数值分析04数值积分与数值微分ppt课件.ppt
第四章,数值积分与数值微分,1 引 言,一、数值积分的必要性,本章主要讨论如下形式的一元函数积分,在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分,要求被积函数 有解析表达式； 的原函数 为初等函数,实际问题,1. 的原函数 不能用初等函数表示,例如函数:,考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似 英寸为一个周期.,求制做一块波纹瓦所需,铝板的长度L.,从 到 英寸间的弧长L.,这个问题就是要求由函数,给定的曲线,由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分。,Whats the Original function?!,Its so complex that we can not get it.,2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.,例如函数:,并不复杂,但它的原函数却十分复杂:,3. 没有解析表达式，只有数表形式:,原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那怎么办呢？,呵呵这就需要积分的数值方法来帮忙啦。,二、数值积分的基本思想,1、定积分的几何意义,2、数值积分的理论依据,依据积分中值定理,对于连续函数 ,在 内存在一点 ,使得,称 为区间 的平均高度.,3、求积公式的构造, 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：,左矩形公式：,中矩形公式：,右矩形公式：,左矩形公式：,中矩形公式：,右矩形公式：, 若取 两点，并令 ，则可得梯形公式（两点求积公式）,则可得Simpson公式(三点求积公式), 若取三点， 并令, 一般地 ，取区间 内 个点,处的高度,通过加权平均的方法近似地得出平均高度,这类求积方法称为机械求积:,或写成:,数值积分公式,求积系数,求积节点,记,称为数值求积公式,称为求积公式余项(误差).,三、求积公式的代数精度,1、问题的提出,构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有:,(i) 确定求积系数 和求积节点,(iii)求积公式的误差估计和收敛性分析.,(ii) 判定求积公式精度的衡量标准；,称求积公式 具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:,2、定义,(i) 对所有次数m次的多项式 ,有,(ii)存在m+1次多项式 ,使得,上述定义中的条件(i),(ii)等价于:,2 插值型求积公式,一、定义,在积分区间 上，,取 个节点,作 的 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:,则有,其中，,为插值余项。,于是有：,取,称为插值型求积公式,二、截断误差与代数精度,1、截断误差,2、代数精度,推论 求积系数 满足:,形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即： ）,定理,3 Newton-Cotes公式,一、Cotes系数,取节点为等距分布：,由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数：,令,Cotes系数,二、Newton-Cotes公式,1、定义：,记,则,求积公式变为,称上式为n阶闭型Newton-Cotes求积公式。,注意:,由式,确定的,Cotes系数只与 和 有关,与 和积分区间,无关，,且满足:,2、截断误差,Newton-Cotes公式的误差为:,与x有关,3、代数精度,作为插值型求积公式，,具有 次代数精度，,阶Newton-Cotes公式至少,而实际的代数精度是否可以进一步,提高呢？,定理,当阶数 为偶数时,Newton-Cotes公式至少具有,次代数精度。,证明:,只需验证当 为偶数时,Newton-Cotes公式对,的余项为零。,由于 ,所以,即得,引进变换 ,因为 为偶数,故 为整数,于是有,据此可断定 ,因为上述被积函数是个奇函数.,4、数值稳定性,现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.,设用公式,近似计算积分,时,其中计算函数值 有误差,则在 的计算中,由 引起的误差为,没有误差,中间计算过程中的舍入误差也不考虑,计算,，而,如果 都是正数,并设,则有,故 是有界的,即由 引起的误差受到控制,的 倍,不超过,保证了数值计算的稳定性。,将出现负数,而当 时,将随 增大,因而不能保证数值稳定性.,故高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式.,三、几种常用的低阶求积公式,n = 1:,梯形公式,/* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理 */,代数精度 = 1,n = 2:,Simpson 公式,代数精度 = 3,n = 4: Cotes 公式,代数精度 = 5,这里,四、复化求积公式,高次插值有Runge 现象，怎么办？,可采用分段低次插值来解决,高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定。