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    新人教版第二十二章二次函数(全章课件ppt).pptx

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    新人教版第二十二章二次函数(全章课件ppt).pptx

    第二十二章 二次函数,22.1 二次函数的图像和性质22.1.1 二次函数,课前预习1.观察:y6x2;yx230 x; y200 x2400 x200这三个式子中,虽然 函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最 高次项的次数都是_次一般地,如果 y=ax2bxc(a、b、c是常数,a0),那么y 叫做x的_.2.函数y(m2)x2mx3(m为常数). (1)当m 时,该函数为二次函数; (2)当m 时,该函数为一次函数.,二,二次函数,2,=2,3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不 是?是二次函数,请指出各项对应项的系数. (1)y13x2 (2)y3x22x (3)yx (x5)2 (4)y3x32x2 (5)yx,答案:是,二次项系数为-3,一次项系数为0, 常数项为1; 是,二次项系数为3,一次项系数为2,常 数项为0; 是,二次项系数为1,一次项系数为-5, 常数项为2; 否; 否.,4.(2015闸北区一模)在下列y关于x的函数中, 一定是二次函数的是() A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x,A,课堂精讲知识点1 二次函数的定义 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.,(1)任何一个二次函数的解析书都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的形式,因此,把y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)叫做二次函数的一般形式.二次项系数a不能为0,而b,c可以为0,所以二次函数y=ax2+bx+c的特殊形式有: y=ax2(a0,b=0,c=0); y=ax2+bx(a0,b0,c=0); y=ax2+c(a0,b=0,c0).当a=0时,b0,函数就变为一次函数y=ax+c;若b=0,则y=c是一个常数. (2)一个函数是二次函数必须同时满足三个条件:函数解析式是整式;化简后自变量的最高次数是2 ;二次项系数不等于0.,(3)函数自变量的取值范围: y=ax2+bx+c(a0)中,x的取值范围是全体实数. 函数关系式是分式,自变量取值应使得分母不等于0. 函数关系式是偶次根式,自变量取值为被开方数为非负数. 实际问题的函数式,使实际问题有意义.(如大于0,取正整数或某两非负数之间取值),【例1】下列函数中是二次函数的有() y=x+ ;y=3(x-1)2+2; y=(x+3)2-2x2;y= +x A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,解析:本题考查了二次函数的定义判断函数是否 是二次函数,首先是要看它的右边是否为整 式,若是整式且仍能化简的要先将其化简, 然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓 住二次项系数不为0这个关键条件. y=x+ y= +x的右边不是整式,故错误;,y=3(x-1)2+2,符合二次函数的定义, 故正确;y=(x+3)2-2x2=-x2+6x+9, 符合二次函数的定义,故正确.答案:C,【例2】(2015嘉定区一模)如果函数y=(a-1)x2 是二次函数,那么a的取值范围是 ,解析:本题考查二次函数的定义,注意二次函数二 次项的系数不能为零 由y=(a-1)x2是二次函数,得 a-10解得a1 即a1或a1答案:a1或a1,变式拓展1.下列函数中,属于二次函数的是() A. B.y=2(x+1)(x-3) C.y=3x-2 D.y= 2.若y=(m+1) 是二次函数,则m的值为 .,B,7,知识点2 实际问题中的二次函数 前面我们已经学习了用一次函数表示某些问题中变量之间的关系,除此之外,某些问题中的变量之间还存在着其他的一些数量关系,例如:,(1)正方形的边长为x,用y表示正方形的面积, 则y=x2;(2)从地面竖直向上跑出一小球,小球的高度y与 小球运动时间x之间的解析式是y=-5x2+30 x. 对于以上所列举的解析式中的每一个变量x都有唯一的y值与它对应,所以y与x之间是一种函数关系,这种函数关系就是我们正要学习和研究的二次函数. 