现代控制理论第5章ppt课件.ppt

第5章 控制系统的稳定性,5.1 外部稳定性与内部稳定性 5.2 李亚普诺夫定义下的稳定性 5.3 李亚普诺夫判稳第一法 5.4 李亚普诺夫判稳第二法 5.5 李亚普诺夫法在线性系统中的应用 5.6 李亚普诺夫第二法在非线性系统中的应用 5.7 基于李亚普诺夫第二法的参数最优问题 5.8 基于李亚普诺夫第二法的模型参考控制系统,外部稳定性：系统在零初始条件下通过其外部状态，即系统的输入输出关系所定义的（零状态响应）。适用于线性系统。内部稳定性：系统在零输入条件下，由内部状态变化所定义。适用于线性、非线性系统。（零输入响应） 对于同一线性系统。只有在一定条件下，两种定义才具有等价性。 李雅普诺夫方法：适用于线性、非线性、时变系统。,包括零状态响应和零输入响应。零状态响应和经典理论中稳定性问题一样，考虑外部稳定性问题。而零输入响应的稳定性问题，即研究齐次方程由任意非零初态引起的响应的稳定性问题，这是一种内部稳定性问题。 1892年，俄国人李雅普诺夫发表了运动稳定性的一般问题的博士论文，提出了分析稳定性的两种有效方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只适用于平衡状态附近。第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法。显然，第二种方法对线性、非线性系统都适用。,在状态空间中，,5.1 外部稳定性与内部稳定性,5.1.1外部稳定性,有界输入有界输出稳定性；线性动态系统；零初始条件。定义：初始条件为零的系统，任何一个有界输入作用下系统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的。BIBO稳定：Bounded input Bounded output,1.单输入单输出系统（模的有界性）,2.多输入多输出系统（模的有界性）,可用每个分量的模的有界性表征。,5.1.2内部稳定性,零输入条件下的系统称为自治系统，其自治状态方程为,内部稳定性完全由内部状态变化所定义，考虑的是系统的零输入响应，适用于线性、非线性、定常、时变等系统。其定义为：系统由任意非零初态x(t0)引起的响应xu(t)有界，并满足渐近属性,对于一般情况，内部稳定性指自治系统状态运动的稳定性，实质上，内部稳定性等同于下一节将介绍的李亚普诺夫渐近稳定性。,例5.1单输入单输出系统的初始状态为x0，分析系统的外部与内部稳定性。,解：系统在输入u的作用下系统的输出响应为,y1为零输入响应， y2为零状态响应。1）根据外部稳定性的定义，有x0 =0，若系统对任何有界输入,则该系统具有外部稳定性。即零状态响应为等幅振荡或衰减响应。（系统传递函数的极点全部具有负实部。）,系统是内部稳定，即渐近稳定的充分必要条件是状态转移矩阵满足下式,2）根据内部稳定性的定义，有u =0，系统由任意非零初态x0引起的响应xu(t)为,对于线性定常系统，满足上式的条件是系统矩阵A的所有特征值全部具有负实部。 可见，对于同一系统，只有在一定条件下，外部稳定性与内部稳定性两种定义才具有等价性。,注：,对单输入单输出线性定常系统,具有外部稳定性的充要条件是其传递函数,所有极点都位于s平面的左半面。（包含临界稳定）（未考虑零极点对消，只考虑了能控且能观的状态）,5.2李亚普诺夫定义下的稳定性,李雅普诺夫定义：针对系统的平衡状态，适用于单变量、线性、定常系统、多变量、非线性、时变系统。,衰减与否,5.2.1系统的平衡状态,自制系统：不受外部作用,若对任意时间t,则称xe为系统的平衡状态，也称系统的零解,1. 线性定常系统的平衡状态,n维状态空间的坐标原点是一个平衡状态,（1）A为非奇异阵，原点是唯一平衡状态（2）A为奇异阵，还有其他平衡状态,例：,注意：在t0时刻的平衡状态，指t t0时，所有满足A(t)x=0的状态。当系统处于平衡状态时，若无输入作用，则系统一直处于该状态。