概率论与数理统计教程随机变量及其分布课件.ppt
第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,1,页,2.1,随机变量及其分布,2.2,随机变量的数学期望,2.3,随机变量的方差与标准差,2.4,常用离散分布,2.5,常用连续分布,2.6,随机变量函数的分布,2.7,分布的其他特征数,第二章,随机变量及其分布,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,2,页,2.1,随机变量及其分布,(,1,),掷一颗骰子，,出现的点数,X,1,，,2,，,，,6.,(2),n,个产品中的不合格品个数,Y,0,，,1,，,2,，,，,n,(3),某商场一天内来的顾客数,Z,0,，,1,，,2,，,(4),某种型号电视机的寿命,T,:,0, +,?,),第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,3,页,2.1.1,随机变量的定义,定义,2.1.1,设,?,=,?,为某随机现象的样本空间，,称,定义在,?,上,的,实值函数,X,=,X,(,?,),为,随机变量,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,4,页,注,意,点,(1),(1),随机变量,X,(,?,),是样本点,?,的函数，,其,定义域,为,?,，其值域为,R,=(,?,，,?,),若,X,表示掷一颗骰子出现的点数，,则,X,=1.5,是不可能事件,.,(2),若,X,为随机变量，则,X,=,k,、,a,X,?,b,、,均为随机事件,.,即,a,X,?,b, =,?,；,a,X,(,?,),?,b,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,5,页,注,意,点,(2),(3),注意以下一些表达式：,X,=,k,= ,X,?,k,?,X,k,；,a,X,?,b, = ,X,?,b,?,X,?,a,；,X,b, =,?,?,X,?,b,.,(4),同一样本空间可以定义不同的随机变量,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,6,页,?,若随机变量,X,可能取值的个数为有限个或,可列个，则称,X,为,离散随机变量,.,?,若随机变量,X,的可能取值充满某个区间,a,b,，则称,X,为,连续随机变量,.,?,前例中的,X,Y,Z,为离散随机变量；,而,T,为连续随机变量,.,两类随机变量,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,7,页,定义,2.1.2,设,X,为一个随机变量，对任意实数,x,，,称,F,(,x,)=,P,(,X,?,x,),为,X,的,分布函数,.,基本性质,：,(1),F,(,x,),单调不降；,(2),有界：,0,?,F,(,x,),?,1,，,F,(,?,)=0,，,F,(+,?,)=1,；,(3),右连续,.,2.1.2,随机变量,的分布函数,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,8,页,2.1.3,离散随机变量的分布列,?,设离散随机变量,X,的可能取值为：,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，,称,p,i,=,P,(,X,=,x,i,),，,i,=1, 2,为,X,的,分布列,.,?,分布列也可用表格形式表示：,X,x,1,x,2,x,n,P,p,1,p,2,p,n,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,9,页,分布列的基本性质,(1),p,i,?,0,，,(2),1.,i,i,p,?,?,(,正则性,),(,非负性,),第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,10,页,注,意,点,(1),求离散随机变量的分布列应注意：,(1),确定随机变量的所有可能取值,;,(2),计算每个取值点的概率,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,11,页,注,意,点,(2),对离散随机变量的分布函数应注意：,(1),F,(,x,),是递增的阶梯函数,;,(2),其间断点均为右连续的,;,(3),其间断点即为,X,的可能取值点,;,(4),其间断点的跳跃高度是对应的概率值,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,12,页,例,2.1.1,已知,X,的分布列如下：,X,0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求,X,的分布函数,.,0,0,1/,3,0,1,(,),1/,2,1,2,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,F,x,x,x,解：,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,13,页,X,0 1 2,P,0.4 0.4 