多元函数微分学ppt课件.ppt

第一节 多元函数的基本概念,一、多元函数的概念,二、多元函数的极限,三、多元函数的连续性,四、小结 思考题,（1）邻域,一、多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点, 内点一定是聚点；,说明：, 边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点, 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（4）n维空间, n维空间的记号为,说明：, n维空间中两点间距离公式, n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,（5）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,二、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,播放,确定极限不存在的方法：,利用点函数的形式有,三、多元函数的连续性,定义3,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，,在有界闭区域D上的多元连续函数，,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,如果在D上取得两个不同的函数值，,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（3）一致连续性定理,在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例,解,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,练 习 题,练习题答案,不存在.,观察,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,二、高阶偏导数,三、小结 思考题,一、偏导数的定义及其计算法,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,解,证,原结论成立,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,、偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,4、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二、高阶偏导数,解,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,解,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,解,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,三、小结,思考题,思考题解答,不能.,例如,练 习 题,练习题答案,第三节 全微分及其应用,一、全微分的定义,二、可微的条件,三、小结 思考题,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,全增量的概念,全微分的定义,事实上,二、可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,则,当 时，,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,解,解,所求全微分,证,令,则,同理,不存在.,多元函数连续、可导、可微的关系,全微分在近似计算中的应用,也可写成,解,由公式得,、多元函数全微分的概念；,、多元函数全微分的求法；,、多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,三、小结,思考题,练 习 题,练习题答案,第四节 多元复合函数的求导法则,一、链式法则,二、全微分形式不变性,三、小结 思考题,证,一、链式法则,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数,而是多元函数的情况：,链式法则如图示,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,解,解,解,令,记,同理有,于是,二、全微分形式不变性,解,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,三、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结 思考题,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,解,令,则,解,令,则,解,令,则,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,二、方程组的情形,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,将所给方程的两边对 求导，用同样方法得,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,三、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,第六节 微分法在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、小结 思考题,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）,（求法向量的方向余弦时注意符号）,三、小结,思考题,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,第七节 方向导数与梯度,一、问题的提出,二、方向导数的定义,三、梯度的概念,四、小结 思考题,实例,问题的实质：,一、问题的提出,：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是,(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，,它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点,到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,记为,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向导数,解,解,由方向导数的计算公式知,（1）最大值；,（2）最小值；,（3）等于零？,故,推广可得三元函数方向导数的定义,解,令,故,方向余弦为,故,三、梯度的概念,结论,函数在某点的梯度是这样一个向量，,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值梯度的模为,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,等高线的画法,播放,例如,梯度与等高线的关系：,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，,梯度的概念可以推广到三元函数,其方向与取得最大方向导数的方向一致，,其模为方向导数的最大值.,个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较,高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,第八节 多元函数的极值及其求法,一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值,三、条件极值拉格朗日乘数法,四、小结 思考题,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,二、多元函数的极值和最值,播放,1、二元函数极值的定义,(1),(2),(3),例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,，,，,，,.,仿照一元函数，,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,定理2（充分条件）,有一阶及二阶连续偏导数，,凡能使一阶偏导数同时为零的点，,均称为函数的驻点.,又,令,解,求最值的一般方法：,与一元函数相类似，,3、多元函数的最值,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上,的最大值和最小值相互比较，,其中最大者即为最大值，,最小者即为最小值.,解,如图,解,由,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,实例： 小王有200元钱，,他决定用来购买两种急需物品：,计算机磁盘和录音磁带，,设每张磁盘8元，每盒磁带10元，,问他如何分配这200元以达到最佳效果,条件极值：对自变量有附加条件的极值,拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：,下的极值，,先构造函数,可由 偏导数为零及条件解出,即得极值点的坐标.,解,则,解,可得,即,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,第八章 多元函数微分法及其应用习题课,主要内容,典型例题,平面点集和区域,多元函数的极限,多元函数连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数的性质,多元函数概念,一、主要内容,全微分的应用,高阶偏导数,隐函数求导法则,复合函数求导法则,全微分形式的不变性,微分法在几何上的应用,方向导数,多元函数的极值,全微分概念,偏导数概念,1、区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（2）区域,（3）聚点,（4）n维空间,2、多元函数概念,定义,类似地可定义三元及三元以上函数,3、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4、极限的运算,5、多元函数的连续性,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,6、多元连续函数的性质,7、偏导数概念,、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,、全微分概念,多元函数连续、可导、可微的关系,10、全微分的应用,主要方面:近似计算与误差估计.,11、复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,12、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,隐函数的求导公式,13、隐函数的求导法则,14、微分法在几何上的应用,切线方程为,法平面方程为,(1)空间曲线的切线与法平面,()曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,15、方向导数,记为,三元函数方向导数的定义,梯度的概念,梯度与方向导数的关系,16、多元函数的极值,定义,多元函数取得极值的条件,定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,二、典型例题,例1,解,例2,解,例3,解,于是可得,例4,解,解,例5,例6,解,分析:,得,测 验 题,测验题答案,