,由Ax=0，可知平衡状态为x1R,x2=0原点必为一个平衡状态。,2.非线性系统的平衡状态,非线性系统可能有不同的平衡状态，其稳定性可能不同。 例：,由平衡状态定义，令f(x1,x2)=0，可求得平衡状态,注： ,1、线性系统的任意平衡状态均可通过坐标变换将其移到状态空间原点，其稳定性是一致的。 不失一般性的，我们认为线性系统的平衡状态确定为xe=0。 2、对线性定常系统，可以认为是研究系统的稳定性；而对其他系统，只能认为是研究某一平衡态下的稳定性。,5.2.2状态矢量范数,范数表示状态矢量x与平衡状态xe之间的距离。,如图所示三个系统，均处于平衡状态，考察其受扰动作用，自平衡状态偏离后的系统响应。（a）自由响应有界；（b）自由响应有界，且最终返回原来初态；（c）自用响应无界。,李雅普诺夫把以上三种情况分别定义为稳定、渐近稳定、不稳定。,5.2.3李亚普诺夫意义下的稳定性定义,1.稳定,（1）定义：设系统的初始状态x0 处在状态空间中，位于以平衡状态 xe 为球心，半径为的闭球域s ()内，即 |x0-xe|，t= t0 若系统由初态x0出发的系统响应x (t ；x0， t0 )在t 的过程中都位于以平衡状态xe为球心，半径为的闭球域s()内，即 |x (t ；x0，t0 ) - xe|，t t0 则称动力学系统的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，或称系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。 式中，|表示向量的范数（模）。 如果的大小与t0无关，则称x是李雅普诺夫意义下的一致稳定；否则为局部稳定。,（2）李雅普诺夫稳定性定义的几何解释（考虑x0 =0）： 在状态空间中，任给一个以坐标原点为中心的球域 s()，无论多小，都能找到一个以原点为中心的球域 s()，使任何从 s()出发的运动轨迹，都不超出 s()。考虑二维空间，s()、s()均为一个圆。,2、渐近稳定(重要),（1）定义： 如果平衡状态x0不仅是李雅普诺夫意义下稳定的，且从球域S ()出发的任意解x，时间趋于无穷大时，不仅不会超出球域S ()，而且最终收敛于平衡状态xe或其邻域，即,则称平衡状态xe是渐近稳定的。,（2）几何含义 注意，渐近稳定首先应是李雅普诺夫意义下的稳定。,工程上往往喜欢渐近稳定，因为希望干扰除去后，系统又会回到原来的工作状态，这个状态正是我们设计系统时所期望的，也就是前面所说的平衡状态。,无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定，都属于系统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围 xe 的小范围内，能找到和满足定义中条件即可。至于从s()外的状态出发的运动，却完全可以超出s()。因此，上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。,而从实用观点出发，仅仅判知系统是小范围渐近稳定的，系统不一定能正常工作，一旦实际存在的干扰，使系统的初始状态偏离而超出s()的范围，就会导致x有可能不返回xe。解决办法是确定渐近稳定的最大范围。然后把实际干扰的大小限制在此范围内。实际上，此范围的确定非常困难，且限制干扰的大小，也不一定能做到。因此，工程上对大范围渐近稳定更感兴趣。,3.大范围渐近稳定 (重要),如果系统在任意初始条件下的解x ，当t的过程中，收敛于平衡状态xe或其邻域，则平衡状态xe是渐近稳定的，且其范围包含整个状态空间，则称xe是大范围渐近稳定，或称全局渐近稳定的平衡状态。,大范围渐近稳定的必要条件是：状态空间中系统中只有一个平衡状态。（经典控制理论当中，只有渐近稳定才是稳定）例：,可知零状态必然是系统的平衡状态，而若零状态渐近稳定，因为它是系统唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的。