建立二次函数的模型的步骤如下:,【例3】(2015长宁区一模)某企业今年第一月新 产品的研发资金为100万元,以后每月新产品的研 发资金与上月相比增长的都是x,则该厂今年第三 月新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式 为y= ,解析:由一月份新产品的研发资金为100元,根据 题意可以得到2月份研发资金为100(1+x), 而三月份在2月份的基础上又增长了x,那么 三月份的研发资金也可以用x表示出来,由 此即可确定函数关系式,一月份新产品的研发资金为100元,二月 份起,每月新产品的研发资金与上月相比 增长率都是x 2月份研发资金为100(1+x) 三月份的研发资金为 y=100(1+x)(1+x)=100(1+x)2答案:100(1+x)2,变式拓展:3.(2015奉贤区一模)一个矩形的周长为16,设 其一边的长为x,面积为S,则S关于x的函数解析 式是 ,8x-x2,随堂检测1.下列函数中,不是二次函数的是() A.y=1- x2 B.y=2(x-1)2+4 C. (x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x22.若函数y=(m-3) 是二次函数,则m=_.3.如下图,在正方形ABCD中, E为BC边上的点,F为CD边 上的点,且AEAF,AB4, 设ECx,AEF的面积为y, 则y与x之间的函数关系式是 .,D,-5,y=- x24x,解:(1)x-2;(2)x2;(3)任意实数.,解:y= x(20-2x) =-2x2+20 x (0 x10),22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质,课前预习1.函数 的图像与 的符号有关的是( ) A.顶点坐标 B.开口方向 C.开口大小 D.对称轴2.已知二次函数 的图像如图所示,则a满足 条件( ) A.a0 Ba0 C.aO D.aO,B,A,3.已知二次函数 的图像是 ,开口方 向向 ,顶点坐标为 ,对称轴为 , 当x0时,y随x 的增大而 ,当x= 时,函数有最 值, 最值是 .5.已知抛物线 ( )经过点A(-2,-8), 求抛物线的函数表达式.,抛物线,下,(0,0),y轴,增大,减小,0,大,0,解:把点A(-2,-8)代入 解得 所以所求抛物线的函数表达式为,课堂精讲知识点1 二次函数y=ax2的图像和性质,注意:(1)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数, a0)中,b,c是任意常数,当b=c=0时,得 到二次函数y=ax2,它是最简单的二次函数; (2)由于二次函数y=ax2的图像是抛物线,故也称为抛物线y=ax2; (3)在画函数图像时,图像必须平滑,顶端不能画成尖形的,一般来说,选点越多,图像越精确,但也要具体问题具体分析; (4)抛物线是向两方向无限延伸的.左右两侧必须保持关于对称轴对称; (5)抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.,【例1】在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=-3x2的 图象,并比较两者的异同,解析:根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象, 进而得出图象的异同即可,解:如图所示:两图象 开口大小形状相同, 但是开口方向不同.,【例2】若二次函数 的图象经过点P( -3,2), 则该图象必经过点( ) A.(2,3) B.(-2,-3) C.(3,2) D.(-3,-2),解析:二次函数 的图象关于y轴对称,又知 (3,2)与(-3,2)关于y轴对称, 该图象必经过点(3,2).答案:C,点拨:确定二次函数的图象经过的点,一般思路是 将点的坐标代入函数解析式,若能使函数解 析式成立,则图象经过该点;若不成立,则 图象不经过该点,本题中,由于点的特殊性, 直接利用函数的对称性即可获得答案,故解 答问题时,要注意选择简单的方法.,【例3】已知 是抛物线y=-2x2 上的点,则( ) A. B. C. D.,解析:因为抛物线y=-2x2的开口向下,对称轴是y 轴,在y轴的左边y随x的增大而增大,又因 为-4-2-1O,所以 ,点拨:比较函数值常用的方法有三种:(1)代入法:将自变量的值代入解析式,直接求出函数值进行比较;(2)图象法:画出二次函数的图象(简图),根据自变量在图象上际出点的位置,从而得出函数值的大小;(3)性质法:根据二次函数的图象与性质,由自变量的大小得出函数值的大小.,B,变式拓展1.当 时,函数 与 的图象可能是 ( ),D,A,4.5,12,B,3.函数y=ax2与y=-2x-4直线交于点(2,b),则 (1)a= ,b= ; (2)抛物线的顶点坐标为 ,对称轴为 ; (3)当x 时,函数y=ax2随x的增大而增大.4.若二次函数y=ax2的图像经过点(-1,2),则二次 函数y=ax2的解析式是 5.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,8) (1)求a的值; (2)若抛物线上纵坐标为8的另一个点为B,试求 出AOB的面积;,-2,-8,(0,0),x=0,0,y=2x2,解:(1)将A(-2,8)代人抛物线y=ax2,得(-2)2a=8, 则a=2,(2)由(1)结果可知,函数解析式为y=2x2,当y=8时, 2x2=8,解得x=士2,则B点坐标为(2,8).