0.2,解：,0,0,0.4,0,1,(,),0.8,1,2,1,2,x,x,F,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,例,2.1.2,已知,X,的分布函数如下,求,X,的分布列,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,14,页,2.1.4,连续,随机变量的密度函数,?,连续随机变量,X,的可能取值充满某个区间,(,a,b,).,?,因为对连续随机变量,X,，有,P,(,X,=,x,)=0,，,所以无法仿离散随机变量用,P,(,X,=,x,),来描述连续,随机变量,X,的分布,.,?,注意离散随机变量与连续随机变量的差别,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,15,页,定义,2.1.4,设随机变量,X,的分布函数为,F,(,x,),则称,X,为,连续随机变量，,(,),(,),x,p,t,dt,F,x,?,?,?,若存在非负可积函数,p,(,x,),，满足：,称,p,(,x,),为,概率密度函数，,简称,密度函数,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,16,页,密度函数的基本性质,(2),(1),(,),0;,(,),1,.,p,x,p,x,dx,?,?,?,?,?,满足,(1) (2),的函数都可以看成某个,连续随机变量的概率密度函数,.,(,非负性,),(,正则性,),第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,17,页,.,(,),(,),?,?,?,?,b,a,P,a,X,b,p,x,dx,注意点,(1),(1),(2),F,(,x,),是,(,?, +),上的连续函数,;,(3),P,(,X,=,x,) =,F,(,x,),?,F,(,x,?,0) = 0;,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,18,页,(4),P,a,X,b, =,P,a,X,b,=,P,a,X,b,=,P,a,X,b,=,F,(,b,),?,F,(,a,).,注意点,(2),(5),当,F,(,x,),在,x,点可导时,p,(,x,) =,(,),F,x,?,当,F,(,x,),在,x,点不可导时,可令,p,(,x,) =0.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,19,页,连续型,1.,密度函数,X,p,(,x,),(,不唯一,),(,),(,),x,F,x,p,t,dt,?,?,?,2.,4.,P,(,X,=,a,) = 0,离散型,1.,分布列,:,p,n,=,P,(,X,=,x,n,),(,唯一,),2.,F,(,x,) =,(,),i,i,x,x,P,X,x,?,?,?,3,.,F,(,a,+0) =,F,(,a,);,P,(,a,X,?,b,) =,F,(,b,),?,F,(,a,).,4.,点点计较,5.,F,(,x,),为阶梯函数。,5.,F,(,x,),为连续函数。,F,(,a,?,0) =,F,(,a,).,F,(,a,?,0),?,F,(,a,).,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,20,页,例,2.1.3,设,X,3,0,(,),0,0.,x,ke,x,p,x,x,?,?,?,?,?,?,?,求,(1),常数,k,. (2),F,(,x,).,(1),k,=3.,(2),3,1,0,(,),0,0.,?,?,?,?,?,?,?,?,x,e,x,F,x,x,解：,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,21,页,例,2.1.4,设,X,1,1,0,(,),1,0,1,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,p,x,x,x,其,它,求,F,(,x,).,2,2,0,1,1,1,0,2,2,(,),1,0,1,2,2,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,F,x,x,x,x,x,解：,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,22,页,设,X,与,Y,同分布，,X,的密度为,2,3,8,0,2,(,),0,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,p,x,其,他,已知事件,A,= ,X,a,和,B,=,Y,a,独立，,解,:,因为,P,(,A,) =,P,(,B,),P,(,A,?,B,) =,P,(,A,)+,P,(,B,),?,P,(,A,),P,(,B,),2,2,3,8,a,x,dx,?,?,3,1,8,a,?,?,从中解得,3,4,?,a,且,P,(,A,?,B,)=3/4,求常数,a,.,且由,A,、,B,独立，得,= 2,P,(,A,),?,P,(,A,),2,= 3/4,从中解得,:,P,(,A,)=1/2,由此得,0,a,2 ,因此,1/2 =,P,(,A,) =,P,(,X,a,),例,2.1.5,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,23,页,设,X,p,(,x,),，且,p,(,?,x,) =,p,(,x,),，,F,(,x,),是,X,的分布函数，,则对任意实数,a,0,，有,( ),F,(,?,a,) =1,?,F,(,?,a,)=,F,(,?,a,) =,F,(,a,),F,(,?,a,) = 