,可见，线性系统稳定性与初始条件无关。,4.不稳定,如果无论 的值有多么小，即初始状态x0与平衡状态xe非常接近，而由球域s()内出发的任意解，只要有一条轨迹离开球域s()，则系统的平衡状态xe是不稳定的。,由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S()对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域，是局部性能。,局部渐近稳定,局部不稳定,稳定,不稳定,大范围渐近稳定,局部稳定,1.线性定常系统：任一孤立平衡状态，都可通过坐标变换移到状态空间的原点，分析原点的稳定性具有代表性。2.非线性系统：各个平衡点的稳定性不同，应该分别分析各平衡状态xe的稳定性。3.稳定只要求状态轨迹在球域s()中，而渐近稳定要求x最终收敛于或无限接近于平衡状态xe。4.实际中希望xe为大范围渐近稳定。5.对于线性系统：若平衡状态是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定。6.在经典控制理论中的稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统；在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。,结论（重要）,例5.2,解 令u=0，系统的平衡状态为,xe1=任意值,输入信号为0时，状态方程的解为,在t的过程中，由于系统的解x不是收敛于平衡状态 xe，系统是稳定的，但不是渐近稳定的。实际上，只要每个特征值均具有负实部，则每个状态分量的零输入解将衰减为0，即收敛于0平衡状态，系统是渐近稳定的。 ,实际上，由于是线性系统，分析原点的平衡状态的稳定性即可。,例5.3直接用定义判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。,解：令u=0，系统的平衡状态为,系统0输入的状态解为,系统渐近稳定,系统状态稳定，系统的输出为,系统的总输出=输入激励的响应。系统的输出稳定。,A阵特征值1=-2，2=-3，可知渐近稳定，外部稳定。,实际上可以直接判断：,5.2.4外部稳定性与内部稳定性之间的关系 单输入单输出系统,1.若传递函数无零极点对消,1. 不存在公因子相消，传递函数的极点与系统特征值相同。极点 外部稳定性；特征值 状态转移矩阵 状态轨迹 内部稳定性；,内部稳定性 外部稳定性,2.若系统存在公因子相消-零极点对消,传递函数的极点数少于系统特征值，由于可能消去的是正实部的极点，则系统具有外部稳定性，但不一定具有内部稳定性。G(s)的极点只是矩阵A的特征值的子集。,内部稳定 外部稳定,结论（线性定常系统）： ,4.若系统状态是稳定的，则系统输出是稳定的。,1.内部稳定 外部稳定,3.若系统能控能观，则内部稳定 外部稳定,只用传递函数的极点判断系统的稳定性不一定真正反映系统的稳定性。此时，系统内部可能有一些状态越界，导致系统饱和或出现危险。,5.3 李雅普诺夫判稳第一法,1.是间接的方法；2.由A求i，根据系统的特征值判断系统的稳定性3.对于非线性系统，首先需要进行线性化。,5.3.1线性定常系统的稳定性分析1、线性系统稳定性分析的特征值判据,定理：线性定常系统 的零平衡状态xe是渐进稳定的充要条件是：A阵的所有特征值具有负实部。,定理：若所有的有界输入引起的零状态响应的输出有界，则称系统输入输出稳定。充要条件是W(s)的所有极点具有负实部。 零输入响应属于内部稳定性（状态稳定性）。 零状态响应属于系统外部稳定性，又称之为输入输出稳定性（BIBO稳定性）。,例5.4 判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。