如下 图:,22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质,B,D,3.抛物线 的开口 ,对称轴是 , 顶点坐标是 ,它可以看做是由抛物线 向 平移 个单位得到的,向上,y轴,(0,-9),下,9,课堂精讲知识点1 二次函数y=ax2+k的图像和性质 二次函数y=ax2+k(a0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k),它与y=ax2的图像形状相同,只是位置不同.函数y=ax2+k(a0)的图像是由抛物线y=ax2向上(或下)平移|k|个单位长度得到的. 二次函数y=ax2+k(a0)与y=ax2(a0)的图像之间的关系如下表所示:,二次函数y=ax2+k的图像和性质总结如下:,【例1】二次函数 的图像向上平移2个单位, 得到新的图像的二次函数表达式是( ) A. B. C. D.,解析:由抛物线平移不改变n的值,根据平移口诀 “左加右减,上加下减”可知移动后的顶点 坐标,再由顶点式可求移动后的函数表达 式原抛物线的顶点为(O,O),向上平移2 个单位,那么新抛物线的顶点为(O,2)可 设新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,代入 得y=x2+2.答案:C,【例2】对于二次函数 ,下列说法错误的 是( ) A.最小值为2 B.图像与y轴没有公共点 C.当x0时,y随x的增大而减小 D.其图像的对称轴是y轴,解析:利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答 案. A.开口向上,有最小值2,正确;B.图 像与y轴交于点 (0,2),错误;对称轴为y 轴,开口向上,所以当x0时, y随着x的增 大而减小;C,D正确,故选B答案:B,变式拓展1.将抛物线 向上平移4个单位后,以所得到 抛物线为图像的二次函数解析式是 .,随堂检测1.函数 与 在同一坐标系内的 图像是图中的( ),B,2.坐标平面上有一函数 的图形,其顶点 坐标为( ) A.(0,2) B.(1,24) C.(0,-48) D.(24,-48)3.若抛物线 的形状与 的相同,开口 方向相反,且其顶点坐标是(O,-3),则该抛物 线的函数表达式是 .4.已知二次函数 的图 像如图所示,它和x轴正半轴 的交点为A(O.8,0),则它和 x轴负半轴的交点B的坐标为 .,D,y=-2x2-3,(-0.8,0),5.已知抛物线y=-x2+4交x轴于A,B两点,顶点是C, 求ABC的面积.,解:由题可知A(-2,O),B(2,0),C(O,4) ABC的面积是8,22.1.4 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质,课前预习1.抛物线y=(x-2)2的顶点坐标是( ) A.(2,O) B.(-2,O) C.(O,2) D.(0,-2)2.将抛物线y=3x2向右平移2个单位,所得抛物线是 ( ) A.y=3(x+2)2 B.y=3(x-2)2 C.y=3x2-2 D.y=3x2+23.抛物线y=2(x-3)2的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.x轴上 D.y轴上,A,B,C,4.抛物线y=2(x+3)2的开口 对称轴是 ; 顶点坐标为 ;当x-3时,y随x的增大而 ;当x=-3时,y有 值,是 .,向上,x=-3,(-3,0),增大,最小,0,课堂精讲知识点 二次函数y=a(x-h)2(a ,h是常数,a0)的图 像和性质 二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h,顶点坐标是(h,O),它与y=ax2(aO)的图象形状相同,位置不同,函数y=a(x-h)2(aO)的图象是由抛物线y=ax2向右(或左)平移|h|个单位长度得到的 画二次函数y=a(x-h) 2 (aO)的图象时,x的取值一般为h和h左右两侧的值,然后利用对称性描点画图,二次函数y=a(x-h)2的图像和性质,总结如下:,【例1】将抛物线 经过适当的平移,得到抛物线 和 ,那么应该怎样平移?,解析:找到三个抛物线的顶点,根据抛物线的顶点 即可判断是如何平移得到的.,解: 的顶点坐标为(-5,O),抛物线 的顶点坐标为(5,O), 的顶 点坐标为(O,O), 将抛物线 向左平移5个单位,可得到 抛物线 ,将抛物线 向右平移5 个单位,可得到抛物线,【例2】二次函数 的开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是( ) A.向上,直线x=4,(4,0) B.向上,直线x=-4,(-4,O) C.向上,直线x=4,(0,4) D.向下,直线x=-4,(O,-4),解析:根据二次函数的性质解题此式为二次函数 的顶点式,因为a0,所以开口向上;对称 轴为x=4;顶点坐标可直接写出,为 (4,O)故选A答案:A,变式拓展1.对于y=2(x-3)2的图像,下列叙述错误的是( ) A.顶点坐标为(-3,0) B.对称轴为直线x=3 C.当x3时,y随x的增大而增大 D.当x=3时,y有最小值02.