数学方法论第一讲观察1修ppt课件.ppt

1,数学方法论与解题研究,2,数学方法论是一门什么样的学科数学方法与数学思想的区别与联系学习数学方法论的意义,3,数学方法论的含义,数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。,4,数学宏观方法论所研究的是整个数学的产生、形成和发展的规律，数学理论的构造，以及数学与其它科学之间的关系。研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史。数学微观方法论所研究的是一些比较具体数学方法，特别是数学发现和数学创造的方法。包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论等等。,5,在我国，是由徐利治先生正式提出“数学方法论”这一名称，并使其成为一门独立的学科。迄今仅二十来年。徐利治先生指出：“方法沦(methodology)就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问。,6,数学思想与数学方法 现代汉语中，思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果 辞海称思想为理性认识 中国大百科全书认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果 可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识,7,数学思想是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中,8,数学方法的含义 方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征 数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径,9,数学思想与方法的关系 数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性； 数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；,10,数学思想与方法的关系数学思想和数学方法又具有相对性同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想,11,学习数学方法论的意义,1、从数学思想方法的意义看2、从当前数学课堂教学现状看,12,从数学思想方法的意义看,21世纪是“知识经济时代”，国际竞争是“创新能力”的竞争，高科技的竞争，若把“高科技”比作皇冠的话，数学就是皇冠上的一颗明珠。就是说要培养21世纪高科技创新人才，首先应培养具有创新思维能力的“数学王子”。,13,从数学思想方法的意义看,在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才、迎接新世纪国际高科技挑战的必由之路。,14,安东尼奥和鲍希亚,15,20世纪80年代，中国曾派一个访问团，去美国考察初级教育。回国后，写了一份三万字的报告，在见闻录部分有四段文字：,30年：两个错误的教育预言,16,1、学生无论品德优劣、能力高低，无不趾高气扬、踌躇满志，大有“我因我而不同凡响”的意味。,2、小学二年级的学生大字不识一斗，加减乘除还在掰手指头，就整天奢谈发明创造，在他们手里，让地球翻转调个头，好像都易如反掌。,3、重音体美，而轻数理化，无论是公立还是私立学校，音体美活动无不如火如荼，而数理化则乏人问津。,4、 课堂几乎处于失控状态，学生或挤眉弄眼，或谈天说地，或跷二郎腿，更有甚者，如逛街一般，在教室里摇来晃去。,17,最后，在结论部分，是这么写的：美国的初级教育已经病入膏肓，可以这么预言，再过20年时间，中国的科技和文化必将赶上和超过这个所谓的超级大国。,18,在同一年，作为互访，美国也派了一个考察团来到中国。他们在看了北京、上海、西安的几所学校后，也写了一份报告，在见闻录部分也有四段文字：,19,1、中国的小学生在上课时喜欢把手放在胸前，除非老师发问时，举起右边的一只，否则不轻易改变；幼儿园的学生则喜欢把手背在后面，室外活动时除外。,2、中国的学生喜欢早起，七点钟之前，在中国的大街上见到的最多的是学生，并且他们喜欢边走路边用早点。,3、中国学生有一种作业叫“家庭作业”，据一位中国老师解释，它的意思是“学校作业在家庭的延续”。,4、中国把考试分数最高的学生称为学习最优秀的学生，他们在学期结束时，一般会得到一张证书，其他人则没有。,20,在报告的结论部分是这样写的：中国的学生是世界上最勤奋的，在世界上也是起得最早、睡得最晚的；他的学习成绩和世界上任何一个国家的同年级的学生比较，都是最好的。可以预测，再用20年时间，中国在科技和文化方面，必将把美国远远甩在后面。,21,30年过去了，美国“病入膏肓的教育制度”共培养了几十位诺贝尔奖得者和一百多位知识型的亿万富豪，而中国还没有哪一所学校培养出一名这样的人才。两家的预言都错了。,22,中美教育各有优点。 中国教育的优点是使学生积累了大量的理论知识，培养了尊敬师长的美德，打下了坚实的基础。 美式教育培养了学生的个性化和创新意识，使其想象力、创新能力、实践能力大大扩展了。,23,知识的冰山模型,明确知识（是什么、为什么）主要是事实和原理的知识,存于书本，可编码（逻辑性）、可传递（共享性）、可反思（批判性）,默会知识（怎么想、怎么做） 本质上是理 解力和领悟,存于个人经验（个体 性）、嵌入实践活动 （情境性）,24,从当前数学教学现状看,多年来，我国中小学依然存在费时低效的现象，表现在教师讲解例题多，学生按套路题解多，对复杂化的题型束手无策，更谈不上创造性地解决实际问题。 从思维方法训练的角度反省，原因在于教师过分看重思维结果，偏重灌输，忽视学生思维过程的展示，以及错误思维过程的暴露。 只有让学生经历思考过程，获得思维方法，才能真正内行为经验和知识，形成能力。,25,为了防止注入式，采用启发式，在教学中我常采用分析综合法，这种方法的关键在于分析部分。通常，学生也认为这样的讲课有启发。