,解：,直接判断系统状态x1不稳定。,系统的输出稳定。,例5.5判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。,极点-3具有负实部，是输入输出稳定的。,解：1）外部稳定性（输入输出稳定性）,2）内部稳定性分析由,系统非渐近稳定，但是输入输出稳定。因为存在零极点对消，消掉了具有正实部的特征值=2。,2 线性离散系统稳定性分析,定理 线性定常离散系统,的零平衡状态xe是渐近稳定的充要条件是：系统矩阵G阵的所有特征值的模全部位于根平面的单位圆内，即,例5.8 试确定系统在原点的稳定性。,G阵的所有特征值的模都小于1，加上系统只有一个平衡状态，因此此离散系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。,解 求离散系统的特征值,5.3.2线性时变系统的稳定性分析,系统平衡状态为xe=0在时刻t0是渐近稳定的。,设线性系统为,系统的平衡状态为xe=0，状态方程的解为,tt00,若有,则,5.3.3非线性系统的稳定性分析,当n维状态向量函数f（x）对x有连续的偏导数存在时，可将非线性向量函数f（x）在平衡状态xe附近展开为泰勒级数,非线性系统为,忽略二次以上的高次项，得出非线性系统一次近似的线性化数学模型为,判断方法：,1.若矩阵A所有特征根具有负实部，则系统在xe处渐近稳定，与忽略掉的（x）无关；2.只要A有一个特征根具有正实部，系统在xe处不稳定，与（x）无关；3.只要A有一个特征根实部为0（纯虚根，0根），系统在xe处稳定性与（x）有关；不能直接判断稳定性，只能用李雅普诺夫第二法判断。,例5.9分析系统平衡态的稳定性。,2.线性化,3.求线性化后的特征根,4.由劳斯判据可知，系统的特征根全部具有负实部，系统在平衡状态处渐近稳定。,解：1.求系统的平衡状态,5.4 李亚普诺夫判稳第二法,一、李雅普诺夫第二法的基本思想 二、标量函数V（x）的符号性质三、二次型标量函数的符号性质四、李雅普诺夫第二法的稳定性判据,5.4.1李雅普诺夫第二法的基本思想,例：选取i(t)和y(t)作为状态变量， x1(t)=i(t)，x2(t)=y(t)，u=0。,电容能量电感能量电路总能量能量变化率,平衡状态xe=0,系统总能量不变，响应为等幅振荡，是李雅普诺夫意义下的稳定。,系统总能量衰减，是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。,说明：,能量及能量的变化率表明，一旦系统因干扰偏离xe (x10，x20)，若系统具有正能量，将产生自由运动。若沿着状态矢量的运动轨迹时，系统能量又具有负的变化速度。这意味着，随时间增长，能量将不断耗散，从而趋于能量最小的平衡状态xe ，直至能量消耗殆尽，最后回到能量等于0的平衡状态xe ，因此系统渐近稳定。反之，如果在运动中，系统能量具有正的变化速度，系统将不断从外界吸收能量，能量越来越大，肯定不稳定。,李雅普诺夫第二法又称直接法，从能量的观点来研究物理系统的稳定性问题。其基本思想是：系统所具有能量是状态矢量x的标量函数。平衡状态具有的能量最小。 对于一般系统，引入一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数，一般与状态变量和时间有关V（x，t）；若不显含t ，记为V（x） 。,李氏第二法利用系统的能量函数V（x）和 的正负去判断系统的稳定性。 二者均是x的标量函数。,5.4.2标量函数V（x）的符号性质,设V（x）是在域中的n维状态x所定义的一个标量函数，当x=0时， V（x）=0。如果对域中的非零状态，即当x0时， 有1.V（x）0，称V（x）为正定的。 V（x）=x12+ x222.V（x）0，称V（x）为半正定的。 V（x）=(x1+ x2)23.V（x）0，称V（x）为负定的。V（x）= - (x12+ x22)24.V（x）0，称V（x）为半负定的。