2,F,(,a,),?,1,0,(,),a,p,x,dx,?,0,1,(,),2,a,p,x,dx,?,?,课堂练习,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,24,页,2.2,随机变量的数学期望,?,分赌本问题,(,17,世纪,),?,甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注,50,元,.,?,无平局，谁先赢,3,局，则获全部赌注,.,?,当甲赢,2,局、乙赢,1,局时，中止了赌博,.,?,问如何分赌本,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,25,页,两种分法,1.,按已赌局数分：,则甲分总赌本的,2/3,、乙分总赌本的,1/3,2.,按已赌局数和再赌下去的“期望”,分：,因为再赌两局必分胜负，共四种情况：,甲甲、甲乙、乙甲、乙乙,所以甲分总赌本的,3/4,、乙分总赌本的,1/4,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,26,页,2.2.1,数学期望,的概念,若按已赌局数和再赌下去的“期望”,分，,则甲的所得,X,是一个可能取值为,0,或,100,的随机变量，其分布列为：,X,0,100,P,1/4,3/4,甲的“期望”,所得是：,0,?,1/4 +100,?,3/4 = 75.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,27,页,2.2.2,数学期望的定义,定义,2.2.1,设离散随机变量,X,的分布列为,P,(,X,=,x,n,) =,p,n,n,= 1, 2, .,若级数,绝对收敛，则称该级数为,X,的,1,i,i,i,x,p,?,?,?,数学期望，,记为,1,(,),i,i,i,E,X,x,p,?,?,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,28,页,连续随机变量的数学期望,定义,2.2.2,设连续随机变量,X,的密度函数为,p,(,x,),若积分,绝对收敛，则称该积分为,X,的,(,),xp,x,dx,?,?,?,数学期望，,记为,(,),(,),E,X,xp,x,dx,?,?,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,29,页,例,2.2.1,则,E,(,X,) =,?,1,0.2+0,0.1+1,0.4+2,0.3 = 0.8.,X,?,1 0 1 2,P,0.2 0.1 0.4 0.3,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,30,页,?,数学期望简称为,期望,.,?,数学期望又称为,均值,.,?,数学期望是一种,加权平均,.,注,意,点,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,31,页,2.2.3,数学期望的性质,定理,2.2.1,设,Y,=,g,(,X,),是随机变量,X,的函数，,若,E,(g(,X,),存在，则,1,(,),(,),(,(,),(,),(,),i,i,i,g,x,P,X,x,E,g,X,g,x,p,x,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,32,页,例,2.2.2,设随机变量,X,的概率分布为,求,E,(,X,2,+2).,= (0,2,+2),1/2+(1,2,+2),1/4+(2,2,+2),1/4,= 1+3/4+6/4 = 13/4,解,:,E,(,X,2,+2),X,0 1 2,P,1/2 1/4 1/4,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,33,页,数学期望的性质,(1),E,(,c,) =,c,(2),E,(,aX,) =,aE,(,X,),(3),E,(,g,1,(,X,),+g,2,(,X,) =,E,(,g,1,(,X,),+E,(,g,2,(,X,),第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,34,页,例,2.2.3,2,0,1,(,),0,x,x,p,x,?,?,?,?,?,其 它,设,X,求下列,X,的函数的数学期望,.,(1) 2,X,?,1, (2) (,X,?,2),2,解,:,(1),E,(2,X,?,1) = 1/3,(2),E,(,X,?,2),2,= 11/6.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,35,页,2.3,随机变量的方差与标准差,?,数学期望反映了,X,取值的,中心,.,?,方差反映了,X,取值的,离散程度,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,36,页,2.3.1,方差与标准差的定义,定义,2.3.1,若,E,(,X,?,E,(,X,),2,存在，则称,E,(,X,?,E,(,X,),2,为,X,的方差，记为,Var(,X,)=,D,(,X,)=,E,(,X,?,E,(,X,),2,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,37,页,(2),称,注,意,点,?,X,=,?,(,X,)=,Var(,),X,(1),方差反映了随机变量相对其均值的,偏离程度,.,方差越大,则随机变量的取值越分散,.,为,X,的,标准差,.