小学奥数之行程问题.doc

行程专题一一、时间相同速度比等于路程比【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，如此 A、 B 两地相距多少千米？【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程所以 A、 B两地相距 (千米)【例 2】 B地在A，C两地之间甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1） 假如丙先去追与乙，因时间一样丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷31=5分钟此时拿上乙拿错的信当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10105530分钟，同理丙追与时间为30÷31=15分钟，此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10551515=50分钟，此时追与乙需要：50÷31=25分钟，返回B地需要25分钟所以共需要时间为5515152525=90分钟（2） 同理先追与甲需要时间为120分钟【例 3】 (“圆明杯数学邀请赛) 甲、乙两人同时从、两点出发，甲每分钟行米，乙每分钟行米，出发一段时间后，两人在距中点的处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了分钟，两人将在距中点的处相遇，且中点距、距离相等，问、两点相距多少米？【分析】 甲、乙两人速度比为，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的，乙走了全程的第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的由于甲、乙速度比为，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲停留期间乙行了，所以、两点的距离为(米)【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千米那么 A、B 两地相距多少千米？【解析】 两车相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙的速度比为 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了，距离 A地，所以 A、 B 两地的距离为 (千米)【例 5】 早晨，小X骑车从甲地出发去乙地下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小X到达乙地小X是早晨几点出发？【解析】 从题中可以看出小王的速度比小X块下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小X 15 千米，下午 3 点时小王超过小X 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小X多走 30 千米，那小X 3 小时走了15 30 45=+ 千米，故小X的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 30 =45千米/时全程是 45 ×3 =135千米，小X走完全程用了135 15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。【例 6】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？【解析】 由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时如此是全在走平路这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米所以第二小时内用在走平路上的时间为小时，其余的小时在走上坡路；因为第一小时比第二小时多走了15千米，而小时的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为小时，所以在第一小时中，有小时是在下坡路上走的，剩余的小时是在平路上走的因此，陈明走下坡路用了小时，走平路用了小时，走上坡路用了小时因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是那么下坡路的速度为千米/时，平路的速度是每小时千米，上坡路的速度是每小时千米那么甲、乙两地相距(千米)模块二、路程相同速度比等于时间的反比【例 7】 甲、乙两人同时从地出发到地，经过3小时，甲先到地，乙还需要1小时到达地，此时甲、乙共行了35千米求，两地间的距离【分析】 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为，那么在3小时内的路程之比也是；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为千米，即，两地间的距离为20千米【例 8】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】 由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.抓住走同一段路程时间或速度的比例关系 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12820分，乙需 20÷4×630分.【例 9】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分【例 10】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1由于下坡路与一半平路的长度一样，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是，因此，走上坡路需要的时间是，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为，所以，上坡速度是平路速度的倍【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达但汽车行驶到路程的时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【分析】 当以原速行驶到全程的时，总时间也用了，所以还剩下分钟的路程；修理完毕时还剩下分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为，因此每分钟应比原来快米小结：此题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便【例 12】 (“我爱数学夏令营数学竞赛)一列火车出发小时后因故停车小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚小时假如出发小时后又前进公里因故停车小时，然后同样以原速的前进，如此到达目的地仅晚小时，那么整个路程为_公里【解析】 如果火车出发小时后不停车，然后以原速的前进，最终到达目的地晚小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为，所以原计划要花小时，现在要花小时，假如出发小时后又前进公里不停车，然后同样以原速的前进，如此到达目的地仅晚小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为，所以原计划要花小时，现在要花小时所以按照原计划公里的路程火车要用小时，所以火车的原速度为千米小时，整个路程为千米【例 13】 王叔叔开车从到某某，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达、某某两市间的路程是多少千米？【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，如此所用时间为原计划的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，如此此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，如此按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，、某某两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【解析】 车速提高 20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为小时所以前面按原速度行使的时间为小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的【例 15】 一辆车从甲地开往乙地如果车速提高，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高，如此可以提前40分钟到达那么甲、乙两地相距多少千米？【分析】 车速提高，速度比为，路程一定的情况下，时间比应为，所以以原速度行完全程的时间为小时以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高，速度比为，所用时间比应为，提前40分钟到达，如此用原速度行驶完这一段路程需要小时，所以以原速行驶120千米所用的时间为小时，甲、乙两地的距离为千米【例 16】 甲火车分钟行进的路程等于乙火车分钟行进的路程乙火车上午从站开往站，开出假如干分钟后，甲火车从站出发开往站上午两列火车相遇，相遇的地点离、两站的距离的比是甲火车从站发车的时间是几点几分？分析甲、乙火车的速度比，所以甲、乙火车一样时间内的行程比也由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比根据题意可知，甲、乙两车的速度比为从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为，而相遇点距、两站的距离的比是说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车个小时所走路程的也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15分钟所以甲火车从站发车的时间是点分3 甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？解析：相遇时甲乙的行程比也是：5：4，即甲行了全程的：5/(4+5)=5/9，乙行了：4/9 又相遇时甲比乙多行了：48*2=96千米 所以路程是：96/(5/9-4/9)=864千米.