V（x）= -(x1+ x2)25.V（x）符号不定，称V（x）为不定的。V（x）=x1 x2 + x22,5.4.3二次型标量函数的符号性质,二次型函数是一类重要的标量函数，在李氏第二法中常取它为李氏函数。 设n个状态变量为x1， xn，矩阵P为实对称矩阵，则,对于P为实对称矩阵的二次型V（x）的符号性质可以由塞尔维斯特判据判断。,5.4.4李亚普诺夫第二法的稳定性判据,设系统的状态方程为,平衡状态为xe=0，（线性定常系统：不失一般性，可把状态空间的原点作为系统的平衡状态。）,若找到一个单值标量函数V（x），而且对状态矢量的每个分量，均有连续一阶偏导 存在。,可据此判断系统的稳定性。,1.判据一,xe是平衡状态，如果存在一个对t具有一阶连续偏导数的标量函数V(x,t)且满足以下条件,设系统状态方程为,此外，若|x|，有V(x,t)，则系统在xe处大范围渐近稳定。,1）V(x,t)0,正定；2） ,负定；则系统在xe处渐近稳定。,例5.12 a为正实数，试分析系统稳定性。,解：若应用李氏第一法： 1.求系统的平衡状态,2.线性化,3.求线性化后的特征根,4.由于系统的特征根实部为0，系统在平衡状态处稳定性无法判断，只能用李氏第二法。,解二：用李氏第二法1）求平衡状态,2)选取V(x)为正定的二次型,由判据一可知,系统在0平衡状态是渐近稳定的；由于|x|，有V(x,t)，系统也是大范围渐近稳定。,例5.13 给定线性时变系统，判定其原点xe=0是否是大范围渐近稳定。,系统在原点处大范围渐近稳定。,t0,解 取正定矩阵,则系统李亚普诺夫函数，及其对时间t的导数分别为,例5.14 试确定离散系统在原点的稳定性。,由于离散系统不存在能量函数对时间的导数，而是代之以能量函数的增量,解 取正定实对称矩阵P为,则系统能量函数为,系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,2、判据二,1）V(x,t)0，正定；2） ，半负定；则系统在 xe 处稳定。3）此外，对于任意初始时刻t 0时的任意状态x00，在tt0时除在x=xe时有 外， 不恒等于0。则系统在 xe 处是渐近稳定的。,x1,x2,轨迹相切于能量等值线,xe,x1,x2,xe,例5.15 分析非线性系统的稳定性。,1)系统的平衡状态为xe=02)选择能量函数,由判据二可知，系统在平衡状态是稳定的。,3)考察 在系统方程的非零状态运动轨迹上是否恒为零。,假设,意味只有零平衡状态才满足。,与假设条件矛盾，故假设情况不会发生在方程的解运动轨迹上。因此，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。,3、判据三,则系统在平衡状态xe处是不稳定的。,1）V(x,t)0，正定；2） ,正定；,例5.16分析系统的稳定性。,解1）求平衡状态,2）选择能量函数,由判据3，系统在零平衡状态是不稳定的。,例5.18 分析此系统的稳定性。,解1）求平衡状态,2）选择能量函数,由判据2，系统在零平衡状态是稳定的。,无法判断。,负定，|x|，有V(x,t) ，由判据1，系统在零平衡状态是大范围渐近稳定的。,说明： ,1）应用李氏第二法分析稳定性的关键在于如何找到李氏函数V(x)。李氏稳定性定理本身没有提供构造李氏函数的一般方法。对于线性系统，李氏函数一定可以用二次型函数V(x)= xTPx构造；2）定理给出的仅为稳定性的充分条件，即所构造的李氏函数不符合要求，不能说明系统不稳定，也许没有找到恰当的函数而已。3）对于给定系统，李氏函数不是唯一的。4）满足负定的条件并不容易，可用半负定来代替，常用判据2。5）李氏函数是一个标量函数；6）对于渐近稳定的平衡状态，总是存在李氏函数；7）对于线性系统渐近稳定的平衡状态，必是大范围渐近稳定的。,5.5 李亚普诺夫法在线性系统中的应用,李亚普诺夫矩阵方程 李亚普诺夫矩阵方程的应用,5.5.1李亚普诺夫矩阵方程,对于线性定常连续系统，A为非奇异阵，故xe=0是系统唯一平衡状态。