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,38,页,2.3.2,方差的性质,(1) Var(,c,)=0.,性质,2.3.2,(2) Var(,aX+b,) =,a,2,Var(,X,).,性质,2.3.3,(3) Var(,X,)=,E,(,X,2,),?,E,(,X,),2,.,性质,2.3.1,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,39,页,例,2.3.1,设,X,0,1,(,),2,1,2,0,x,x,p,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其,它,求,E,(,X,), Var(,X,).,解,:,(1),E,(,X,)=,3,2,3,1,2,1,1,(,),0,1,3,3,x,x,x,?,?,?,= 1,(2),E,(,X,2,) =,= 7/6,所以,Var(,X,) =,E,(,X,2,),?,E,(,X,),2,= 7/6,?,1 = 1/6,(,)d,xp,x,x,?,?,?,1,2,0,1,d,(2,)d,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,2,(,)d,x,p,x,x,?,?,?,1,2,3,2,0,1,d,(2,)d,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,40,页,课堂练习,设,1,1,0,(,),1,0,1,0,x,x,X,p,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其,他,则方差,Var(,X,)=( ),。,问题：,Var(,X,) = 1/6,为什么,？,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,41,页,随机变量的标准化,设,Var(,X,)0,令,则有,E,(,Y,)=0, Var(,Y,)=1.,(,),Var(,),X,E,X,X,Y,?,?,称,Y,为,X,的,标准化,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,42,页,2.3.3,切比雪夫不等式,设随机变量,X,的方差存在,(,这时均值也存在,),则,对任意正数,，有下面不等式成立,Var(,),|,(,),|,2,X,P,X,E,X,?,?,?,?,?,2,Var(,),|,(,),|,1,X,P,X,E,X,?,?,?,?,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,43,页,例,2.3.2,设,X,0,(,),!,0,0,n,x,x,e,x,p,x,n,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,证明,(0,2(,1),1,n,P,X,n,n,?,?,?,?,?,证明,:,E,(,X,) =,0,d,!,n,x,x,x,e,x,n,?,?,?,=,n,+1,E,(,X,2,) =,2,0,d,!,n,x,x,x,e,x,n,?,?,?,= (,n,+1)(,n,+2),所以,Var(,X,) =,E,(,X,2,),?,(,EX,),2,=,n,+1,(0,2(,1),(,|,|,1),P,X,n,P,X,EX,n,?,?,?,?,?,?,?,2,1,1,(,1),n,n,?,?,?,?,1,n,n,?,?,(,这里,?,=,n,+1),1,(,2),!,n,n,?,?,?,1,(,3),!,n,n,?,?,?,由此得,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,44,页,定理,2.3.2,Var(,X,)=0,?,P,(,X,=,a,)=1,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,45,页,2.4,常用离散分布,2.4.1,二项分布,记为,X,b,(,n,p,).,?,X,为,n,重伯努里试验中“成功”的次数,0,1,.,(,),(1,),.,k,n,k,k,n,n,P,X,k,p,p,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,当,n,=1,时，称,b,(1,p,),为,0,-,1,分布,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,46,页,?,试验次数为,n,=4,?,“,成功”即取得合格品的概率为,p,=0.8,?,所以,X,b,(4, 0.8),思考：,若,Y,为不合格品件数，,Y,?,？,Y,b,(4, 0.2),一批产品的合格率为,0.8,有放回地抽取,4,次,每次一件,则取得合格品件数,X,服从二项分布,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,47,页,例,2.4.1,设,X,b,(2,p,),，,Y,b,(4,p,),，,已知,P,(,X,?,1) = 8/9,，,求,P,(,Y,?,1).,解,:,由,P,(,X,?,1) = 8/9,，知,P,(,X,=0) = 1/9.,由此得：,P,(,Y,?,1) = 1,?,P,(,Y,=0),所以,1/ 9 =,P,(,X,=0) =(1,?,p,),2,，,从而解得,:,p,= 2/3.,=,1-,(1,?,p,),4,= 80/81.