而低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求，怎么办？,可将积分区间 分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。, 复化梯形公式：,在每个 上用梯形公式：,= Tn,/*中值定理*/,复化梯形公式积分法, 复化 Simpson 公式：,= Sn,复化Simpson公式积分法, 复化 Cotes公式：,= Cn, 收敛速度与误差估计：,定义：,若一个积分公式的误差满足 ，,且 ，则称该公式是 p 阶收敛的。,例:,利用数据表,计算积分,解：,这个问题有明显的答案,取n = 8用复化梯形公式,= 3.138988494,取n=4 用辛卜生公式,= 3.141592502,复化梯形公式的误差估计,给定精度 ，如何取 ?,例如：要求 ，如何判断 n = ？,1、误差先验估计式,记,则,?,上例中若要求 ，则,即：取 n = 409,通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k,上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202,S4 = 3.141592502,注意到区间再次对分时,可用来判断迭代是否停止。,2、误差后验估计式,复化Simpson公式的误差估计,1、误差先验估计式,2、误差后验估计式,复化Cotes公式的误差估计,1、误差先验估计式,2、误差后验估计式,四、龙贝格积分,例:,计算,已知对于 = 106 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3.14159202,考察,由 来计算 I 效果是否好些？,= 3.141592502,= S4,一般有：,Romberg求积公式, Romberg 算法：, ?, ?, ?, , 理查德森外推法,利用低阶公式产生高精度的结果。,由Taylor展开得到：,i 与 h 无关,现将 对分，得：,设对于某一 ，,有公式 近似计算某一未知值 。,如何将公式精度由 提高到 ？,即：,计算步骤：,1取 ，计算,2对k = 1, 2, 计算下列各步,3对n = 0, 1, 2, k = n 1, n 2, ,4收敛控制,则输出积分值 ，否则转3。,Newton-Cotes公式采用等距节点作为求积节点代数精度至多可达到 。（ 为偶数）,那么，在节点个数一定的情况下，是否可以在 上自由选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高 ？,例 ：,求形如,的两点求积公式。,（1）用梯形公式（即以x0 = -1，x1 = 1为节点的插值型 求积公式）立即可得 。,只具有一次代数精确度！,（2）若对求积公式中的四个待定系数A0, A1, x0, x1适当选取，,使求积公式对f (x) = 1，x，x2，x3都准确成立，则,需满足如下方程组：,五、高斯型积分,构造具有2n+1次代数精度的求积公式,将节点 以及系数 都作为待定系数。,令 代入可求解，,得到的公式,具有 次代数精度。,节点称为Gauss 点,此公式称为Gauss 型求积公式,例：求 的 2 点 Gauss 公式。,代入 f (x) = 1, x, x2, x3,不是线性方程组，不易求解。,定理：,x0 xn 为 Gauss 点 与任意次数不大于n 的多项式 P(x) （带权）正交。,证明： “”,x0 xn 为 Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度。,对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：,= 0,求 Gauss 点 求w(x),不大于 的多项式 精确成立，即证明：,“”,要证明 为 Gauss 点，,即要证公式对任意次数,设, 正交多项式族 0, 1, , n, 有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与n+1 正交。,即：,Step 1：构造正交多项式2,Step 2：求2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1,Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1,解线性方程组，简单。,结果与前一方法相同：, 利用此公式计算 的值,注：构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推式进行。, 特殊正交多项式族：, Legendre 多项式族：,满足：,由 有递推,以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre 公式。, Chebyshev 多项式族：,注意到积分端点 1 可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。, Gauss 公式的余项：,插值多项式的余项,/* 设P为f 的过x0 xn的插值多项式 */,/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/,Hermite 多项式！,什么样的插值多项式在 上有 阶？,Hermite 多项式的插值条件为：,插值余项为,其中，,Hermite求积公式的余项,