可是，有一天，发生了这样一件事。一位学生在课余对我讲：分析法很好，做习题时我也学着用，但有时遇到下面这种情况：ABCDA,案 例,26,这就是我们常讲的“恶循环”。思维过程中出现这种恶循环，就应改变思维方向，否则思维受阻。这位学生困惑不解的问我：“为什么老师讲课时不会出现这种恶循环呢？为什么每次分析总是百发百中，无往而不利呢？其中是不是有秘诀？”,27,我想了想，坦白的告诉他：“为什么能百发百中，是因为昨天晚上我备了课。”我继续对他讲：“如果不备课，或者你突然要我解一道难题，我的思维同样会受阻，会碰壁。不过，在碰壁前，常常有预感快要碰壁了。有时直觉还会告诉我，应向左转或右转，就能挣脱困境。”,28,此时这个学生非常兴奋，“老师，下次讲课，就讲您是怎样从困境中挣脱出来的。就讲您是怎样预感到要碰壁的，讲您拐弯的经验，不要老是百发百中。”,29,这件是给我很大的震动“老师，下次讲课，就讲您是怎样从困境中挣脱出来的。就讲您是怎样预感到要碰壁的，讲您拐弯的经验，不要老是百发百中。”回去以后，我反复思考这个学生的意见，很有感慨。是啊，人的一生必定会遇到许多沟沟坎坎，遭遇到很多困境，而关键是“怎样从困境中挣脱出来”，这对于学生来说太重要了。,30,第一讲 公理化思想,31,欧几里得（Euclid）(公元前330年前275年)是古希腊数学家，以其所著的几何原本闻名于世。大约在公元前330年生于雅典，深知柏拉图的学说。,一、欧氏几何的诞生,32,公元前300年左右，欧几里德在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，完成惊世鸿著几何原本欧几里德的几何原本毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一罗素,33,二、几何原本的历史背景,古希腊数学的发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。,34,泰勒斯 毕达哥拉斯 柏拉图,雅典时期(公元前600年一公元前300年左右),35,亚历山大时期(公元前300年一641年),希腊数学高度发展阶段，可分为前后两期。在这三四百年间，数学舞台上活跃着古希腊最杰出的大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼，他们对数学的发展做出了永载史册的功绩，这一时期是希腊数学的黄金时代。亚历山大后期是指罗马人统治下的时期。虽然这时期还出现了像海伦、梅内劳斯、丢番都等出色的数学家，但随着亚历山大城政治文化地位的衰落，希腊数学也接近了尾声。,36,第一卷一开始提出23个定义，以下是其中的8个： 点没有部分线有长度没有宽度线的界限是点直线是这样的线，它上面的点是同样放着的面只有长度和宽度面的界限是线平面是这样的面，它上面的直线是同样放着的平面上的角是平面上两相交直线相互的倾斜度,三、欧氏几何的主要内容,37,定义之后列出公设和公理各五条：公设从任一点到另一点可以作直线 一条有限直线可以无限延长以任意点为中心，以任意长为半径可以作圆周凡直角都相等平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于截线的这一侧,38,公理(涉及一般逻辑的概念)等于同一量的量彼此相等等量加上等量，其和仍相等等量减去等量，其差仍相等相互合同的就是相等的全量大于部分。,39,第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重要的数学杰作之一。第六卷的内容是相似的理论。,40,第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理。第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。最后三卷，即第十一、十二和十三卷，论述立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在几何原本中找到。,41,四、欧氏几何的优缺点,优点:陈述方式是史无前例的；对公理的选择非常出色； 缺陷：它的定义不能成为一种数学定义，有的不过是几何对象，如点，线，面等的一种直观描述，有的含混不清；它的公设和公理远远不够用。,42,五、欧氏几何的历史地位,尽管几何原本存在着一些结构上的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。,43,几何原本作为教科书使用了两千多年。几何原本被称为数学家的圣经。在训练人的逻辑推理思维方面，几何原本比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。,44,几何原本的主要贡献,（1）成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。（2）对命题作了公理化演绎。从定义，公理，公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。（3）几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。,45,六、欧氏几何与数学的公理化思想,所谓公理化思想就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。,46,几何原本正是按照公理化思想，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。几何原本成为了两千多年来运用公理化思想的一个绝好典范。,47,七、公理化思想的完善与发展,希尔伯特（Hilbert,David）（18621943) 于1899年发表几何基础 ，为重建公理化方法作出了重大贡献。希尔伯特把公理化思想明确而严格地确立了下来。对公理化提出了一些逻辑上的要求：,48,（1）完备性.所有的定理都可以从这组公理中推导出来。（2）独立性.一组公理中的每一个公理都不是其他公理的逻辑推论； （3）相容性.从这些公理出发不能推出相互矛盾的定理。,49,欧氏几何与其说欧几里得创造了一种新数学，不如说他把旧数学变成一种清晰明确，有条不紊，逻辑严谨的新数学。