数模渡江问题.doc

抢渡长江概要本文主要研究抢渡长江问题，根据条件的不同，为运发动找出一条最优的方案。对于问题一，假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。第一名的成绩为14分8秒根据"两点之间直线最短，当合速度方向与位移方向相一致时，人所用时间最短。我们运用余弦定理进展求解，运算比较简单，得出2002年第一名运发动的速度为1.54m/s，第二问，通过建立平面直角坐标系，找出游泳者在水平方向和竖直方向的速度，根据平行四边形法那么列式求解，得出两条路线。问题二：对于游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 一定的情况下，利用勾股定理求出垂直向对岸游的最小速度，为2.19m/s,但目前这比近年世界游泳冠军的速度还要大，故可判断无人可以到达目的地。之所以1934年和2002年到达目的地的人数有差异，是因为两次比赛起点到终点的位移相差较大，且水温气候也有一定影响。在第二小问中，我们根据"点到直线的垂线最短。 当游泳者按1.49m/s的速度沿着与x轴正方向成142.53°的方向游。1.4m/s是游泳者能到达终点的最小速度。问题三 首先我们考虑的是走最短的路程从而可能花最短时间，但是我们在假设后验证发现，和速度方向不可能和位移方向一样，从而我们提出了第二种方案，假设游泳者走三段折线，折线上任何一点的速度都大于第一种情况下直线上相应位置上的速度，虽然路程增加了，但是可能时间减少了，所以将江面分为三个区域，每个区域流速确定，人的速度方向也一定，我们通过画出线路图，利用解非线性方程组的最优解，建立目标函数和约束条件，最后通过matlab计算得出，最短时间为904.0228s。问题四 模型的建立思路和模型三差不多，问题四中首先我们考虑的是走最短的路程从而可能花最短时间，但是我们在假设后验证发现，我们的和速度方向不可能和位移方向一样，从而我们提出了第二种方案,人的速度方向恒定，和速度可能大于走直线情况下的和速度，最终可能所花时间比第一种情况短，水流速度随着距岸边距离的改变而改变的区，我们利用定积分的方法算出人水平移动的实际距离，求解过程与问题三类似，最短时间为892.4776s。问题五和问题六实际是对模型的改进和推广的问题，竞渡策略的选择取决于游泳者的游泳速度大小和游泳总路程的大小，一定程度上还受天气，水温等的影响。关键字：规划 最优解 定积分 一、问题的重述"渡江是城市的一名片。1934年9月9日，警备旅官兵与体育界人士联手，在第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人到达终点，学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书"力挽狂澜。2001年，"抢渡长江挑战赛重现江城。2002年，正式命名为"国际抢渡长江挑战赛，于每年的5月1日进展。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和欣赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国外选手共186人其中专业人员将近一半，仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大局部选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。请你们通过数学建模来分析上述情况, 并答复以下问题: 1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2. 在1的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点.根据你们的数学模型说明为什么 1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差异；给出能够成功到达终点的选手的条件。3. 假设流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向) ：游泳者的速度大小1.5米/秒仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4. 假设流速沿离岸边距离为连续分布, 例如或你们认为适宜的连续分布，如何处理这个问题。5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6. 你们的模型还可能有什么其他的应用.抢渡长江路线图 抢渡长江竞赛现场二、问题分析对于问题一：第一问中，假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。第一名的成绩为14分8秒根据"两点之间直线最短，当合速度方向与位移方向相一致时，人所用时间最短。故由勾股定理可以求出合位移s=1531.53m,从而求出，与合位移的夹角；利用余弦定理cos=，cos(-)=,求出=1.54m/s,=117.44°。