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经济数学基础积分学一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ） Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy = 2x + 2 Dy = 4x 2. 若= 2，则k =（ A ） A1 B-1 C0 D 3下列等式不成立的是（ D ） A B C D 4若，则=（D ）.A. B. C. D. 5. （ B ） A B C D 6. 若，则f (x) =（ C ） A B- C D- 7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 8下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 9下列无穷积分中收敛的是（ C ） A B C D10设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（ B ） A-550 B-350 C350 D以上都不对 11下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程 A B C D 12微分方程的阶是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 113在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ C ）A B C D 14下列函数中，（ C ）是的原函数A- B C D 15下列等式不成立的是（ D ） A B C D 16若，则=（D ）.A. B. C. D. 17. （ B ） AB C D 18. 若，则f (x) =（ C ）A B- C D- 19. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 20下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 21下列无穷积分中收敛的是（ C ） A B C D 22下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程 A B C D 23微分方程的阶是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 124.设函数，则该函数是（ A ）.A. 奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数25. 若，则( A )A. B. C. D. 26. 曲线在处的切线方程为( A ). A B C D 27. 若的一个原函数是, 则=（D） AB C D 28. 若, 则（ C ）. A. B. C. D. 二、填空题1 2函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数) 3若，则.4若，则= .50. 607无穷积分是收敛的（判别其敛散性）8设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + 9. 是 2 阶微分方程. 10微分方程的通解是1112。答案：13函数f (x) = sin2x的原函数是14若，则. 答案：15若，则= . 答案：16. 答案：017答案：018无穷积分是答案：1 19. 是 阶微分方程. 答案：二阶20微分方程的通解是答案： 21. 函数的定义域是(-2,-1)U(-1,222. 若，则4 23. 已知，则=27+27 ln324. 若函数在的邻域内有定义，且则1.25. 若, 则-1/2 (三) 判断题11. . ( × )12. 若函数在点连续，则一定在点处可微. ( × ) 13. 已知，则= （ ）14. . （ × ）. 15. 无穷限积分是发散的. ( 三、计算题 解 2 2解 3 3解 4 4解 = =5 5解 = = 6 6解 7 7解 = 88解 =-=9 9解法一 = =1 解法二 令，则 =10求微分方程满足初始条件的特解10解 因为 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解为 11求微分方程满足初始条件的特解11解 将方程分离变量： 等式两端积分得 将初始条件代入，得 ，c = 所以，特解为： 12求微分方程满足 的特解. 12解：方程两端乘以，得 即 两边求积分，得 通解为： 由，得 所以，满足初始条件的特解为： 13求微分方程 的通解13解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14求微分方程的通解.14. 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程， ，用公式 15求微分方程的通解 15解 在微分方程中，由通解公式 16求微分方程的通解 16解：因为，由通解公式得 = = = 17 解 = = 18 解： 19解：= 20 解： =（答案： 21 解： 22 解 =23 24. 2526设，求 27. 设，求. 28设是由方程确定的隐函数,求.29设是由方程确定的隐函数,求.30. 31.32. 33.34.35. 36. 37. 四、应用题 1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 1解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 2解 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元. 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 4已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 4解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 5解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 6投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.7已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 8生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：已知(x)=8x(万元/百台)，(x)=100-2x，则令，解出唯一驻点 由该题实际意义可知，x = 10为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为10百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产2百台，利润的改变量为（万元）即利润将减少20万元. 9设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.