其稳定性可由其特征值是否全有负实部来判定。 初选一李氏函数，取为二次型，即令V(x)=xTPx 0，P为n维实对称正定阵。则,其中，-Q=ATP+PA，此为李亚普诺夫矩阵方程。于是，稳定性判断的问题简化为只要找到一对矩阵P、Q，满足李氏矩阵方程，且均为正定矩阵，则V(x)正定， 负定，系统零平衡状态是大范围渐近稳定。,P 、Q求解 先选定Q，由方程- Q =AT P + PA求P ，通常选Q =I。,V(x)= xTPx 0,5.5.2李亚普诺夫矩阵方程在线性定常系统稳定性判别中的应用,判据四 对于线性连续时不变系统，其零平衡状态渐近稳定的充要条件是，对于任意给定的一个正定对成的矩阵Q，都存在一个正定对称的矩阵P满足矩阵方程 -Q=ATP+PA 此时，标量函数V(x)= xTPx就是系统的一个李氏函数。,注意,1.是充要条件；2.对正定对称矩阵Q ， 判决结果与型式选择无关，可取Q = I，即,4.求出P ，按照P的符号判决： P 正定，渐近稳定；P半正定、稳定， P负定，不稳定。5.如果Q =I，而李氏方程没有解，或具有多个解，或具有唯一解而解非正定方程，都表明系统不是渐近稳定。,3.如 沿任意运动轨迹都不恒等于0，则Q取半正定也可。,例题5.19判断稳定性。,2）选取李氏函数为,解1）xe=0,即希望,实对称矩阵,由塞尔维斯特判据各阶主子式：所以， P正定，在原点处大范围渐近稳定。李氏函数,3）判断P是否正定,例5.20试确定如图所示系统增益K的稳定范围。,解：1.由题可知，xe=0是唯一平衡状态,恒等于0只能出现在坐标原点，因此可用此半正定阵来判断稳定性，以简化计算 。,2.设选取半正定矩阵Q,沿任意运动轨迹都不恒等于0,检验 在系统运动过程中是否恒等于0。,由塞尔维斯特判据，若P为正定阵，其充要条件为： 12-2k0，且k0， 即 0k6保证系统渐近稳定。,外部稳定性,为输入输出稳定。 因为前向通道所串联的都是惯性环节、积分环节，无零极点对消，所以系统的极点与特征值完全相同。,内部稳定性 外部稳定性,5.5.3基于李亚普诺夫第二法的线性时变系统的稳定性分析,设线性时变连续系统为,系统的平衡状态xe=0。取一个连续正定实对称时变矩阵P(t) ，构造一个李氏函数,令,若Q(t)是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的。,5.5.4线性定常离散系统的稳定性,xe=0为其平衡状态。可取李亚普诺夫函数为,P为正定实对称矩阵。对于线性定常离散系统，用差分代替连续系统中的导数,令,若Q是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的。,例5.23 试求线性离散时间系统在平衡状态系统渐近稳定的值范围。,若要系统在平衡状态系统渐近稳定，则P必为正定矩阵，应有,解 令Q=I，得李氏方程,解此方程得,5.5.5用李亚普诺夫函数估算系统响应的快速性,前面的分析已经指出，李亚普诺夫函数V(x)的物理意义指系统具有的能量随状态x的位置而变化；而从几何意义上看，又表示状态x与系统平衡点xe=0之间的距离。 表示状态趋于原点的速度 。 对于渐近稳定的系统，设原点是系统的平衡点，则定义标量,为系统趋于平衡点的快速性指标，称为衰减系数，是大于0的正数。越大，说明系统趋于原点的速度越快。在一般情况下，衰减系数是系统自由运动状态的标量函数，记为(x) 。 可以看出，能量V(x)越大，且能量下降速率 越小，则(x) 越小，对应于运动衰减越慢；反之，能量V(x)越小，且能量下降速率 越大，则(x)越大，对应于运动衰减越快。,李亚普诺夫第二法已经获得了广泛的应用，不仅可以用于系统的稳定性分析，线性和非线性系统的瞬态性能分析和参数选择，还可用于系统的校正，而且可进一步用于求解某些最优控制问题。