支路按照规律变换到信号流图中,总结,2022/11/13,例 绘制结构图对应的信 号流图 。,2022/11/13,2.5.2 梅逊增益公式,用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输（即总传递函数）。其表达式为：,式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；,2022/11/13,特征式 ：,动画示例,2022/11/13,由梅逊公式求取传递函数的步骤：找出回路数，并写出回路增益表达式判断回路接触情况，并根据下式求取找出前向通路，并写出前向通路增益判断前向通路与回路接触情况，并求出,2022/11/13,解：三个回路：,例 已知系统信号流图，求传递函数。,回路相互均接触，则：,2022/11/13,前向通路有两条： ，没有与之不接触的回路： ，与所有回路不接触：,2022/11/13,2.6 脉冲响应,脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉冲输入信号的响应。它也是线性系统的数学模型。, 理想单位脉冲函数：,若输入信号为单位脉冲函数，,则有，,已知,系统的脉冲响应就是系统传递函数的拉氏反变换。,2022/11/13,例：设系统的脉冲响应函数是 ，求G(s)。,解：,利用脉冲响应函数，可以求出在任何输入x(t)下的输出y(t)。,回忆拉氏变换的卷积定理，有Ly(t)=Lx(t)*g(t)，所以：Y(s)=X(s)G(s),2022/11/13,则输出：单位阶跃响应函数：, 单位阶跃响应函数： 单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。它是在单位阶跃函数1(t)的作用下的输出响应h(t)。,2022/11/13, 脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系：,根据积分定理：当零初值时，有,2022/11/13,小 结,微分方程的建立 传递函数的求解 由微分方程拉氏变换所得 根据运算阻抗所得 由方块图所得 由信号流图及梅逊公式所得 脉冲响应函数与单位阶跃函数,