抛物线y=m(x+n)2向左平移2个单位后,得到的函 数关系式是y=-4(x-4)2,则m= ,n= .,A,-4,-6,随堂检测1.把抛物线y=6(x+l)2平移后得到抛物线y=6x2,平 移的方法可以是( ) A沿y轴向上平移1个单位 B沿y轴向下平移1个单位 C沿x轴向左平移1个单位 D沿x轴向右平移1个单位2.关于抛物线: ; ; ,下列结论正确的是( ) A.顶点相同 B.对称轴相同 C.形状相同 D.都有最高点,D,C,A,y=-(x+1)2,5.如图,抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负 半轴交于点B,且OB=OA (1)求抛物线的解析式; (2)若点C(-3,6)在该抛物线上,求SABC的值,解:(1)由题得,A(-1,0), B(O,-1),将x=0,y=-1 代入抛物线解析式 得a=-1,则抛物线解析式为 y=-(x+1)2=-x2-2x-1,(2)过C作CD x轴,将C(-3,6)代入抛物线解析式, 得b=-4,即C(-3,-4),则 = 3(4+1)- 42- 11=3.,22.1.5 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质,课前预习1.将二次函数y=x2的图像向右平移1个单位长度, 再向上平移3个单位长度,所得图像解析式( ) A.y=(x-1)2+3 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x+1)2-3 2.二次函数 的图像的开口方向、对称 轴、顶点坐标分别是( ) A.向上,直线x=3,(3,4) B.向上,直线x=-3,(-3,4) C.向上,直线x=3,(3,-4) D.向下,直线x=3,(3,4),A,A,3.把抛物线 向 平移 个单位,再向 . 平移 个单位,就得到抛物线 4.抛物线 的开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴是 ,当x-2时,y随x的增大 而减小;当x= 时,y有最 值,这个值是 .,左,1,下,1,上,(-2,-6),x=-2,-2,小,-6,课堂精讲知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a0)的图像和性质 二次函y=a(x-h)2+k(a0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是x=h,顶点坐标为(h,k),是由抛物线y=ax2(a0)向右(左)平移|h|个单位长度,再向上(下)平移|k|个单位长度得到的,二次函数y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a0)的性质与a,h,k的关系密切,现总结如下:,【例1】已知二次,函数 的图像如图 所示,则一次函数 的大致图像可 能是( ),解析:首先根据二次函数图像得出a,c的符号,进而利用一次函数性质得出图像经过的象限解:根据二次函数开口向上,则a0,根据-c是二次函数顶点坐标的纵坐标,得出c0,故一次函数y=ax+c的大致图像经过一、二、三象限,故选A,A,【例2】对于抛物线 ,下列结论: 抛物线的开口向下; 对称轴为直线x=1; 顶点坐标为(-1,3); x1时,y随x的增大而减小, 其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析:根据二次函数的性质对备小题分析判断即可 得解.,解: 抛物线的开口向下,正确; 对称轴为直线x=-1,故错误; 顶点坐标为(-1,3),正确; 时,y随x的增大而减小, 时, y随x的增大而减小一定正确 综上所述,结论正确的个数是3个故选C.答案:C,变式拓展1.已知函数y=2(x+1)2-8. (1)写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐 标. (2)求出图象与x轴的交点坐标,与y轴的交点坐 标. (3)当x取何值时,y的值随x值的增大而增大? 当x取何值时,y的值随x值的增大而减小? (4)当x取何值时,函数有最大值或最小值,并 求出最大值或最小值.,解:(1)开口向上,对称轴是直线x=-1,顶点坐 标是(1,-8). (2)与x轴的交点坐标是(1,0)、(-3,0); 与y轴的交点坐标是(0,-6) (3)当x-1时,y的值随x值的增大而增大; 当x-1时,y的值随x值的增大而减小. (4)当x=-1时,函数有最小值,最小值是-8.,2.已知点 是抛物线 上的三个点,试比较 的大 小: .,随堂检测1.关于二次函数y=-4(x+1)2+3的说法正确的有( ) 顶点的坐标为(1,3);对称轴为x=-1; x-l时知随x的增大而增大; 函数图像与y轴的交点坐标为(O,3) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.在平面直角坐标系上将二次函数y=-2(x-1)2-2的 图像向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则 其顶点为( ) A.(O,O) B.