,5.6 李亚普诺夫第二法在非线性系统中的应用,在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则必是大范围渐近稳定的，然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。 如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于Lyapunov第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法（Krasovski method），用于构成非线性系统Lyapunov函数的舒茨-基布逊（Schultz-Gibson）变量梯度法，用于某些特殊非线性控制系统稳定性分析的阿尔曼法（线性近似法）、鲁里叶(Lure)法，以及用于构成吸引域的波波夫方法（Popov）等。他们并不总是有效的，但对于某些复杂的非线性系统，提供了构造李亚普诺夫函数的非试凑的方法。,5.4.1克拉索夫斯基法,克拉索夫斯基方法又称雅可比法，给出了非线性系统平衡状态大范围渐近稳定的充分条件。在非线性系统中，可能存在多个平衡状态。可通过适当的坐标变换，将所要研究的平衡状态变换到状态空间的原点。所以，可把要研究的平衡状态取为原点。 设非线性控制系统为,假设f（0）=0，即xe=0为系统的平衡状态，且设f（x）对x在整个状态空间可导，系统的雅可比矩阵为,克拉索夫斯基定理: 如果任给一个对称正定矩阵P，使矩阵,是正定的，那么平衡状态xe=0是渐近稳定的。式中，J(x)是雅可比矩阵。系统的李亚普诺夫函数可为,例5.26 确定系统平衡状态xe =0的稳定性。,为对称正定阵，所以平衡状态xe=0是渐近稳定的。李亚普诺夫能量方程为,解,取P=I，有,所以平衡状态xe=0是大范围渐近稳定的。,阿塞尔曼法也称线性近似法，是对非线性系统中的非线性元件作线性近似。设系统的动态方程为,5.4.2阿塞尔曼法,xe=0为系统的平衡状态。f（xi）为单值非线性函数，并满足,若以线性函数取代非线性函数，即令,按照线性化方程，可对线性化后的系统建立李亚普诺夫函数V(x)，若 在K1KiK2区间内是负定的，则当非线性函数不超过上述区间时，非线性系统的平衡状态xe=0是大范围渐近稳定的。,例5.28设系统状态方程如下，f(x1)如图所示，判断xe=0的稳定性。,Q为正定对称阵，则非线性系统的李亚普诺夫函数为,解 令f(x1)=2x1，线性化后的系统方程为,通过求解李亚普诺夫方程可得,根据 负定的要求，稳定时要求,只要非线性特性在此范围内，如图所示，系统是大范围渐近稳定的。,5.7 基于Lyapunov第二法的参数最优问题,5.7.1线性二次型最优控制问题,经典控制理论中，先设计控制系统，再判断系统的稳定性。而线性二次型（Linear quadratic）最优控制问题是先利用Lyapunov第二法确定稳定性条件，继而再在约束条件下设计控制系统，这样，系统输出将能够连续地向期望状态转移。,式中的L（x,u）是x和u的二次型函数，将得到线性控制律，即,5.7.2参数最优问题的Lyapunov第二法的解法,如果能用Lyapunov第二法作为最优控制器设计的基础，就能保证系统正常工作，也就是说，系统输出将能连续地朝所希望的状态转移。因此，设计出的系统具有固有稳定特性的结构（注意，如果系统是不能控的，不能采用二次型最优控制）。 对于一大类控制系统，在Lyapunov函数和用来综合最优控制系统的二次型性能指标之间可找到一个直接的关系式。下面将用Lyapunov方法来解简单情况下的最优化问题，该问题通称为参数最优化问题。 讨论Lyapunov函数和二次型性能指标之间的直接关系，并利用这种关系求解参数最优问题。考虑如下的线性系统,式中，A的所有特征值均具有负实部，即原点xe=0是渐近稳定的，或称A是稳定矩阵。假设矩阵A包括一个（或几个）可调参数。要求下列性能指标,达到极小，式中Q为正定（或正半定实对称矩阵）。