欧几里得成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络，所有这些都使之成为其后所有数学著作的范本。,50,第二讲 公理化思想与 非欧几何,51,第五公设：若一条直线与二条直线相交，并且在同侧交出的两内角之和小于两直角，则这两直线无限延长后必在该侧相交。 长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。,第五公设之争,52,第五公设之争,一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。,53,第五公设之争,为了证明平行公设，不知有多少人进行了千辛万苦的跋涉，尽管有些人宣告已经证明了它，可通过严格的分析原来在证明中，隐含了尚未证明公设五的等价命题作根据；总之都失败了，但是失败是成功之母，就在这一系列的失败中，有一些数学家看到了新的曙光，逐渐地走进了一个新的几何世界非欧几何。,54,1807年进入喀山大学，1811年获得物理数学硕士学位，并留校工作。1814年任教授助理，1822年成为常任教授。1818年，被选进喀山大学校委会。1827年，担任喀山大学校长。1846年以后任喀山学区副督学，直至逝世。,罗巴切夫斯基（1792年12月1日1856年2月24日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。,罗巴切夫斯基几何（罗氏几何）,55,罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程,1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文几何学原理及平行线定理严格证明的摘要。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。 罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意和重视，论文本身也似石沉大海，不知被遗弃何处。,56,1829年，他又撰写出一篇题为几何学原理的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。1832年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大学学术委员会把这篇论文呈送彼得堡科学院审评。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨基院士作评定。,罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程,57,奥斯特罗格拉茨基则使用极其挖苦的语言，对罗巴切夫斯基作了公开的指责和攻击。粗暴地断言：“由此我得出结论，罗巴切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的注意。”,罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程,58,英国著名数学家莫尔甘在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。,罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程,59,罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，除了用俄文外，他还用法文、德文发表了自己的著作，在身患重病，卧床不起的困境下，他也没停止对非欧几何的研究。他的最后一部巨著论几何学，就是在他双目失明，临去世的前一年，口授他的学生完成的。,罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程,60,在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者。高斯,罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程,61,奇异的罗巴切夫斯基几何学,三角形内角和都是小于的，而且其和量因三角形而异，并非一个常量。同一直线的垂线及斜线，并不总是相交的。不存在相似而不全等的两个三角形。如果两个三角形的各内角对应相等，则它们必定是全等的。存在着没有外接圆的三角形。,62,奇异的罗巴切夫斯基几何学,三角形三边的中垂线并非必定交于一点。在平面上一条已知直线a的同一侧，与已知线a有给定距离的点的 轨迹是一曲线，它上面的任意三点都不在一条直线上。在任一角内，至少存在这样一点，通过它不能做出一条同时与两边相交的直线。圆内接正六边形的边大于此圆半径,63,从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。,64,德国数学家黎曼（Riemann）（18261866），1826年9月17日生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。,黎曼几何,65,第一讲 观察与实验,66,1 观 察,一、什么是观察观：看察：仔细看,67,观察是人们有目的、有计划地用感官去认识自然界中各种现象的活动。,月晕而风，础润而雨。,68,观察不仅是一种单纯的知觉过程，同时也包含着积极的思维过程。在科学发展史上，观察起了相当重要的作用。,69,观察、观察、再观察巴甫洛夫没有观察就没有科学，科学的发现诞生于仔细地观察中法拉第我既没有突出的理解力，也没有过人的机智，只是在觉察那些稍纵即逝的事物，并对其精细的观察能力，我可能在众人之上达尔文,70,数学观察是人们通过视觉对数学对象的特征、形式、结构及关系的辨认，从而发现某些规律或性质的方法。,71,1772年，柏林天文台台长、德国天文学家波德总结前人经验，整理发表了一个“波德定律”，为人们提供计算太阳与诸行星之间的距离的经验法则,72,设地球与大阳间距离是10 ，则太阳到各行星的距离分别是,天文学家忙碌了20年，1801年1月1日，意大利天文学家皮亚齐偶然在距离为28的位置发现了一颗行星，数学家高斯给出了确定行星轨道的方法同年12月7日，人们找到了这颗小行星，且被命名为谷神星,73,四色猜想,17世纪文艺复兴和地理大发现，促进了航海事业的空前发展，数以万计的地图绘制出来了。 