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单自由度系统的振动,第一章,为什么要研究单自由度系统的振动？,2. 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度系统的振动理论就可以得到满意的结果。,3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。,引言,单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。,引言,振动系统的组成,振动系统的组成,弹性元件是提供振动的回复力，惯性元件是承载运动的实体，阻尼在振动过程中消耗系统的能量和吸收外界的能量。,1. 弹性元件,弹性元件的意义和性质,振动系统的组成,假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；,振动系统的组成,弹簧的等效刚度系数,振动系统的组成,振动系统的组成,2. 惯性元件,1 . 惯性元件的意义和性质,振动系统的组成,3 阻尼元件,1 . 阻尼元件的意义和性质,阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位：,振动系统的组成,单自由度系统的振动方程,结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程时就可以不考虑系统重力的作用。,无阻尼单自由度系统的自由振动,正确理解固有频率的概念,会求单自由度无阻尼系统的固有频率,第一章：单自由度系统的振动,无阻尼单自由度系统的自由振动,1. 固有频率概念的引出,图 无阻尼单自由度系统,特征方程,对固有频率的正确理解：,固有频率仅取决于系统的刚度和质量；,固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性； 它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系,固有频率,2 初始扰动引起的自由振动,自由振动：,运动方程：,特征根：,无阻尼单自由度系统的自由振动,振幅：,初相位：,自由振动：,初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能， 有初始速度即注入了动能。,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动 频率的简谐振动，并且永无休止；,简谐运动三要素,无阻尼单自由度系统的自由振动,(1) 简谐振动是一种周期振动,3 简谐振动的特征,无阻尼单自由度系统的自由振动,固有频率,表示单位时间内重复振动的次数.,无阻尼单自由度系统的自由振动,(2) 简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系,速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？,加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么？,位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零,加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反,无阻尼单自由度系统的自由振动,两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数（可通约）时，合成振动为周期振动；为无理数时，为非周期振动；,合成信号：,无阻尼单自由度系统的自由振动,拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.,一个拍,无阻尼单自由度系统的自由振动,（振幅）,例：升降机笼的质量为 ，由钢丝绳牵挂以等速度 向下运动。 钢丝绳的刚度系数为 ，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。,解:,无阻尼单自由度系统的自由振动,微分方程法：,4 求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法,能量方法：,等效质量和等效刚度法：,静变形法：,无阻尼单自由度系统的自由振动,有阻尼单自由度系统的自由振动,第一章：单自由度系统的振动,有阻尼单自由度系统的自由振动,阻尼：阻碍物体运动，消耗系统能量的各种因素统称为阻尼。,阻尼的机理十分复杂，只靠物理学上的、力学上的定 理是不能得到实际系统的阻尼的。因此，阻尼往往通 过实验来确定。,阻尼既有有用的一面也有有害的一面：,有用的一面：消耗系统振动能量，减小振动幅值，增加系统的稳定性,有害的一面：增加运动阻力，降低运动速度,牛顿第二定律：,自由运动方程：,1.自由运动微分方程的建立,有阻尼单自由度系统的自由振动,2 特征根,有阻尼单自由度系统的自由振动,(1) 过阻尼情况,特征方程有一对互异实根，故通解为：,有阻尼单自由度系统的自由振动,图 质量块对初始位移的过阻尼响应,结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。,有阻尼单自由度系统的自由振动,(2) 临界阻尼情况,特征方程有一对相等实根，故通解：,有阻尼单自由度系统的自由振动,图 质量块对初始条件的临界阻尼响应,结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。,有阻尼单自由度系统的自由振动,(3)欠阻尼情况,或：,有阻尼单自由度系统的自由振动,振幅按指数规律 衰减；,自由振动具有等时性，即相邻两个正（负）峰值之间的时间间隔均为:,自由振动为非周期振动；,3. 欠阻尼振动特性：,有阻尼单自由度系统的自由振动,引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢,相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。,当系统阻尼比较小时，有：,有阻尼单自由度系统的自由振动,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,从数学的角度理解共振现象,会求单自由度有阻尼系统的受迫振动响应,会根据幅频特性曲线计算系统的阻尼比,掌握单自由度有阻尼系统的受迫振动的特征,第一章：单自由度系统的振动,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,受迫振动:,受迫振动方程：,系统在持续的外界控制的激励的作用下所发生的振动。