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,48,页,若随机变量,X,的概率分布为,(,),0,1,2,!,k,P,X,k,e,k,k,?,?,?,?,?,?,则称,X,服从参数为,?,的泊松分布,记为,X,P,(,?,).,2.4.2,泊松分布,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,49,页,泊松定理,定理,2.4.1,(1,),!,k,k,n,k,n,n,n,p,p,e,k,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,二项分布的泊松近似,),在,n,重伯努里试验中，记,p,n,为一次试验中,成功的概率,.,若,np,n,?,?,，则,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,50,页,记为,X,h,(,n,N,M,).,(,),M,N,M,k,n,k,P,X,k,N,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,超几何分布对应于不返回抽样模型,：,?,N,个产品中有,M,个不合格品，,?,从中抽取,n,个，不合格品的个数为,X .,2.4.3,超几何分布,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,51,页,1,(,),(1,),1,2,k,P,X,k,p,p,k,?,?,?,?,?,记为,X,Ge,(,p,),?,X,为独立重复的伯努里试验中，,“首次成功”时的试验次数,.,?,几何分布具有无记忆性，即：,P,(,X,m,+,n,|,X,m,) =,P,(,X,n,),2.4.4,几何分布,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,52,页,负二项分布,(,巴斯卡分布,),1,(,),(1,),1,1,k,k,r,r,P,X,k,p,p,k,r,r,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,记为,X,Nb,(,r,p,).,?,X,为独立重复的伯努里试验中，,“第,r,次成功”时的试验次数,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,53,页,注,意,点,(1),二项随机变量是独立,0,-,1,随机变量之和,.,(2),负二项随机变量是,独立,几何随机变量之和,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,54,页,常用离散分布的数学期望,?,几何分布,Ge,(,p,),的数学期望,= 1/,p,?,0,-,1,分布的数学期望,=,p,?,二项分布,b,(,n,p,),的数学期望,=,np,?,泊松分布,P,(,?,),的数学期望,=,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,55,页,常用离散分布的方差,?,0,-,1,分布的方差,=,p,(1,?,p,),?,二项分布,b,(,n,p,),的方差,=,np,(1,?,p,),?,泊松分布,P,(,?,),的方差,=,?,?,几何分布,Ge,(,p,),的方差,= (1,?,p,)/,p,2,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,56,页,2.5,常用连续分布,正态分布、均匀分布、指数分布、,伽玛分布、贝塔分布。,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,57,页,记为,X,N,(,?,?,2,),2,(,),1,(,),exp,2,2,2,x,p,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其中,?,0,，,?,是任意实数,.,?,?,是位置参数,.,?,?,是尺度参数,.,2.5.1,正态分布,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,58,页,y,x,O,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,59,页,正态分布的性质,(1),p,(,x,),关于,?,是对称的,.,p,(,x,),x,0,在,?,点,p,(,x,),取得最大值,.,(2),若,?,固定,?,改变,(3),若,?,固定,?,改变,小,大,p,(,x,),左右移动,形状保持不变,.,?,越大曲线越平坦,;,?,越小曲线越陡峭,.