数学物理方法第四版（梁昆淼）期末总结ppt课件.ppt

教 材：,梁昆淼编写的数学物理方法第四版,内 容,第一篇 复变函数论,第二篇 数学物理方程,数 学 物 理 方 法,第一章 复变函数,1、复数的定义,一、复数,模：,辐角：,主辐角：,共轭复数:,三角式,指数式,代数式,*复数三种表示式之间的转换,2、复数的运算:,加、减、乘、除、乘方、开方,(1)、加法和减法,(2)、乘法和除法,(2)、乘法和除法,两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。,两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;,(3) 复数的乘方和开方,复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。,棣莫弗公式：,二、六种初等复变函数：,1. 幂函数,4、双曲函数,5、根式函数,周期为2i,6、对数函数,例1：已知 ，则 。,例2：复数ez 的模为 ，辐角为 .,三、解析函数,2、解析函数性质：,3、构建解析函数：,给出一个二元调和函数作为解析函数的实部或虚部，通过CR条件求出该解析函数的虚部或实部，从而写出这个解析函数。, 算偏导, u或v 的全微分, 求积分, 表成,例 3：已知解析函数 的实部 ，求虚部和这个解析函数。,根据C-R条件，,解：,例4：已知解析函数 f (z)的虚部 ，求实部 和这个解析函数 f (z) 。,解：,提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情况下采用极坐标处理比较方便，,即令 。,将上面第二式对 积分， 视作参数，有,其中 为 的任意函数。,将上式两边对 求导，,第二章 复变函数积分,一、复变函数积分的性质：,P23,二、计算复变函数回路积分,1、单通区域柯西定理：P24,2、复通区域柯西定理：P25,3、重要公式应用（P28）,4、柯西公式,高阶导数的柯西公式,当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积分，可利用柯西公式来计算,(1)把被积函数写成 的形式，f(z)在积分区域上解析, 为积分区域内一点；,(2) 利用柯西公式 来计算积分.,例2下列积分不为零的是 ( )。,C,第三章 幂级数展开,一、收敛半径,方法1：比值判别法,方法2 ：根值判别法,收敛圆：,收敛域：,例1,求幂级数 的收敛圆.,解,收敛圆:,解:,例2,幂级数 的收敛域。,收敛域:,二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展成幂级数,根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积分、分解成最简分式等方法去展开 。,间接展开法：,常见函数的泰勒展开式:,解：,解：,奇点名称,可去奇点,极点,本性奇点,不含负幂项,含无限个负幂项,含有限个负幂项,的洛朗级数,极限性质,三、有限远孤立奇点分类及其类型判定,极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。,几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点， m阶极点，本性奇点,设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B上除有限个孤立奇点b1，b2，bn外解析，在闭区域 上除b1，b2，bn外连续，则f(z)沿l正向积分 之值等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍.,左边的积分是沿l 的正向进行的；,注意:,右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有的奇点。,第四章 留数定理,一、留数定理：P52,二、计算留数,各孤立奇点留数的计算公式,奇点类型,可去奇点,0,m阶极点,一阶极点,普遍公式,本性奇点,极点阶数判定,法一,把极点阶数估计得过高,n就是极点的阶数,把极点阶数估计得过低,(nm),(n=m),(nm),法二,零点和极点的关系,若z = z0是 f(z)的m阶零点，则z = z0必是 的m阶极点。,三、留数定理的应用,1、计算闭合回路积分；,例1,解：,，其奇点为：z1=4, z2=2, z3=1,只有单极点z2=2, z3=1 在积分回路内。,类型一：,类型二：,2、计算三种类型实变函数定积分；,类型三：,解：,且其留数为,只有单极点 在圆 内，,解：,所以,明显，只有 在上半平面，且为 f (z) 的一阶极点，因此,解：,有两个二阶极点 ，,其中 在上半平面，,P61 例7,第五章 傅里叶变换,一、傅里叶级数,1、周期函数(T=2l)的傅里叶展开,一般周期函数：,(5.1.3)、(5.1.5)；P88,奇函数：,(5.1.8)、(5.1.9)； P90,偶函数：,(5.1.10)、(5.1.11)；P90,傅里叶正弦级数,傅里叶余弦级数,傅里叶级数,2、定义在有限区间(0,l)上的函数的傅里叶展开,对函数f(x)的边界（区间的端点x=0, x=l）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。,(1)、边界条件为f(0)=0,f(l)=0,应延拓成以2l为周期的奇函数,(奇延拓),(2)、边界条件为,应延拓成以2l为周期的偶函数,(偶延拓),(3)、边界条件为,(4)、边界条件为,又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓，,然后以4l为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是以4l为周期的偶函数。,根据边界条件 应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=0作偶延拓。