1852年，哥斯利刚从伦敦大学毕业，从事地图绘制工作，他发现：在地图上，凡是有共同边界线的国家与国家或省与省之间都要用不同颜色来加以区别，那么，只要用四种颜色就足够了，这就是数学上有名的“四色猜想”。,74,哥德巴赫猜想,3+7=10， 3+17=20， 13+17=30 3，7，13，17都是奇素数。 10， 20， 30 都是偶数。 是否两个奇素数之和都是偶数呢？,这是显然的。但是（逆向思维）任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？,75,6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 ,这样下去总是对的吗？即任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和？大于4的偶数=奇素数+奇素数？ ( * )（哥德巴赫猜想）,76,60=3+57 （57=193，不是素数） 60=5+55 （55=115，不是素数) ？！,60=7+53（7和53都是素数） .,77,哥德巴赫猜想。起源，演变,哥德巴赫观察到一些具体例子，然后归纳出： “任何大于2的数都是三个素数的和”（1742.6.7写信给欧拉，并附上一些他观察到的例子） 欧拉（1742.6.30）回信把它进一步明确化为： “每一偶数是两个素数的和”(*)（并说：“我认为它正确，但给不出证明） 1770（英）华林将(*)发表出来。现代的标准陈述是（*） 这一猜想历200多年至今仍悬而未决（1966，陈景润，（1+2）。,78,二、观察的方法,观察问题的整体观察问题的条件和结论的特征观察式子的结构特征观察图形观察是否有隐含条件,79,例 求值,80,81,82,例 证明并推广闵可夫斯基不等式：,83,2 实 验,实验的含义与分类实验的作用实验与观察的关系,84,一、实验的含义与分类,实验是人们根据一定的研究目的，利用仪器、设备，人为的控制或模拟自然现象，使过程以纯粹的、典型的形式表现出来，以便在有利的条件下进行观察和研究的一种科学方法。,85,数学实验是什么？,著名数学家和数学教育家波利亚（Polya )曾精辟地指出: “数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学”,86,美籍匈牙利数学家乔治 彼利亚（ George Polya , 1 887 一 1985 ) 他一生发表 200 多篇论文和许多专著， 在数学的多个分支领域都做出了开创性的贡献他也是一位极优秀的数学教育家， 十分重视培养学生思考问题、分析问题的能力，强调创新及发现的重要性， 影响较大的数学教育著作 怎样解题 、 数学的发现 、 数学与猜想 被誉为第二次世界大战之后的经典之作,87,数学研究是需要实验的. 数学家有时通过成百上千次的实验、观察、联系、归纳、类比、猜想才发现一个真理,最后用特有的严谨的数学语言表达出来，传给世人也留给后人教科书上一般都把数学问题提出的背景、数学家的探索过程省略了,88,所谓“数学实验”，就是从问题（数学本身的问题或实际应用问题）出发，借助计算机，通过学习者亲自设计与动手操作，学习、探索和发现数学规律，或运用现有的数学知识分析和解决实际问题的过程。,89,换言之，数学实验就是学习者自主探索数学知识及其实际应用的实践过程,90,现代数学实验则是以信息技术为工具，以数学软件的应用为平台，模拟实验环境，结合数学模型而进行的数学活动。,91,问 题设半径为1的圆的直径与圆周长的比为A;设半径为2的圆的直径与圆周长的比为B.请问A与B哪个大?,92,93,实验一 圆周率的计算,94,回顾人类对 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面. 直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为了求出它的尽量准确的近似值， 几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。,95,实验时期 通过实验对值进行估算，这是计算的的第一阶段。这种对值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。,96,在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部周髀算经中，就记载有圆“周三径一”这一结论.,97,古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值由此，得到圆周率的稍好些的值。,98,几何法时期 凭直观推测或实物度量，来计算 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。,99,是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。,100,他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于3+(1/7)而大于3+(10/71) ”,101,到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。,102,在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出3.14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。,103,大家更加熟悉的是祖冲之关于圆周率的两大贡献.,104,其一是求得圆周率3.1415926 3.1415927 其二是，得到的两个近似分数即： 约率为227,密率为355113。,105,这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时, 不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。