(1,-2) C.(O,-1) D.(-2,1)3.已知二次函数y=2(x+1)2+1(-2x1),则函数y 的最小值是 ,最大值是 ,B,C,1,9,4.二次函数y=-3(x-1)2+2关于y轴翻折得到的二次 函数表达式为 .5.已知二次函数图像的顶点是P(1,-1),且经过 点A(2,0). (1)求这个二次函数的解析式; (2)点Q为第一象限的抛物线上一点,且OQPO, 求SPOQ的值,y=-3(x+1)2+2,解:(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)2-1,将 A(2,O)代人,得a=1, 则抛物线解析式为y=x2-2x.,(2)设直线OP的解析式为y=kx,将P坐标代人, 得k=-1,则直线OP解析式为y=-x. OQPO, 直线OQ的解析式为y=x, 代入抛物线解析式,得x2-2x=x 解得x=0(舍去)或x=3 Q(3,3) OQ= ,OP= 则SPOQ= OQOP=3,22.1.6 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质,课前预习1.函数y=x2-4x+3图象顶点坐标是( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)2.二次函数 的图象如右图,则点( ,) 在第_象限.,A,四,D,C,课堂精讲知识点1 二次函数y=ax2+bx+c (a,b,c是常数, a0)的图像和性质1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的图 像的画法: (1)描点法,步骤如下: 利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成 y=a(x-h) 2+k的形式. 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点 画图.,(2)平移法,步骤如下: 利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成 y=a(x-h) 2+k的形式,确定其顶点(h,k). 作出函数y=ax2的图像 将函数y=ax2的图像平移,使其顶点平移到 (h,k). 一般地,由配方可得 ,过程如下:,顶点坐标为 ,对称轴为,2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的性 质列表如下:,【例1】对于抛物线y=-4x+x2-7,有下列说法: (1)抛物线的开口向上; (2)对称轴为x=2; (3)顶点坐标为(2,-3); (4)点(- ,-9)在抛物线上. 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,解析:抛物线y=-4x+x2-7=(x-2)2-11,由a=1,可 得开口向上,故(1)错误;由h=2,可得对 称轴为x=2,故(2)正确;由h=2,k=-11,可 得顶点坐标为(2,-11),故(3)错误; 把x=- 代入 y=(x-2)2-11可得y=- ,故 (- ,-9)不在抛物线上,故(4)错误.所 以正确的有2个.答案:C,变式拓展1.二次函数y=x2-2x-3的图象与y轴交点坐标是 ,与x轴交点坐标是 .,(0,-3),(-1,0)和(3,0),知识点2 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数, a0)的图像特征与a,b,c,b2-4ac的符号 之间的关系 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的图像特征与a,b,c,b2-4ac的符号之间的关系如下表所示,注意:二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0) 的图像特征与a,b,c,b2-4ac的符号之间的关 系是互逆的,即由字母的符号能确定图像的 特征,反之,由图像特征也能确定字母的符 号.,解析:根据二次函数的性质, 对a、b、c的值进行判 断.利用二次函数图象 与x轴的交点个数,对 判别式b2-4ac进行判断,利用对称轴公式对 2a+b进行判断,将特殊值代入解析式,对 a+b+c进行判断.,【例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则 abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中, 值为正数的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,(1)abc0,理由是,抛物线开口向上,a0, 抛物线交y轴负半轴,c0,又对称轴交x轴 的正半轴, 0,而a0,得b0,因此 abc0;(2)b2-4ac0,理由是,抛物线与x轴有两个交 点,b2-4ac0;(3)2a+b0,理由是,0 1,a0, -b2a,因此2a+b0;(4)a+b+c0,理由是,由图象可知,当x=1时, y0;而当x=1时,y=a+b+c即a+b+c0. 