,自激振动方程（颤振）：,受迫振动方程：,齐次方程通解：,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,理解共振现象的数学本质,1.如果,非齐次方程通解：,特解：,待定常数：,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,2.如果,特解：,特解的形式：,待定常数：,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,图 共振响应,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,【思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？,1.实际系统都存在阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅。,2.当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不再是 线性微分方程了，而是非线性运动微分方程，所以此时根据线性 运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,求齐次方程通解,1.简谐激励下受迫振动的解,运动方程：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,完整的受迫振动解：,受迫振动响应的特征：,总的振动响应瞬态振动和稳态振动的叠加；,随着时间的增加，瞬态振动消失，响应主要由稳态振动构成；,稳态振动与激励同频，但与激励之间有相位差;, 稳态振动的振幅和相位差与初始条件无关，初始条件只影响系统的瞬态振动。,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 受迫振动的构成,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,引入两个无量纲参数：,稳态振动：,频率比：,位移振幅放大因子：,位移幅频特性,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移幅频特性,频率比对位移响应幅值的影响：,低频段：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,高频段：,解释：激振力的方向改变过快，振动物体由于惯性来不及发生相应的变化，结果是近似地停着不动。,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移幅频特性,图 位移幅频特性,位移共振：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,阻尼比对位移响应幅值的影响：,阻尼在共振区, 对减小振幅有显著作用；在远离共振区，阻尼对减小振幅的作用不大,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移幅频特性,图 位移相频特性,低频段：,说明响应与激励之间几乎是同相的。,相位差随频率比的变化：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,高频段：,说明响应与激励之间是反相的。,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移相频特性,位移共振：,说明响应与激励之间相差90度。,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移相频特性,共振：,统一规定，频率比 时发生共振。,共振时：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,隔振: 在设备和基础之间加入弹性支撑来减小相互之间所传递的振动量。,图 锻锤的弹性支撑,振动的隔离,【生活中不自觉地运用隔振原理的例子2】：,振动的隔离,第一类隔振（隔力）：通过弹性支撑隔离振源传到基础的力；,振动的隔离,第二类隔振（隔幅）：通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值；,图 隔幅示意图,振动的隔离,经隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别为：,图 隔力问题的力学模型,振动的隔离,【隔振的评价】,力传递率：,图 隔力问题的力学模型,隔力的条件：,传到基础上的合力的幅值：,振动的隔离,图 绝对运动传递率幅频特性,绝对运动传递率：,2. 第二类隔振(隔幅),振动的隔离,周期激励下的振动分析,任意激励下的振动分析,理解周期激励下受迫振动的求解思路,第一章：单自由度系统的振动,当外激励不是简谐激励，而是一般的周期激励，受迫振动如何求？,周期激励下的振动分析,【思路】：,叠加原理,周期激励,周期激励下的振动分析,如果周期函数满足狄利赫莱条件：,1. 在一个周期内，极大值和极小值数目是有限个；,2. 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点数目为有限个；,3. 在一个周期内，函数绝对值的积分为有限值，即：,傅立叶级数展开：,周期激励下的振动分析,另一种形式：,周期激励下的振动分析,系统,周期激励下的振动分析,稳态解：,周期激励下的振动分析,函数：,且,函数的单位:为自变量的倒数，如自变量是时间，则单位是1s。,任意激励下的振动分析,脉冲力的表示：,作用在 时刻冲量为I 的脉冲力,作用在 时刻单位脉冲力,任意一个量与 函数相乘后得到的是相应于该量的分布量,任意激励下的振动分析,集中力,集中力矩,将集中力转化为分布力,将集中力矩转化为分布力矩,任意激励下的振动分析,如果系统在零初始条件下受到一个单位脉冲力作用，响应怎么求？,初始条件变为：,任意激励下的振动分析,任意激励下的振动分析,任意激励下的振动分析,在 时刻作用的单位脉冲(冲量为1)引起的t 时刻的响应为,已知单位脉冲响应，如何求解系统在任意激励下的响应？,则在 时刻作用的冲量为 引起的t 时刻的响应为,任意激励下的振动分析,非零初始条件下，系统的响应：,应用初始条件： ，得,单自由度系统的振动分析,1.频响函数、传递函数,2.频响函数与脉冲响应函数之间的关系,频响函数与传递函数,（一）频响函数,Fourier正变换,Fourier逆变换,Fourier变换,频响函数,频响函数,频响函数与传递函数,频响函数与传递函数,（二）传递函数,Laplace正变换,Laplace逆变换,Laplace变换,传递函数,（二）频响函数与脉冲响应函数之间的关系,频响函数与脉冲响应函数之间的关系,系统,激励：,响应：,谢谢,