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,60,页,p,(,x,),x,0,1,(1),(0),2,?,?,x,?,x,),(,x,?,?,1,(,),?,?,x,标准正态分布,N,(0, 1),密度函数记为,?,(,x,),分布函数记为,?,(,x,).,(2),(,),1,(,),x,x,?,?,?,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,61,页,?,(,x,),的计算,(1),x,?,0,时,查标准正态分布函数表,.,(2),x, 0,时,用,(,),1,(,).,x,x,?,?,?,?,?,若,X,N,(0, 1),则,(1),P,(,X,?,a,) =,?,(,a,);,(2),P,(,X,a,) =1,?,(,a,);,(3),P,(,a,X,b,) =,?,(,b,),?,(,a,);,(4),若,a,?,0,则,P,(|,X,|,a,) =,P,(,?,a,X,a,) =,?,(,a,),?,(,?,a,),=,?,(,a,),?,1,?,?,(,a,) = 2,?,(,a,),?,1,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,62,页,例,2.5.1,设,X,N,(0, 1),求,P,(,X,?,1.96) ,P,(|,X,|1.96),= 1,?,?,(,?,1.96),= 1,?,(1,?,?,(1.96),= 0.975,(,查表得,),= 2,?,(1.96),?,1,= 0.95,=,?,(1.96),解,:,P,(,X,?,1.96),P,(|,X,|1.96),= 2,?,0.975,?,1,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,63,页,设,X,N,(0, 1),P,(,X,?,b,) = 0.9515,P,(,X,?,a,) = 0.04947,求,a,b,.,解,:,?,(,b,) = 0.9515 1/2,所以,b, 0,反查表,得,:,?,(1.66) = 0.9515,故,b,= 1.66,而,?,(,a,) = 0.0495 1/2,所以,a, 0,?,(,?,a,) = 0.9505,反查表,得,:,?,(1.65) = 0.9505,故,a,=,?,1.65,例,2.5.2,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,64,页,一般正态分布的标准化,定理,2.5.1,设,X,N,(,?,?,2,),X,Y,?,?,?,?,则,Y,N,(0, 1).,推论,:,若,X,N,(,?,?,2,),则,(,),x,F,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,65,页,若,X,N,(,?,?,2,),则,P,(,X,a,) =,，,P,(,X,a,) =,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,66,页,设,X,N,(10, 4),求,P,(10,X,13),P,(|,X,?,10|2).,解,:,P,(10,X,13) =,?,(1.5),?,(0),= 0.9332,?,0.5,P,(|,X,?,10|2) =,P,(8,X,12),= 2,?,(1),?,1,= 0.6826,= 0.4332,例,2.5.3,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,67,页,设,X,N,(,?,?,2,),P,(,X,?,?,5) = 0.045,P,(,X,?,3) = 0.618,求,?,及,?,.,例,2.5.4,5,1.69,3,0.3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,= 1.76,?,=4,?,解,:,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,68,页,已知,X,N,(3, 2,2,),且,P,X,k, =,P,X,k,则,k,= ( ).,3,课堂练习,(1),第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,69,页,设,X,N,(,?, 4,2,),Y,N,(,?, 5,2,),记,p,1,=,P,X,?,?,4,，,p,2,=,P,Y,?,+5,则,( ),对任意的,?,，都有,p,1,=,p,2,对任意的,?,，都有,p,1,p,2,只个别的,?,，才有,p,1,=,p,2,对任意的,?,，都有,p,1,p,2,课堂练习,(2),第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,70,页,设,X,N,(,?,?,2,),则随,?,的增大，,概率,P,|,X,?,?,| ,?, ( ),单调增大,单调减少,保持不变,增减不定,课堂练习,(3),第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,71,页,正态分布的,3,?,原则,设,X,N,(,?,?,2,),则,P,( |,X,?,?,| ,?,) = 0.6828.,P,( |,X,?,?,| 2,?,) = 0.9545.,P,( |,X,?,?,| 3,?,) = 0.9973.,第二章 随机变量及其分布 华东师范大学 2 Decem,第二章,随机变量及其分布,华东师范大学,2 December 2019,第,72,页,记为,X,U,(,a,b,),1,(,),0,a,x,b,p,x,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,其,它,0,(,),1,x,a,x,a,F,x,a,x,b,b,a,b,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2.5.2,均匀分布,第二章 随机变量及其分布 华