综上所述,abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有3个答案:B,变式拓展2.(2015岳池县模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当x=1和x=3时,函数值相等; 4a+b=0;当y=-2时,x的值只能取2; 当-1x5时,y0其中正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,C,知识点3 用待定系数法求二次函数的解析式 我们知道用待定系数法求一次函数y=kx+b(k0)的解析式,就是根据已知条件建立k,b的二元一次方程组,求出k,b的值,再回代到y=kx+b即可.用待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的解析式,就是由已知条件建立含a,b,c的三元方程组,求出待定字母a,b,c,再回代到y=ax2+bx+c中即可. 由于二次函数有多种表达式,所以我们在求二次函数解析式时,首先要根据已知条件的特点,灵活选择合适的表达形式,然后用“待定系数法”求解,可以达到简便、快捷的效果.,利用待定系数法求解二次函数解析式时,一般有以下几种情况(a0):(1)顶点在原点,可设为y=ax2;(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为 y=ax2+c;(3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)2;(4)抛物线过原点,可设为y=ax2+bx;(5)已知顶点(h,k)时,可设顶点式为 y=a(x-h)2+k;(6)已知抛物线上三点坐标时,可设一般式为 y=ax2+bx+c;(7)已知抛物线一般x轴两交点坐标为(x1,0), (x2,0)时,可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2).,【例3】(2015宝山区一模)已知一个二次函数的 图象经过点A(1,0)和点B(0,6), C(4,6),求这个抛物线的表达式以及 该抛物线的顶点坐标,解析:把点A(1,0)和点B(0,6),C(4,6) 代入y=ax2+bx+c,即可求出二次函数的解析 式及它的图象的顶点坐标,解:设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,把点 A(1,0)和点B(0,6),C(4,6)代入 得 ,解得 .所以抛物线的表 达式为y=2x2-8x+6,顶点的坐标为(2,-2).,变式拓展3.(2015虹口区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标(x,y)满足下表: (1)求该二次函数的解析式; (2)用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和 对称轴,解:(1)把点(0,-1)代入y=ax2+bx+c, 得c=-1 再把点(-1,2),(1,-6)分别代入 y=ax2+bx-1中, 得 ,解得 (2)y=-x2-4x-1=-(x+2)2+3 该二次函数图象的顶点坐标为(-2,3), 对称轴为x=-2,随堂检测1.把二次函数y=- x2-x3用配方法化成 y=a(x-h)2k的形式( ) A.y=- (x-2)22 B.y= (x-2)24 C.y=- (x2)24 D.y=( x- )232.对抛物线y=-x22x-3而言,下列结论正确的是 ( ) A.与x轴有两个交点 B.开口向上 C.与y轴的交点坐标是(0,3) D.顶点坐标是(1,-2),C,D,3.(2015大庆模拟)二次函数y=ax2+bx+c的对称 轴为x=1,与x轴的一个交点A在(2,0)和 (3,0)之间,其部分图象如图,则下列结论正 确的是() A.b0 B.ac0 C.3a+c0 D.3a+c0 第3题 第4题4.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线 x=1,且与x轴的一个交点为(3,0),那么它对 应的函数解析式是 ,D,y=-x2+2x+3,5.已知开口向上的抛物线y=ax2-2x|a|-4经过点 (0,-3) (1)确定此抛物线的解析式; (2)当x取何值时,y有最小值,并求出这个最小 值,解:(1)由抛物线过(0,-3),得-3=|a|-4, |a|=1,即a=1. 抛物线开口向上,a=1. 故抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 当x=1时,y有最小值-4.,22.2 二次函数与一元二次方程22.2.1 二次函数与一元二次方程(1),1.二次函数y=x2-3x2,当x=1时,y=_; 当y=0时,x=_2.若抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点,则m的取 值范围是( ) A.m-1 B.m1 C.m-1 D.m13.