第二问中，作图，用箭头表示各速度，以水流速度终点为原点，以人的速度大小为半径作圆，交合位移于两点，取第一点。同样利用余弦定理求出=1.5428m/s与=127.38°。并计算出他的成绩t=1632s。 对于问题二：利用勾股定理求出垂直向对岸游的最小速度，为2.19m/s,但目前这比近年世界游泳冠军的速度还要大，故可判断无人可以到达目的地。之所以1934年和2002年到达目的地的人数有差异，是因为两次比赛起点到终点的位移相差较大，且水温气候也有一定影响。在第二小问中，我们根据"点到直线的垂线最短。 当游泳者按1.49m/s的速度沿着与x轴正方向成142.53°的方向游。解得1.4m/s是游泳者能到达终点的最小速度。对于问题三：在问题一，问题二的根底上，只不过多了流速沿离岸边距离的分布这个条件，我们可以将河分为三段，由于两边流速一样，我们就将其合并起来计算，然后找时间t的目标函数，再利用非线形规划，算出最优解，从而确定方向。对于问题四：流速沿离岸边距离为连续分布，首先我们利用在，三个区域竖直位移的条件找出t与的线性关系，进展了假设：在每个区域人的速度的方向保持不变，再利用定积分写出水平总位移表达式，并以此为约束条件，运用matlab实现非线性规划，求出最优解。三、模型的假设1. 游泳者在水中只受水流给他的外力。2.假设流水速度不随时间、温度等其他条件的改变而改变。四、符号说明1.人和水的和速度为2.表示的是水流速度。3.表示的是人自身的速度。5.表示的是合速度与x轴正方向的夹角。6.表示人的速度与x轴正向的夹角。表示人的速度与x轴负向的夹角8.y1,y2,y3分别为y=200,960,1160m时，游泳者的竖直位移。9.t1,t2,t3分别表示区域I、II、III游泳者游泳所用时间。10.分别表示游泳者在区域的时间变量。11.t表示游泳者比赛总时间。五、模型的建立与求解模型1：模型1.1第一问中，假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。第一名的成绩为14分8秒。根据"两点之间直线最短，当合速度方向与位移方向相一致时，人所用时间最短。故由勾股定理可以求出合位移s=1531.53m,从而求出=1.806s;利用tan=1160/1000求出与合位移的夹角=49.236°；利用余弦定理cos=以及cos(-)=,求出=1.54m/s,=117.44°。即游泳者的速度为1.54m/s,方向与x轴正方向成117.44°。 模型1.2：作图，用箭头表示各速度，以水流速度终点为原点，以人的速度大小为半径作圆，交合位移于两点，取第一点。同样利用余弦定理求出=1.5428m/s与=127.38°。并计算出他的成绩t=1632s。 当游泳者沿与x轴正方向127.38°时，最快可以游到终点时间为1632s。模型2：模型2.1：无人能到达终点。解 由tan =求得=2.19m/s即如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,只有游泳者速度等于2.19m/s时，他她们才能到达终点。经查阅资料得：2021年巴塞罗那世界游泳锦标赛游泳冠军速度约为1.72m/s,故推测游泳者不能到达终点。 模型2.2：由模型1及模型2.1可知，水流速度以及游泳路程的大小对人的影响较大。由题意可知，1934年9月9日起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。2002年5月1日起点与终点之间距离约为1531.5m。显然游泳路程越大对游泳者速度，耐力等要求也越高，如果再考虑天气条件对游泳者的影响5月水温高于9月，1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差异也属意料之中。 模型2.3：在1的假设下，在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。求出游泳者能够到达终点时所需的最小速度。如图，建立平面直角坐标系。当游泳者的速度与合速度即合位移垂直时，即为最小速度。根据题设条件，sin=0.794,求得=1.4m/s。即游泳者应按1.49m/s的速度沿着与x轴负方向成142.53°的方向往上游游。1.4m/s是游泳者能到达终点的最小速度。模型3：(3) 根据初中所学的知识：两点之间直线段最短，那么提出第一个假设：从入水起点到上岸终点，整个过程游泳者速度方向始终和位移方向一致。设游泳者在区间上，人的速度方向跟水流方向成1角游，而合速度方向与水流速度方向成角，该过程历时1秒；人体在区间上，人的速度跟水流的方向成2角游，而和速度的方向与水流速度的方向成角，该过程历时2秒；人体在区间上，人体的速度跟水的速度方向成3角游，而和速度的方向与水流的速度的方向成角，该过程历时3秒。速度矢量图如下：根据题目数据知：1=3，人的速度0不变，那么我们可以得到。