,复数形式的傅里叶积分:,二、傅里叶积分,f(x),非周期函数,x(-,),可以写成对称的形式:,三、函数,1、 函数定义,2、 函数性质,挑选性：,3、 函数的傅里叶积分,满足下面两个条件:,的函数( x- x0)称为函数。,(1),(2),定解问题,泛定方程,定解条件,初始条件:说明物理现象初始状态的条件,边界条件:说明边界上的约束情况的条件,波动方程,输运方程,稳定场方程,第七章 数学物理定解问题,衔接条件,初始条件：,给出某一初始时刻整个系统的已知状态。,如：,不需要初始条件,一般地说，初始条件的个数等于数理方程所含有的对时间最高阶偏导数的阶数。,(1)、杆或弦两端固定,常见的边界条件：,边界条件：,给出系统的边界在各个时刻的已知状态。,(2)、杆两端自由,(3)、杆的两端保持恒温T,(4)、两端绝热,(5)、两端有热流强度为f(t)的热流流出,l,f(t),f(t),在x=0端:,在x=l端:,同理得，两端有热流强度为f(t)的热流流入，则,数学物理定解问题的适定性:,(1) 解的存在性,看所归结出来的定解问题是否有解；,(2) 解的唯一性,看是否只有一个解,(3) 解的稳定性,当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量,定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.,解：弦仅在x0处受策动力作用，故其定解问题为：,例1：长为l的均匀弦，两端x=0和x=l固定，在点x0(0 x0l)受谐变力F0sint的作用而作微小振动，试写出其定解问题。,解定解问题三步曲：,（1）写出正确的定解问题；,（2）边界条件齐次化；,（3）求解傅氏级数法或分离变数法.,第八章 分离变数法,分离变数法,齐次的振动方程和输运方程,齐次的边界条件,傅里叶级数法,齐次或非齐次的振动方程和输运方程,齐次的边界条件,一、分离变数法解题步骤,(1) 对齐次方程和齐次边界条件分离变量；,(2) 解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；,(3)求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得 到本征解。,(4) 迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件 确定迭加系数，而最后得到所求定解问题的解。,例1：用分离变数法求定解问题,先以分离变数形式的试探解,解：,代入泛定方程(1)和边界条件(2)，得,(1),(2),(3),本征值问题,本征值：,本征函数：,其通解为,相应的本征解,一般解是所有本征解的线性迭加，,(4),一般解是所有本征解的线性迭加，,代入初始条件，,(4),例2：用分离变数法求定解问题,(1),(2),(3),先以分离变数形式的试探解,解：,代入泛定方程(1)和边界条件(2)，得,本征值问题,本征值：,本征函数：,其通解为,相应的本征解,一般解是所有本征解的线性迭加，,代入初始条件，,所求的定解问题的解为：,运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形式的傅里叶级数，,二、傅里叶级数法,三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：,引入辅助函数v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使v(x,t)满足非齐次边界条件，可将函数u(x,t)满足的非齐次边界条件的定解问题变换为函数w(x,t)满足的齐次边界条件的定解问题。,可设,可将w(x,t)的边界条件是齐次的，,(3)、若是第一、二类非齐次边界条件,或,可设,可将w(x,t)的边界条件齐次化。,(2)、若是第二类非齐次边界条件,例3、求定解问题,解：,设,由于边界条件是第一类齐次边界条件，所以设,代入泛定方程，得,代入初始条件，,所求的定解问题的解为：,例4、求定解问题,解：,设,令,代入上式,由于边界条件是第一类齐次边界条件，所以设,代入泛定方程，得,代入初始条件，,定解问题的解为,1、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质,(1) l阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题,(自然边界条件),本征值问题,本征值是l (l+1),本征函数则是l阶勒让德多项式Pl(x)。,第十章 球函数,(2)勒让德多项式的性质,1)、正交性,不同阶的勒让德多项式在区间(-1, 1)上正交，,2)、勒让德多项式的模,3)、勒让德多项式的全体构成完备组,如何将一个定义在x的区间-1, 1上的函数f(x)展开成广义傅里叶级数：,一般公式：,展开系数,待定系数法,仅适用于f(x)是关于x的次幂的多项式,(3)勒让德多项式的母函数,母函数,以半径为R的球代替单位球，则,3、掌握关于极轴对称拉氏方程在球坐标系下的解：,关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为,对球内轴对称问题,自然边界条件：,取Bl=0，,应排除 ,例1、,解：,边界条件与无关，以球坐标的极轴为对称轴。,此定解问题是轴对称情况下的球内问题，故,代入边界条件,P231例3,左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右边函数x2展开为广义的傅里叶级数，,比较左右两端，得,解得，,比较左右两边系数，得,例2、在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是r0，相对介电常数是，试求解介质球内外的电势.,解:如图所示，建立坐标系，取球心为球坐标系的极点，通过球心而平行于E0的直线为球坐标系的极轴。定解问题为：,P233例5,