二次函数y=ax2bxc如 下图所示,则一元二次方 程ax2bxc=0的解为 .,0,1或2,B,x1=-1,x2=4,课堂精讲知识点 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数y=ax2bxc(a0),当y=0时,得到一元二次方程ax2bxc=0(a0).那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标,因此,二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.(1)当二次函数y=ax2bxc(a0)的图像与x 轴有两个交点时,b2-4ac0,方程 ax2bxc=0(a0)有两个不相等的实数 根;,(2)当二次函数y=ax2bxc(a0)的图像与x 轴有且仅有一个交点时,b2-4ac=0,方程 ax2bxc=0(a0)有两个相等的实数根;(3)当二次函数y=ax2bxc(a0)的图像与x 轴无交点时,b2-4ac0,方程ax2bxc=0 (a0)无实数根. 综上,求一元二次方程ax2bxc=0(a0)的根也就是求二次函数y=ax2bxc(a0)的值为0时自变量x的值,即抛物线y=ax2bxc(a0)与x轴的交点的横坐标.二次函数y=ax2bxc(a0)的图像与x轴的交点分三种情况分别对应着一元二次方程ax2bxc=0(a0)的根的三种情况,如下表所示:,【例1】抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点为() A.二个交点 B.一个交点 C.无交点 D.三个交点,解析:解答此题要明确抛物线y=x2-2x+1的图象与x 轴交点的个数与方程x2-2x+1=0解的个数有 关,还得考虑与y轴相交因为x2-2x+1=0中, =(-2)2-411=0,有两个相等的实数 根,图象与x轴有一个交点,再加当y=0时的 点即可当x=0时y=1,当y=0时,x=1 抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点有两个答案:A,【例2】(2014大庆)关于x的函数 y=(m2-1)x2-(2m+2)x+2的图象与x轴只 有一个公共点,求m的值,解析:本题考查了抛物线与x轴的交点注意一定 要分类讨论,以防漏解,解:需要分类讨论:该函数是一次函数和二次函数 两种情况 当m2-1=0,且2m+20,即m=1时,该函数是 一次函数,则其图象与x轴只有一个公共点; 当m2-10,即m1时,该函数是二次函 数,则=(2m+2)2-8(m2-1)=0, 解得 m=3,m=-1(舍去) 综上所述,m的值是1或3,变式拓展1.(2014滕州市校级模拟)已知a,b,c满足 a+c=b,4a+c=2b,则关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点坐标为 . .2.已知P(-3,m)和Q(1,m)是抛物线 y=2x2+bx+1上的两点 (1)求b的值; (2)判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否 有实数根,若有,求出它的实数根;若没有, 请说明理由.,解:(1)点P、Q在抛物线上且纵坐标相同 P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对 称轴距离相等 抛物线对称轴 b=4 (2)由(1)可知,关于x的一元二次方程为 2x2+4x+1=0 =b2-4ac=16-8=80, 方程有实根, ,如果二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点在x轴上方,那么( ) A.b2-4ac0 B.b2-4ac0 D.b2-4ac=02.(2015岳池县模拟)如果关于x的二次函数 y=x2-2x+k与x轴只有1个交点,则k= 3.二次函数y=x2-3x-4的图象与y轴交点坐标是 ,与x轴交点坐标是 .4.(2014阜新)如图,二次函 数y=ax2+bx+3的图象经过点 A(-1,0),B(3,0), 那么一元二次方程ax2+bx=0 的根是 ,B,1,(0,-4),(-1,0)和(4,0),x1=0,x2=2,5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列 说法: ab0;方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3; a+b+c0;当x1时,y随x值的增大而增大; 当y0时,-1x3 其中,正确的说法有 (请写 出所有正确说法的序号).,22.2.2 二次函数与一元二次方程(2),课前预习1.已知二次函数y=x2+2x-10,小明利用计算器列出 了下表: 那么方程x2+2x-10=0的一个近似根是()A.-4.1 B.-4.2 C.-4.3 D.-4.4,C,2.抛物线y=ax2+bx+c(a0)如图,则关于x的不 等式ax2+bx+c0的解集是() A.x-1 B.x2 C.-1x2 D.x-1或x2 第2题 第3题3.(2015义马市模拟)二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象如图,则函数值y0时,x的取值 范围是 ,C,x-1或x3,课堂精讲知识点1 图像法求解一元二次方程 用图像法求解一元二次方程或方程组是数形结合思想的具体应用.