根据余弦定理：带入数据 得v= 1.457 同理根据余弦定 代入数据后得 = 69.76 ，那么可以得到游泳者速度的方向角=110.24根据以上方法，我们可以算出求出的第二个阶段的和速度时，不存在，说明在区间上，不可能沿着位移方向游动，所以该情况不存在。然而可能存在另外一种情况，当游泳者并非以一条直线去游，而是他的运动轨迹由三个折线段组成，每个折线段的任一点瞬时速度都大于第一种情况中直线上任一点速度，虽然路程增加了，但是可能速度加快了，最终可能导致所用的总时间变短，运动轨迹图如下： 由于是第三个模型的第二种特殊情况，故 变量符号单独说明，如下在区间上，游泳者开场游，水流速度为，历时，水平方向位移为。在区间，游泳者以角度开场游，水流速度为，历时，水平位移为；在区间游泳者以，水流速度为。进展分阶段分析如下:.1 ，对游泳者 角的速度进展分解： ，.2 ，对游泳者成角的速度进展分解：.3 ,对游泳者成角的速度进展分解:同样根据上一个模型得出的结论:第一和第三过程中,人的速度和水的速度各自对应相等,那么我们可以得出=, 然后我们根据,构建方程：，带入得出线性方程，而我们的目标函是：，利用matlab解出最优解为：经过比较第一种方案和第二种方案，我们得出，第二种方案是最好的游泳方案。(见模型4.1当水流的速度随着距岸的距离而改变的时候，假设游泳者的速度方向不断地改变，从而使他的和速度方向始终沿着位移方向，到达游泳的距离最短，希望到达时间最短的目的。当，人的游泳速度为，速度方向为，水流和速度为，水流速度为，人的和速度方向始终等于位移方向，那么可以得到在y=0时候，根据余弦定理，带入数据得不存在，说明在整个运动过程中不可能沿着直线走，最短距离方案被否认，那么我们可以考虑下最大速度方案。模型4.2：我们将，分为区域I，区域II，区域III，在这三个区域，假设在这三段，人的速度方向与x轴负方向的夹角分别为并保持不变。那么有：竖直方向：；水平方向：+=1000y=*sin*t;又有建立目标函数：=约束条件：+=1000令;，约束条件为。用Matlab求解得出：见附录即总时间为892.4776s.第五题：竞渡策略短文你是否向往过乘风破浪的潇洒.你是否想象过横渡长江的豪情.来吧，长江竞渡给你这个时机！如果您已经跃跃欲试，我们研究小组想给您提供一些小建议，帮助您更够在竞渡中有更出色的表现。竞渡当天请结合天气及水温状况及时调整运动状态。由于江水的流速随着距岸边距离的改变而改变，您需要时刻注意调整游泳的方向以确保能够尽快到达终点。只是要尤其注意不能沿垂直于岸的方向游泳，因为根据我们计算模拟，除非您的游泳速度比当今游泳世界冠军还要大，否那么您将不能顺利到达终点。最后，祝您竞渡愉快！第六题 模型在其他方面的应用猜想。 我们可以运用与出海捕鱼情况，也可以运用于飞机在天上有风飞行情况，总之存在多个速度，求最短时间或者求最短路程的情况都可以运用，这些模型的核心是根据某一方向速度的改变从而随着改变另一速度的方向，到达和速度最大，或者路程最短的目的，那么最后花的时间也最短。六、模型评价 首先，模型一，模型二结合了三角函数知识和勾股定理，运用数形结合的分析方法，简便的得出结果。对于模型三，鉴于水流速度的变化，问题逐渐变得复杂，我们进展了假设：在每个区域人的速度的方向保持不变。并运用定积分和非线性规划的思想成功将问题简化，求得最优方案。模型中美中缺乏的是将实际问题简化，尤其在第三第四问中，进展了假设：在每个区域人的速度的方向保持不变，而实际水流速度是一直在变化的，这在具体实施过程中也存在一定的难度。问题三代码：fun.m文件代码如下：function f=fun(x);f=400/(1.5*x(1)+760/(1.5*x(2);fun1.m文件代码如下：function g,geq=mycon(x);g=;geq=(1.47-1.5*sqrt(1-x(1)2)*400/(1.5*x(1)+(2.11-1.5*sqrt(1-x(2)2)*760/(1.5*x(2)-1000;MATLAB主程序代码：x0=rand(2,1);A=;b=; vlb=zeros(2,1);vub=ones(2,1);x,fval=fmincon('fun',x0,A,b,vlb,vub,'fun1')运行结果：x = 0.8084 0.8824fval = 904.0228问题四代码：fun2.m文件代码：function f=fun(x);f=200/(1.5*x(1)+760/(1.5*x(2)+200/(1.5*x(3);fun3.m文件代码：function g,geq=mycon(x);g=;geq=152/x(1)-200*sqrt(1-x(1)2)/x(1)+1155.2/x(2)-760*sqrt(1-x(2)2)/x(2)+152/x(3)-200*sqrt(1-x(3)2)/x(3)-1000;MATLAB主程序代码：x0=rand(3,1);A=;b=; vlb=zeros(3,1);vub=ones(3,1);x,fval=fmincon('fun',x0,A,b,vlb,vub,'mycon');程序运行结果：x =0.7948 0.90970.7948fval = 892.4776