,106,后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？,107,非常遗憾, 这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作缀术早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。,108,对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献, 即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示 这一点，通常人们不会太注意。然而,实际上，后者在数学上有更重要的意义。,109,密率与 的近似程度很好，形式上也很简单，并且很优美,只用到了数字1、3、5。数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中, 没有比密率更接近的分数。,110,在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。可见，密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？,111,1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著圆周论，计算了3228,805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出值，,112,他的结果是：3.14159265358979325有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。,113,计算机时代,114,1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位。,115,1999年9月30日，文摘报报道，日本东京大学教授金田康正已求到20615843亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上,每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米。,116,二、实验的作用,有助于数学理论的研究和发展,117,1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。这一方法的步骤是：取一张白纸，在上面画上许多条间距为2a的平行线。2) 取一根长度为2l（ld） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率,118,蒲丰本人证明了，这个概率是p=2l/(a) 为圆周率,实验者 年代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值 沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596 史密斯 1855 3204 1219 3.1554 德摩根 1680 600 383 3.137 福克斯 1884 1030 489 3.1595 拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929赖纳 1925 2520 859 3.1795,119,斐波那契螺旋,具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部,120,121,这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如,122,此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数1.618033989的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。,123,124,数学与文学作品鉴真,静静的顿河作者究竟是谁,125,126,二、实验的作用,有助于启发数学解题思路三角形内角和定理，勾股定理，圆锥体体积公式，球的体积公式,127,例 一位医学教授想考考他的护士的数学水平。他拿来一个盐水瓶，里面装有近乎瓶子容积一半的液体，让护士们用最简单的办法，判断一下瓶中液体的体积等于、大于、或小于容积的一半，其中一个聪明的护士只是颠倒了一下瓶子就得到了答案，她是怎么做的？,128,129,例 如果正整数N(N1)的正约数的个数是奇数，求证N是完全平方数。,130,二、实验的作用,有助于在数学教学中创设思维情境,131,糖水浓度与数学发现,教师：同学们，今天我们来上一节甜甜的活动课。请看这里摆着一缸清水、一瓶红糖，还有大大小小的一批玻璃杯。现在，我给这个大玻璃杯中放一些红糖，然后再加一些水，得到了一大杯糖水。然后，我把它随意倒在这三个小杯中，记每一杯糖水的浓度为 ，大家想一想，这三小杯糖水的浓度有什么关系？,132,学生（众）：相等。教师：对，应有 现在，我把这三小杯水全部倒进一 个空的大璃杯中，那么，混合后的糖水浓度与原先三小杯水的浓度有什么关系？学生（众）：相等。教师：对，是相等。我们把大杯倒成小杯有合成大杯，好像是重复或循环，其实这里有数学道理。大家能根据这一显而易见的生活常识，提炼出一个数学命题吗？,133,糖水浓度与数学发现,教师：同学们，今天我们来上一节甜甜的活动课。请看这里摆着一缸清水、一瓶红糖，还有大大小小的一批玻璃杯。现在，我给这个大玻璃杯中放一些红糖，然后再加一些水，得到了一大杯糖水。然后，我再给这个大玻璃杯加放一些红糖，我们知道，这水一定比刚才甜了。想一想，能不能把这个现象用数学式子表示出来?,134,糖水浓度与数学发现,教师：我这里有两杯浓度不同的糖水，一杯较淡、一杯较浓。现在我把这两杯糖水混合到第三只杯子里，大家想想，所得的糖水浓度，一定比淡的浓，又比浓的淡。能不能根据这一现象写出一个数学命题呢？,