可类比用一次函数的图像解一元一次方程和二元一次方程组的方法,也在坐标系中画出函数图像求方程的解. 方法一:利用找抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2bxc=0(a0)的解,具体过程如下:(1)在平面直角坐标系中画出二次函数 y=ax2bxc(a0)的图像;(2)观察图像,确定抛物线与x轴的交点坐标;,(3)交点的横坐标即为一元二次方程ax2bxc=0 (a0)的解. 方法二:利用抛物线与直线交点的方法求一元二次方程ax2bxc=0(a0)的解,具体过程如下: (1)在平面直角坐标系中画出函数y=ax2(a0) 与y=-bx-c(b0)的图像; (2)观察图像,确定抛物线与直线的交点坐标; (3)交点的横坐标即为一元二次方程 ax2bxc=0(a0)的解.,【例1】利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的图 象,求一元二次方程2x2=x+2的近似根,解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y=2x2与y=x+2的图象,它们交点的横坐标的 值即为一元二次方程2x2=x+2的解,解:在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y=2x2与y=x+2的图象,如图所示:,由图形可知,二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的交点坐标是(-0.78,1.22),(1.28,3.28),所以一元二次方程2x2=x+2的近似根为x1-0.78,x21.28,变式拓展1.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a0) 的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似 解可以是()A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55,C,知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线y=ax2bxc(a0)在x轴上方的部分点的纵坐标为正,所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc 0(a0)的解集;在x轴下方的部分点的纵坐标都为负,所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0(a0)及ax2bxc0(a0)之间的关系如下:,解析:根据已知条件和图 象找出直线y=x+m和 抛物线y=x2+bx+c的交 点,即可求出不等式 x2+bx+cx+m的解集 直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点 A(1,0)和B(3,2), 根据图象可知,不等式x2+bx+cx+m的解 集为x1或x3;,【例2】(2015大连模拟)如图,直线y=x+m和抛 物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0)和 B(3,2),不等式x2+bx+cx+m 的解集 为 ,x1或x3,变式拓展2.(2014黄石)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的 图象如图所示,则函数值y0时,x的取值范围 是()A.x-1 B.x3 C.-1x3 D.x-1或x3,D,随堂检测1.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象 可知不等式ax2+bx+c0的解集是()A.-1x5 B.x5 C.x-1且x5 D.x-1或x52.(2015吴兴区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c 的y与x的部分对应值如下表:则下列判断中正确 的是() A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时,y0D.方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间,A,D,3.画出抛物线y=x2-3x-4的图象. (1)指出方程x2-3x-4=0的解是什么?(2)不等式x2-3x-40的解集是什么? (3)不等式x2-3x-40的解集是什么?,答:(1)方程x2-3x-4=0的解是x=-1或x=4; (2)x4; (3)-1x4.,4.阅读材料,解答问题. 利用图像法解一元二次不等式x2-2x-30. 解:设y= x2-2x-3,则y是x的二次函数, a=10,抛物线开口向上 又当y=0时x2

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