因而该问题变为确定几个可调参数值，使得性能指标达到极小。在求解该问题时，利用Lyapunov函数是很有效的。假设,式中，P是一个正定实对称矩阵。根据Lyapunov第二法可知，如果A是稳定矩阵，则对给定的正定矩阵Q，必存在一个正定矩阵P，使得,因此，可由该方程确定P的各元素。性能指标J可按,因而性能指标J可依据给定的初始条件x(0)和P求得。例如，如果欲调整系统的参数，使得性能指标J达到极小，则可对讨论中的参数，用,取极小值来实现。,例5.29 研究图示的二阶系统，确定阻尼0的取值，使得系统在单位阶跃输入r(t)=1(t)作用下，性能指标,定义如下状态变量,解,达到极小。式中的e为误差信号，e =rc，为加权系数。假设系统开始时是静止的。,由于输入r(t)是单位阶跃函数，所以,Q是正定矩阵。由于A是稳定矩阵，,式中的P由下式确定,对 使J为极小，可令,5.8 基于李亚普诺夫第二法的模型参考控制系统,5.8.1 模型参考控制系统,由于所有的物理对象在某种程度上均是非线性的，所以设计出的系统仅在一个有限的工作范围内才能得到满意的结果。在这种情况下，可以采用系统设计的模型参考方法。 使系统具有理想性能的一种有效的方法是利用一个参考模型，对给定的输入产生所希望的输出。参考模型也称为模型参考系统，它不必是实际的硬件设备，可以是在计算机上模拟的数学模型。具有参考模型的控制系统，称为模型参考控制系统。在模型参考控制系统中，将参考模型的输出和受控对象的输出进行比较，差值用来产生控制信号。参考系统是根据被控系统期望的动态性能选择的，控制的目的是使受控系统的输出渐近跟随模型参考系统的输出，从而使受控系统满足期望的动态性能，受控系统与模型参考系统的输出误差也渐近收敛为零。,5.8.2 控制器的设计,希望控制系统紧随某一模型系统。设计的关键是综合出一个控制器，使得控制器总是产生一个信号，迫使对象的状态接近于模型的状态，模型参考控制系统的典型结构示于下图。,假设模型参考系统是线性的，动态方程为,又假设A的所有特征值都有负实部，则该模型参考系统具有一个渐近稳定的平衡状态。,误差向量为,设计一个控制器，使得在稳态时，,在综合控制向量u时，可以对系统构造一个Lyapunov函数为,如果1） 是一个正定矩阵；2）控制向量u可选择得使标量M为非正值。,则平衡状态e=0是渐近稳定的。,例5.30 考虑由下式描述的非线性时变系统,解 定义误差向量为,a(t)是时变参数， b为正常数。设参考模型的方程如下, 试设计一个非线性控制器，使得系统能够稳定地工作。,式中，P是正定实对称矩阵。,如果选取u使得,采用所求取的控制函数u时，平衡状态e=0就是大范围渐近稳定的。因此，控制函数u确定了一个非线性控制律，它将保证系统渐近稳定地工作，使原非线性受控系统具有参考模型的二阶线性定常系统的动态性能，特征多项式为,小 结 李亚普诺夫将判断系统稳定性的方法分为两类： 第一方法(间接法)和第二方法(直接法)。 1) 研究系统的稳定性，实质上是研究系统平衡状态的稳定性。在李亚普诺夫意义下，系统稳定和渐近稳定指的是系统在平衡点受到一定程度的扰动以后,恢复到平衡点的能力大小。工程上的稳定都指的是渐近稳定。 2) 李亚普诺夫第一法是通过系统的特征根实部的符号来判断系统的稳定性的，所以又称为特征值判据。而李亚普诺夫第二法从系统状态运动过程中能量变化的角度分析系统的稳定性。在第二方法中选取合适的李亚普诺夫函数是很重要的，但该函数的选取没有通用的方法，并且李亚普诺夫稳定性定理只给出了系统稳定的充分条件。 3) 线性定常连续和离散系统的李亚普诺夫稳定性分析，可以通过求解李亚普诺夫方程的矩阵解来实现。如果求出的矩阵满足正定的条件，则系统是渐近稳定的， 并且这是一个线性定常系统稳定的充要条件。此外，针对非线性系统，提供了构造李亚普诺夫能量函数的非试凑的方法。 4）李亚普诺夫函数除了提供稳定性判据外，还可用于线性和非线性系统的瞬态性能分析和参数最优问题，并可用于模型参考控制系统的设计。,